基于F-S-δ模型的实物期权定价与文化产业投资

姬新龙

（兰州商学院 金融学院，兰州 730020）

0 引言

任何投资决策都有不确定性，不管是实业投资还是虚拟资本市场投资，这种不确定性风险是客观存在的。不确定性有两个特征：随机性和模糊性。其中，随机性是指事件中相关变量的外在随机变化，而模糊性主要指事件内在结构，比如相关参数及其所含信息。在实业项目投资领域，基于主观认识的模糊性判断似乎存在的更广，因此模糊性是一种相对于随机性更为深刻的不确定性。迄今为止，大部分已有的虚拟资本市场中的投资都是假定投资者面临的不确定性是随机不确定性，处理这种不确定性的理论基础是概率论，而且由于金融工程的迅速发展，经典B-S期权定价模型、二叉树模型等更是给虚拟市场投资领域的不确定性提供了很好的价值评估支持。但是，自Zadeh教授（1965）提出模糊数学理论之后，人们逐渐认识到模糊理论更加适合描述投资决策，尤其是适合缺乏历史可参数据、投资决策不可逆的实业投资领域，再加上金融期权的概念延伸，也即实物期权理论的进一步完善，也使得在更一般的实业投资领域有了更好的价值评估理论基础。随机波动、模糊理论等不确定性领域的理论发展为实物期权定价和实业投资提供了一种更符合实际的决策分析框架，在实践中有着非常重要和深远的意义。

1 引入随机波动、红利收益的实物期权定价

1.1 模型假设

文化产业项目投资周期比较长，投资者在拿到项目之后，一般并不是立即开始投资，其投资战略是在充分考虑各种影响因素之后的综合规划。因此，不管是一次性投资，还是分阶段投资，项目的标的资产和预期投资成本都会因环境的变化而表现出随机变动特征。此外，文化产业项目投资中还存在无形资产增值的潜在收益特征，为了便于分析，在模型推导中将假设这一红利收益是固定的，用δ表示。

1.2 连续型B-S实物期权模型推导

对于初始阶段需要一次性资金投入的文化产业投资项目，决定此类项目投资价值的两个关键因素是初始的投资成本和项目整体的预期收益。如果以实物期权的投资思想来评判该项目的话，则投资成本可以理解为执行价格Xt，预期收益可以理解为标的资产价格St。由于预期收益受到各种不确定因素的影响，本身又难以预测，因此可假设项目的预期收益也即标的资产价格服从几何布朗运动：

其中，μ是项目获得投资注入后的期望收益率，σ是不确定性引发的波动率，dw表示标准布朗运动。

传统的连续时间状态下经典的欧式期权B-S定价模型公式如下：

其中，C是期权价格，S0是标的资产价格，X代表执行价格，T是项目投资期，r是无风险利率，N(·)表示标准的正态分布函数。

当假定存在一个标的资产的初始价格S0时，根据伊藤积分公式，式（1）可以变形为：

将式（3）代入式（2），并根据布莱克-斯科尔斯在推导B-S模型公式的风险中性环境假设，可得基于随机波动状态下的欧式实物期权定价公式为：

其中，St和Xt为随机变量，分别代表项目预期收益和投资成本；δ由伊藤积分导出，可以理解为项目潜在价值增值所带来的红利；T、r、N(·)等参数与经典B-S模型一致。

1.3 离散型二叉树实物期权模型推导

现实中大部分文化产业项目投资是长期的和不可逆的，其投资需要多阶段完成。阶段性项目投资实际上给予决策者一个选择权，而选择权是有价值的，在不确定的投资环境中，选择权的存在可以有效降低投资项目的风险。但这种阶段性投资方法使得投资决策变得更加复杂，理论上也使得项目的价值评估变得较为复杂。

分阶段的项目投资所暗含的期权价值类似于二叉树模型的期权定价过程，Cox等提出的这种简单化的定价模型的出发点就是便于理解和更为贴近实践。对于二叉树模型的简单理解如下图1，它是在离散时间状态下，假设项目的价值变化只存在两种状态，一个是上升u，一个是下跌d，则标的资产的价值变化也将存在两个状态，uS和dS。将这两个状态与该时间点Δt的执行价格（项目投资成本）做期权的内在价值比较，即可得出Δt时刻的期权价值 fu和 fd，再利用倒推法反向计算出初期的期权价值。二叉树模型理解较为简单，但由于假设条件是离散时间状态，因此计算误差可能较大，但当把投资期限T进行多期分割后，便可较为真实的刻画现实的投资环境。

图1 二叉树模型的简化推导

推导二叉树期权定价公式的方法有很多，其中最基本和简单的思路就是复制策略。假设市场是有效的，则可以构建一个标的资产St和无风险资产Bt的投资组合，令该组合的价值等于项目投资初期的期权价值 ft，则当标的资产价值出现上升和下跌变化时，可得如下方程组：

因为在风险中性的假设条件下，在t+dt时刻，标的资产存在由此可得：

将（7）式代入（6）式，得：

采用Cox（1979）[1]等的研究方法，并结合上文关于项目存在固定红利δ的假设，在标的资产价格上涨幅度u和下跌幅度 d都确定的情况下，ud=1，且u=σ，根据几何布朗运动规则，则标的资产价值将遵循新的随机波动变化如下：

将（9）式代入（7）式，得：

综合上述分析，对于离散型实物期权价值的二叉树模型计算可归纳如下：

对于分阶段投资，项目内含的实物期权会表现出较多的美式期权性质，当标的资产价值存在上涨和下跌的随机变化时，其初始的实物期权价值要通过每一节点的内在价值对比后经过反向贴现来获得，上式所描述的期权定价过程满足经典的贝尔曼动态最优规划方程，这与现实的项目投资决策更为吻合。

但不管是连续B-S实物期权模型，还是离散二叉树实物期权模型，上述推导只是考虑了变量St和Xt的随机波动变化，而对不确定性的另一模糊性特征并未考虑。因此文章接下来将引入模糊理论对期权定价模型中涉及的相关随机变量和参数变量进行模糊量化处理。

2 模糊理论与F-S-δ实物期权模型

2.1 模糊数学与相关理论

项目价值的评估是投资活动中的必要环节，是一项前瞻性工作，必须考虑并处理大量的变量，而这些变量往往是项目在未来经营期间内极为重要的决策因素。实务中模型中的预期现金流收益值、无风险利率、方差并不是定值，而是在一定范围内波动，显然直接给出参量的值是不符合实际的，此时基于模糊数学的参变量估值可以弥补这种不足，这也是当前模糊实物期权价值评估成为实业投资领域重要的决策理论的原因之一。

模糊数学不仅是一门数学理论,还是一项重要的数学工具，本文仅将模糊理论中的相关定义与定理应用于实物期权的变量处理中，相关的公式推导不再详细介绍。

定理1[2]：对论域U上模糊集合若，则称为模糊集合的 λ截集。

定义2[2]：若模糊集合为三角模糊数M(a，b，c)，且a＜b＜c，m，n≥0，则其隶属度函数为：

其中，参数m,n反映了隶属度函数的变化程度，通常情况下，模糊数越不确定，变化越剧烈，则这两个数值就越大。该两个参数一般由专家根据项目投资现状进行评估给出。

定理3[3]：由的λ截集性质和分解原理，对满足定义2中的三角模糊数=M(a，b，c)，其模糊均值和方差可表示如下：

2.2 基于F-S-δ的实物期权定价模型

对于文化产业项目来讲，项目内含实物期权的标的资产价值是由项目净收益现金流贴现值来表示的，项目的执行价格可由投资成本来表示。由于现实中预期现金流是一个不确定的数值，需要预测和估计，而投资成本在实际运营中也会处于不断的调整，因此，令这两个随机变量为模糊数，分别由和来表示。假设和是三角模糊数，且，则由模糊截集定理，可得，此处的分别代表模糊数的最大值和最小值，也即项目投资的现金流贴现值和投资成本支出都处在一个相对稳定的区间内波动，这与现实的投资现状十分吻合。大部分实践中的项目投资都是在对预期收益和预期投资一定范围内的评估和决策，因此用模糊理论来优化项目内嵌的实物期权价值计算是较为合理的。

由模糊理论相关定义，当影响实物期权定价的随机变量用模糊均值和方差处理后，可以得到标的资产价值的波动率和投资成本的波动率。即把和代入模糊均值和方差公式后，则有和，在给定无风险利率r，项目投资预期红利率δ，和经过模糊处理的变量均值和相应的波动率后，结合前文式（4）和式（11）期权定价的推导，可得基于F-S-δ的实物期权定价模型如下式（14），其中式子左侧部分代表连续型模型，右侧代表离散型模型。

3 算例分析

3.1 连续型F-S-δ实物期权定价应用

某动漫技术类文化产业项目，当技术升级换代时，需要一定的技术研发和投入，随后推向市场进行运营获益。此项目属一次性投资类项目，可考虑用连续型F-S-δ实物期权定价。假设该项目投资成本=M(7 00’800’900) ，期望收益=M(1 000’1100’1200) ，项目投资期5年，无风险利率采用5年期国债利率r=5.41%。根据行业经验，令模糊数处理后的项目潜在红利收益为0.03。

由于对一般的投资项目来讲，在成本支出和预期收益都比较模糊时，符合理性的判断是投资者更偏向较高的收益和较低的成本，因此，令模糊数的参数m=1,n=2，同时将上述基础数据代入模糊理论所给出的均值方差公式，则可得最终得考虑红利和不考虑红利时的实物期权价值结果见表1：

表1 经典B-S模型与F-S-δ模型的期权定价对比

图2 连续型F-S-δ实物期权定价变化图

表1给出了经典B-S模型下的期权定价和基于模糊处理的F-S-δ模型的期权定价。从表中数据可知，不管项目是否存在红利收益，模糊期权定价都高于经典期权定价，表明当项目预期收益处在一定的变化范围时，其内嵌的期权价值将表现的较高，这一现象符合现实状况。但当考虑红利存在时，经典期权定价和模糊期权定价都小于无红利存在的状况，这表明红利的存在使得项目的部分预期收益变的较为明确，潜在的缩短了项目的投资周期，因而使得内嵌期权价值相对变小。图2给出了连续型F-S-δ模型下的实物期权定价动态变化图，其时间状态是连续型的，因此在标的资产价值变化的不同时刻点会有一个相应的实物期权价值存在，且随着项目预期收益的增多，项目内涵的期权价值也就越高，这一现象同样与实业投资现状相吻合。

3.2 离散型F-S-δ实物期权定价应用

某文化旅游园区的投资项目，需分阶段投资，考虑用离散型F-S-δ实物期权定价。假设首期投资包括基础设施与原有旅游资源整合，首期完成后项目即可运营，预期收益是每年100万，投资额大约300万；第二期投资预计200万，完成后即可使项目未来年预期收益达到200万；第三期投资是对项目整体的完善，需继续追加投资约500万，随后项目进入正常运营，年收益变为300万。假设每期投资之间的间隔为1年，其投资程序及内嵌期权价值如下图3所示。

图3 阶段性投资项目的实物期权定价示意图

此类项目的实物期权价值包含在两个投资阶段之间，其中期权F2内容的理解为：投资者以首期投资买入了一个项目净收益在T1时刻的贴现值为V1的标的资产，并以第二期所追加投资I2为执行价格，期限为1年的实物期权。同理，在第二期投资和第三期投资之间存在实物期权F3。

假设该项目总投资期限为5年，无风险利率r=5.41%。将上述基础数据代入上文模糊理论所给出的均值方差公式，则可得此外，为了对比红利因素对项目实物期权价值的影响，此处仍假设δ～为0.03，计算结果见表2：

表2 离散型F-S-δ实物期权定价

表2给出了离散型F-S-δ实物期权的定价，该模型是基于二叉树模型的推导，其定价过程表现出贝尔曼动态规划的性质，比较符合实业投资的决策过程。这一定价过程理解简单，但计算较为复杂。从表中可以看出，当考虑项目的潜在红利收益时，有红利存在的离散F-S-δ模糊期权定价都小于无红利存在的状况，这与连续型模型的结果一致，再次表明红利的存在使得实业项目的部分预期收益得以提前实现，潜在的缩短了项目的投资周期，因而使得项目内嵌实物期权价值相对变小。

4 结束语

文化产业项目大多是不可逆的投资，一旦失败，其沉没成本将很高，因此项目价值评估相对很重要。本文结合文化产业特征，从实物期权定价的视角研究了文化产业项目内嵌期权价值的问题，通过引入随机波动、模糊理论等描述不确定性的相关知识，在经典的B-S期权定价模型和二叉树模型定价基础上，推导了模糊随机期权定价方法。考虑到文化产业项目存在潜在红利收益的特征，后将红利δ因素纳入到定价过程，进而分别得出了基于B-S模型和二叉树模型的连续型和离散型F-S-δ实物期权定价模型，并用实际的案例对模型结论进行了验证。数值分析结果表明，考虑红利因素的模糊随机方法处理的实物期权价值较为符合实业投资现状。

由于政府扶持及产业潜力，文化产业正在吸引大量的投资资金，然而这些投资能否真正推动文化产业发展，关键还要做好具体的文化项目价值评估及投资决策。文化产业起步较晚，缺乏可参考数据，又有典型的风险投资特征，因此基于传统的NPV等价值评估的投资判断方法几乎行不通。实物期权理论往往被用于对内嵌期权价值的实业项目预算评估，且在动态的投资环境中，决策者需要知道投资利润和成本支出以便很好的平衡风险和机会，与随机波动、模糊理论相融合的模糊实物期权定价正好可以弥补这些不足，并为处理文化产业项目投资决策提供了一种更符合现状的理论模型和系统方法。

[1]Cox,J.Ross,M.Rubinstein.Option Pricing:A Simplified Approach[J].Journal of Financial Economics,1979,7(3).

[2]张维功,何建敏等.基于B-S公式的模糊实物期权研究[J].统计与决策,2009,(3).

[3]Christer Carlsson,Robert Fuller.On Possibilistic Mean Value and Variance of Fuzzy Numbers[J].Fuzzy Sets and Systems,2001,(122).