对一道高考题解答的再思考

石菁

2014年广东省高考数学（文、理）第20题，通过对椭圆切线的考查，既立足了通性通法，又关注了高考热点，给了不同水平层次的考生以不同的发挥空间.以下是笔者针对本题给出的几种不同解法，以求抛砖引玉.

题目已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一个焦点为（5，0），离心率为53.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

解析（1）直接依题意得c=5，e=ca=53，所以a=3，b2=a2-c2=4，求得椭圆C的标准方程为x29+y24=1.

（2）法一（切线设为点斜式）当过点P的两条切线l1，l2的斜率均存在且不为0时，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，设切线方程为y-y0=k（x-x0），

联立x29+y24=1，

y-y0=k（x-x0），得（4+9k2）x2+18k（y0-kx0）x+9（y0-kx0）2-36=0，

所以Δ=（18k）2（y0-kx0）2-4（4+9k2）[9（y0-kx0）2-36]=0，

整理得（y0-kx0）2=4+9k2，即（x20-9）k2-2x0y0k+y20-4=0.（*）

因为l1⊥l2，所以k1k2=y20-4x20-9=-1，整理得x20+y20=13；

当过点P的两条切线l1，l2一条斜率不存在，一条斜率为0时，P为（3，±2）或（-3，±2），均满足x20+y20=13.

综上所述，点P的轨迹方程为x2+y2=13.

（2）法二（切线设为斜截式）当过点P的两条切线l1，l2的斜率均存在且不为0时，不妨设其中一条切线方程为y=kx+m，

联立x29+y24=1

y=kx+m，得（4+9k2）x2+18kmx+9m2-36=0，由Δ=（18k）2m2-4（4+9k2）（9m2-36）=0得m=±9k2+4.所以椭圆互相垂直的两条切线方程就可写为：

y=kx±9k2+4.①

y=-1kx±9k2+4.②

由①得y-kx=±9k2+4.③

由②得ky+x=±9+4k2.④

③2+④2得x2+y2=13.

当过点P的两条切线l1，l2一条斜率不存在，一条斜率为0时，P为（3，±2）或（-3，±2），均满足x2+y2=13.

综上所述，点P的轨迹方程为x2+y2=13.

（2）法三（切线设为参数式）设过点P的两条互相垂直的切线l1，l2的参数方程分别为：

l1：x=x0+tcosθ，

y=y0+tsinθ.

l2：x=x0+tcos（θ+π2），

y=y0+tsin（θ+π2）.

将l1与x29+y24=1联立，消掉x，y后得到关于t的一元二次方程：（5sin2θ+4）t2+（8x0cosθ+18y0sinθ）t+4x20+9y20-36=0，由其Δ1=0可得：

（4x0cosθ+9y0sinθ）2-（5sin2θ+4）（4x20+9y20-36）=0.⑤，

同理将l2与x29+y24=1联立后，由消掉x，y后得到关于t的一元二次方程的Δ2=0为：

（-4x0sinθ+9y0cosθ）2-（5cos2θ+4）（4x20+9y20-36）=0.⑥

⑤+⑥后化简可得：x20+y20=13，即点P的轨迹方程为x2+y2=13.

（2）法四（几何法）此法解题需要两个结论：

结论一（椭圆的光学性质）：自椭圆的一焦点射出的光线碰到椭圆上一点反射后的光线必通过另一焦点.（证明略）

结论二：对于椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），如果P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，则必有PO2=a2+b2（O为坐标原点）.

如图，可以用结论一证明结论二.具体证明如下：作F1关于切线PA的对称点M，作F2关于切线PB的对称点N，由定义及结论一知MF2=NF1=2a，所以△PMF2≌△PNF1，从而可知∠MPF2=∠NPF1=∠APB=π2.进而PF12+PF22=PF12+PN2=PM2+PF22=4a2.又在△PF1F2中，由中线计算公式（可补形为平行四边形证明）知，PO2+c2=12（PF12+PF22）=2a2，所以PO2=a2+b2.

则对于本题的解答就可以套用此结论得到：点P的轨迹方程为x2+y2=13.

（2）法五（伸缩变换为圆）因为椭圆伸缩变换为圆后与直线相切的关系不会改变，所以只需令X=x3，Y=y2，椭圆方程x29+y24=1就转化为X2+Y2=1了；直线可参照法一设法，再利用圆心到切线的距离等于半径，就可以得到法一（*）的表达式，剩余解答同法一即可.

2014年广东省高考数学（文、理）第20题，通过对椭圆切线的考查，既立足了通性通法，又关注了高考热点，给了不同水平层次的考生以不同的发挥空间.以下是笔者针对本题给出的几种不同解法，以求抛砖引玉.

题目已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一个焦点为（5，0），离心率为53.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

解析（1）直接依题意得c=5，e=ca=53，所以a=3，b2=a2-c2=4，求得椭圆C的标准方程为x29+y24=1.

（2）法一（切线设为点斜式）当过点P的两条切线l1，l2的斜率均存在且不为0时，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，设切线方程为y-y0=k（x-x0），

联立x29+y24=1，

y-y0=k（x-x0），得（4+9k2）x2+18k（y0-kx0）x+9（y0-kx0）2-36=0，

所以Δ=（18k）2（y0-kx0）2-4（4+9k2）[9（y0-kx0）2-36]=0，

整理得（y0-kx0）2=4+9k2，即（x20-9）k2-2x0y0k+y20-4=0.（*）

因为l1⊥l2，所以k1k2=y20-4x20-9=-1，整理得x20+y20=13；

当过点P的两条切线l1，l2一条斜率不存在，一条斜率为0时，P为（3，±2）或（-3，±2），均满足x20+y20=13.

综上所述，点P的轨迹方程为x2+y2=13.

（2）法二（切线设为斜截式）当过点P的两条切线l1，l2的斜率均存在且不为0时，不妨设其中一条切线方程为y=kx+m，

联立x29+y24=1

y=kx+m，得（4+9k2）x2+18kmx+9m2-36=0，由Δ=（18k）2m2-4（4+9k2）（9m2-36）=0得m=±9k2+4.所以椭圆互相垂直的两条切线方程就可写为：

y=kx±9k2+4.①

y=-1kx±9k2+4.②

由①得y-kx=±9k2+4.③

由②得ky+x=±9+4k2.④

③2+④2得x2+y2=13.

当过点P的两条切线l1，l2一条斜率不存在，一条斜率为0时，P为（3，±2）或（-3，±2），均满足x2+y2=13.

综上所述，点P的轨迹方程为x2+y2=13.

（2）法三（切线设为参数式）设过点P的两条互相垂直的切线l1，l2的参数方程分别为：

l1：x=x0+tcosθ，

y=y0+tsinθ.

l2：x=x0+tcos（θ+π2），

y=y0+tsin（θ+π2）.

将l1与x29+y24=1联立，消掉x，y后得到关于t的一元二次方程：（5sin2θ+4）t2+（8x0cosθ+18y0sinθ）t+4x20+9y20-36=0，由其Δ1=0可得：

（4x0cosθ+9y0sinθ）2-（5sin2θ+4）（4x20+9y20-36）=0.⑤，

同理将l2与x29+y24=1联立后，由消掉x，y后得到关于t的一元二次方程的Δ2=0为：

（-4x0sinθ+9y0cosθ）2-（5cos2θ+4）（4x20+9y20-36）=0.⑥

⑤+⑥后化简可得：x20+y20=13，即点P的轨迹方程为x2+y2=13.

（2）法四（几何法）此法解题需要两个结论：

结论一（椭圆的光学性质）：自椭圆的一焦点射出的光线碰到椭圆上一点反射后的光线必通过另一焦点.（证明略）

结论二：对于椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），如果P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，则必有PO2=a2+b2（O为坐标原点）.

如图，可以用结论一证明结论二.具体证明如下：作F1关于切线PA的对称点M，作F2关于切线PB的对称点N，由定义及结论一知MF2=NF1=2a，所以△PMF2≌△PNF1，从而可知∠MPF2=∠NPF1=∠APB=π2.进而PF12+PF22=PF12+PN2=PM2+PF22=4a2.又在△PF1F2中，由中线计算公式（可补形为平行四边形证明）知，PO2+c2=12（PF12+PF22）=2a2，所以PO2=a2+b2.

则对于本题的解答就可以套用此结论得到：点P的轨迹方程为x2+y2=13.

（2）法五（伸缩变换为圆）因为椭圆伸缩变换为圆后与直线相切的关系不会改变，所以只需令X=x3，Y=y2，椭圆方程x29+y24=1就转化为X2+Y2=1了；直线可参照法一设法，再利用圆心到切线的距离等于半径，就可以得到法一（*）的表达式，剩余解答同法一即可.

2014年广东省高考数学（文、理）第20题，通过对椭圆切线的考查，既立足了通性通法，又关注了高考热点，给了不同水平层次的考生以不同的发挥空间.以下是笔者针对本题给出的几种不同解法，以求抛砖引玉.

题目已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一个焦点为（5，0），离心率为53.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

解析（1）直接依题意得c=5，e=ca=53，所以a=3，b2=a2-c2=4，求得椭圆C的标准方程为x29+y24=1.

（2）法一（切线设为点斜式）当过点P的两条切线l1，l2的斜率均存在且不为0时，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，设切线方程为y-y0=k（x-x0），

联立x29+y24=1，

y-y0=k（x-x0），得（4+9k2）x2+18k（y0-kx0）x+9（y0-kx0）2-36=0，

所以Δ=（18k）2（y0-kx0）2-4（4+9k2）[9（y0-kx0）2-36]=0，

整理得（y0-kx0）2=4+9k2，即（x20-9）k2-2x0y0k+y20-4=0.（*）

因为l1⊥l2，所以k1k2=y20-4x20-9=-1，整理得x20+y20=13；

当过点P的两条切线l1，l2一条斜率不存在，一条斜率为0时，P为（3，±2）或（-3，±2），均满足x20+y20=13.

综上所述，点P的轨迹方程为x2+y2=13.

（2）法二（切线设为斜截式）当过点P的两条切线l1，l2的斜率均存在且不为0时，不妨设其中一条切线方程为y=kx+m，

联立x29+y24=1

y=kx+m，得（4+9k2）x2+18kmx+9m2-36=0，由Δ=（18k）2m2-4（4+9k2）（9m2-36）=0得m=±9k2+4.所以椭圆互相垂直的两条切线方程就可写为：

y=kx±9k2+4.①

y=-1kx±9k2+4.②

由①得y-kx=±9k2+4.③

由②得ky+x=±9+4k2.④

③2+④2得x2+y2=13.

当过点P的两条切线l1，l2一条斜率不存在，一条斜率为0时，P为（3，±2）或（-3，±2），均满足x2+y2=13.

综上所述，点P的轨迹方程为x2+y2=13.

（2）法三（切线设为参数式）设过点P的两条互相垂直的切线l1，l2的参数方程分别为：

l1：x=x0+tcosθ，

y=y0+tsinθ.

l2：x=x0+tcos（θ+π2），

y=y0+tsin（θ+π2）.

将l1与x29+y24=1联立，消掉x，y后得到关于t的一元二次方程：（5sin2θ+4）t2+（8x0cosθ+18y0sinθ）t+4x20+9y20-36=0，由其Δ1=0可得：

（4x0cosθ+9y0sinθ）2-（5sin2θ+4）（4x20+9y20-36）=0.⑤，

同理将l2与x29+y24=1联立后，由消掉x，y后得到关于t的一元二次方程的Δ2=0为：

（-4x0sinθ+9y0cosθ）2-（5cos2θ+4）（4x20+9y20-36）=0.⑥

⑤+⑥后化简可得：x20+y20=13，即点P的轨迹方程为x2+y2=13.

（2）法四（几何法）此法解题需要两个结论：

结论一（椭圆的光学性质）：自椭圆的一焦点射出的光线碰到椭圆上一点反射后的光线必通过另一焦点.（证明略）

结论二：对于椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），如果P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，则必有PO2=a2+b2（O为坐标原点）.

如图，可以用结论一证明结论二.具体证明如下：作F1关于切线PA的对称点M，作F2关于切线PB的对称点N，由定义及结论一知MF2=NF1=2a，所以△PMF2≌△PNF1，从而可知∠MPF2=∠NPF1=∠APB=π2.进而PF12+PF22=PF12+PN2=PM2+PF22=4a2.又在△PF1F2中，由中线计算公式（可补形为平行四边形证明）知，PO2+c2=12（PF12+PF22）=2a2，所以PO2=a2+b2.

则对于本题的解答就可以套用此结论得到：点P的轨迹方程为x2+y2=13.

（2）法五（伸缩变换为圆）因为椭圆伸缩变换为圆后与直线相切的关系不会改变，所以只需令X=x3，Y=y2，椭圆方程x29+y24=1就转化为X2+Y2=1了；直线可参照法一设法，再利用圆心到切线的距离等于半径，就可以得到法一（*）的表达式，剩余解答同法一即可.