MFG整环上的ε-算子和几乎投射模

王芳贵

(四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都610066)

1 引言及预备知识

设R是交换环.R的一个理想的集合S称为R的理想的乘法系,是指S满足:

1)R∈S；

2)若I,J∈S,则IJ∈S.对任何R-模M,定义torS(M)={x∈M|存在J∈S,使得Jx=0},则torS(M)是M的子模,称为M的完全S-挠子模.若

则T总是S-挠模.此外,S-挠模的子模与商模还是S-挠模；S-无挠模的子模还是S-无挠模.容易看到,当J∈S,且存在J的有限生成子理想J0∈S时,M/T总是无挠模.若S是R的乘法封闭集,则S可以看作每个元素可以生成的主理想的乘法系来展开讨论.当S是R的非零因子的全体时,习惯上称这时的S-无挠模为无挠模,S-挠模为挠模.

1981年,O.Gabber[1]用很繁复的非Abel上同调的方法证明了三维的 Quillen猜测.1988年,R.G.Swan[2]通过引入一个几乎投射模的概念给出了三维的Quillen猜测的一个简单的证明方法.文献[2]的几乎投射模的概念是建立在三维正则(Noether)局部环上.2005年,M.Y.Wang等在文献[3]中引入了极大性内射模的概念,在文献[4]也对极大性内射模展开了系列讨论.R-模M称为极大性内射模,是指对R的任何极大理想m,

文献[5]对交换环上的极大性内射模,特别是MFG整环上的极大性内射模展开讨论.若整环R满足:极大理想m都是有限生成的,且满足m-1=R,则R称为MFG整环。自然地,d＞1时,d-维正则局部环是MFG整环.文献[5]证明了,对于MFG整环R,R自身是极大性内射模,且任何非极大素理想都是极大性内射模.此外,平坦模和自反模都是极大性内射模.文献[5]中指出,对于MFG整环,可以通过极大性内射模来构造一个星型算子ε.本文通过这个星型算子,在MFG整环上定义几乎投射模的概念,并展开系统的讨论.

本文在不作声明时,总设R是MFG整环,S表示由R的极大理想生成的理想的乘法系,即

对任何S-无挠模M,定义Mε={x∈E(M)|存在J∈S,使得Jx⊆M},称之为M的ε-包络.这是包含M的极小的极大性内射模.文献[5]中指出,对于MFG整环,当A是R的分式理想时,映射A→Aε成为R上的星型算子.于是,S-无挠模M是极大性内射模当且仅当Mε=M.故以下称S-无挠模的极大性内射模为ε-模.

2 ε-模

引理2.1设M是S-无挠模,则以下各条件等价:

1)M是ε-模；

2) 若Jx⊆M,其中J∈S,x∈E(M),有x∈M；

3)对任何J∈GV(R),及任何R/J-模B,

4)对任何正合列0→M→N→C→0,若N是ε-模,则C是S-无挠模；

5)存在一个正合列0→M→N→C→0,使得N是ε-模,C是S-无挠模；

6)对任何J∈S,自然同态φ:M→HomR(J,M)是同构；

7)对R的任何极大理想m,自然同态φ:M→HomR(m,M)是同构.

8)对任何S-无挠模A,同态f:A→M可以扩张到Aε；

9)对任何S-挠模C,

证明参见文献[5]的定理2.7、定理2.11、定理2.13、定理5.9.

引理2.2设N是ε-模,M是N的子模,则M是ε-模当且仅当由Jx⊆M,其中J∈S,x∈N,能够推出x∈M.

证明参见文献[5]的定理2.8.

引理2.3设M是R-模,则以下各条等价:

1)M是S-挠模；

2)对R的任何非极大素理想P,MP=0；

3)对任何正合列0→A→B→M→0,只要B是ε-模,就有Aε=B；

4)存在一个正合列0→A→F→M→0,使得F是ε-模,且Aε=F.

证明参见文献[5]的命题4.10.

关于整环上的GV-理想和w-算子与w-模的讨论可以参见文献[6-8].

命题2.4w-模是ε-模.

证明由于每个J∈S也是GV-理想,即得.

定义2.5设N是R-模,

是N的子模链,其指标集为连续的序数集,满足:若α是极限序数有

则此链称为N的子模的良序连续升链.

定理2.6模M是S-挠模当且仅当存在序数τ及N的子模的良序连续升链

使得对每一非极限序数α,因子模Nα/Nα-1是单模.特别地,若N是有限生成模,则N是S-挠模当且仅当N有合成列.

证明N=0的情形是显然的,今设N≠0.

设M是S挠模.任取x∈N,x≠0,则存在

使得Jx=0.取s具有该性质的最小正整数,则m2…msx≠0.由m1(m2…msx)=0,故存在

于是N1=Ry是N的单子模.若N1=N,则断语已然,否则,考虑模N/N1,重复上述过程,于是得到N的子模N2,使得N1⊆N2,N2/N1是单模.对任何α,若β＜α时Nβ已经这样得到,则当α是极限序数时,令

当α不是极限序数时,即序数α-1存在.若Nα-1=N,断语已真.若Nα-1≠N,由于S-挠模的商模N/Nα-1还是S-挠模,故存在N的子模Nα,使得

是单模.因此,存在序数τ.使得Nτ=N,且升链(1)存在.

反之,设升链(1)被给定.用超限归纳法证明对任何序数α,Nα是S-挠模.特别地,N是S-挠模.

若α是极限序数,则,于是对任何x∈Nα,存在β＜α,使得x∈Nβ.由于Nβ是S- 挠模,故存在J∈S,使得Jx=0.因此,Nα是S-挠模.若α不是极限序数,则由正合列

及Nα/Nα-1是单模知Nα是S-挠模.

定理2.7设A,B是S-无挠模,f:A→B是同态,则f可以唯一扩张为Aε到Bε的同态.

证明由引理2.1,f可以扩张为同态g:Aε→Aε.若还有同态h:Aε→Bε,使得h|A=f.对任何x∈Aε,存在J∈S,使得Jx⊆A.因此

由于B是S-无挠模,故g(x)=h(x),即h=g.

命题2.8设F是ε-模,M是F的ε-子模,则

是R的ε-理想.

证明设r∈R,J∈S,Jr⊆(M∶F),则

由于M是ε-模,故rF⊆M.即r∈(M∶F).因此(M∶F)是ε-理想.

3 关于ε-算子的局部化方法

文献[5]证明了:若P是R的极大的ε-理想,则P是素理想.且若I是R的真ε-理想,则存在R的极大ε-理想m,使得I⊆m.从而R一定有极大的ε-理想.以下用Maxε(R)表示R的极大ε-理想的集合.注意到R的非极大素理想都是ε-理想,因此有m∈Maxε(R)其实是R的次极大理想.

4 ε-有限生成模和ε-有限表现模

定义4.1设M是R-模.如果存在有限生成自由模F及几乎正合列F→M→0,则M称为ε-有限生成模.如果存在有限生成自由模F0,F1及几乎正合列F1→F0→M→0,则M称为ε-有限表现模.

由定义即知,有限生成模是ε-有限生成模,有限表现模是ε-有限表现模.此外,若M是ε-有限生成的,则对任何非极大素理想P,MP是有限生成的.容易看到,ε-挠模是ε-有限表现模,故ε-有限生成(或表现)模未必是有限生成(或表现)模.

命题4.2设M是R-模.

1)M是ε-有限生成的当且仅当存在M的有限生成子模B,使得对任何

2)若M是S-无挠模,则M是ε-有限生成的当且仅当存在M的有限生成子模B,使得Mε=Bε.从而M是ε-有限生成的当且仅当Mε是ε-有限生成的.

证明1)若M是ε-有限生成的,则存在有限生成自由模F及几乎满同态g:F→M.令B=g(F),则对任何

反之,取自由模F及满同态g:F→B,于是g:F→M是几乎满同态,因此,M是ε-有限生成的.

2)由1)即知.

引理4.3(广义五项引理) 设图1是2行皆为几乎正合列的交换图.

图1

则有:

1)若α,γ是几乎单同态,且δ是几乎满同态,则β是几乎单同态；

2)若α,γ是几乎满同态,且μ是几乎单同态,则β是几乎满同态；

3)若δ是几乎满同态,μ是几乎单同态,而α,γ都是几乎同构,则β是几乎同构.

证明对R的非极大素理想作局部化即知.

引理4.4(广义蛇形引理) 设图2是2行都是几乎正合列的交换图.

图2

则有几乎正合列

此外,若f是几乎单同态,α是几乎满同态,则有几乎短正合列

证明对R的非极大素理想作局部化即知.

引理 4.5设是几乎正合列,则有交换图如图3所示.

图3

其中,P、F、Q是自由模,行与列都是几乎正合列,且当A、C是ε-有限生成模时,P、F、Q可以假设是有限生成自由模.

证明令C1=g(B),则对R的任何非极大素理想P,

故不失一般性假设g是满同态.取自由模P,Q及几乎满同态

有图4.

图4

由于Q是投射模,故有同态h:Q→B,使得gh=γ.令F=P⊕Q,及

由图5所示的交换图.

图5

可得β:F→B是几乎满同态.令

由引理4.4,0→A1→B1→C1→0是几乎正合列.于是得到如图5所示的交换图.

命题 4.6设是几乎正合列.

1)若A,C是ε-有限生成的,则B是ε-有限生成的.

2)若B是ε-有限生成的,则C是ε-有限生成的.

证明1)在引理4.5的证明过程中已经构造了几乎满同态β:F→B,故B是ε-有限生成的.

2)设F是有限生成自由模,h:F→B是几乎满同态,则gh:F→C是几乎满同态.

推论4.7设f:M→N是几乎同构,则M是几乎有限生成的当且仅当N是几乎有限生成的.

证明由几乎正合列0→0→M→N→0即知.

引理4.8(广义Schanuel引理) 设图6是2行都是几乎正合列的交换图.

图6

其中F是投射模,则有几乎正合列

定理4.9设M是ε-有限生成模,则以下各条等价:

1)M是ε-有限表现模；

2)存在一个几乎正合列0→N→F→M→0,其中N是ε-有限生成模,F是有限生成投射模；

3)若0→C→P→M→0是几乎正合列,其中P是有限生成投射模,则C是ε-有限生成模；

4)存在一个几乎正合列0→A→B→M→0,其中B是ε-有限表现模,A是ε-有限生成模.

证明1)⇒2) 设F1→F→M→0是几乎正合列,其中F与F1是有限生成自由模.设N是F1→F的像,则N是有限生成的,且0→N→F→M→0是几乎正合列.

2)⇒3) 由引理4.5和引理4.8,可得几乎正合列

由于P和N都是ε-有限生成的,由命题4.6有F⊕C是ε-有限生成的.再次引用命题4.6有C是ε-有限生成的.

3)⇒1) 设P是有限生成投射模,g:P→M是几乎满同态.设A=ker(g),则0→A→P→M→0是几乎正合列.由条件,A是ε-有限生成的.选择有限生成自由模F和几乎满同态F→A,则F→P→M→0是几乎正合列.因此M是ε-有限表现模.

2)⇒4) 显然.

4)⇒2) 由引理4.5,有如图7所示的3×3交换图,其中行与列都是几乎正合列.

图7

其中,P、F、Q都是有限生成投射模.由于B是ε-有限表现模,故B1是ε-有限生成的,因此C1是ε-有限生成的.

命题4.10设0→A→B→M→0是几乎正合列.若A与M是ε-有限表现模,则B也是ε-有限表现模.

证明从定理4.9证明过程的3×3交换图7中看到,若A和M是ε-有限表现的,则A1和C1是ε-有限生成的,因此B1是ε-有限生成的.故B是ε-有限表现模.

推论4.11设f:M→N是几乎同构,则M是ε-有限表现模当且仅当N是ε-有限表现模.

5 几乎投射模

为了定义ε-投射模,先看投射模的一个刻划.

引理5.1模M是投射模当且仅当对任何无挠模N,

证明若M是投射模,显然有

反之,考虑正合列0→N→F→M→0,其中F是自由模.由条件

故由文献[10]中的推论7.20,此正合列分裂.因此,M是投射模.

对任何模M,记

定义5.2设M是R-模.若对任何无挠的ε-模N,是S-挠模,则M称为几乎投射模.

由定义,投射模自然的几乎投射模.显然,S-挠模是几乎投射模.故一般地,几乎投射模未必是投射模.

命题5.31)设f:M→M′是几乎同构,则M是几乎投射模当且仅当M′是几乎投射模.

2)设M是ε-模,则M是几乎投射模当且仅当对任何无挠的ε-模N,有是S-挠模.

3)若对任何无挠的ε-模N,有是S-挠模,则M是几乎投射模.

众所周知,若M是有限生成模,则θ是单同态；且若M是有限表现模,则θ是同构.

引理5.4设R是任何交换环,M,N是R-模,N是S-无挠模,例如,S中的元素都是R的非零因子,N是无挠模.

1)θ是单同态；

2)若M是有限生成的,则θ是同构；

3)若N是RS-模,则θ是同构.

由于S中的元素都不是N的零因子,故有f(x)=0.因此f=0,于是θ是单同态.

2)设0→A→F→M→0是正合列,其中F是有限生成自由模,则有如图8所示的2行是正合列的交换图.

图8

由1),右边的垂直箭头是单同态.由5引理知θ是同构.

3)注意NS=N,及N肯定是S-无挠模.于是θ是单同态.设

故θ还是满同态.

引理5.5设M是ε-有限生成模,P是R的任何非极大素理想.

证明1)设0→A→F→M→0是几乎正合列,其中F是有限生成自由模,则0→AP→FP→MP→0是正合列.由定理3.10,有如图9所示的2行都是正合列的交换图.

图9

由引理5.4之1),θA是单同态.由5引理知θ是同构.

2)先设M是有限生成的.设0→A→F→M→0是正合列,考虑如图10所示的交换图.

图10

由引理5.4之1)知θ是单同态,故θ1是单同态.

现在考虑一般情形.由于M是ε-有限生成的,故存在M的有限生成子模B,使得M/B是S-挠模.考虑如图11所示的交换图.

图11

由于B是有限生成的,故右边的垂直箭头是单同态,从而有θ1是单同态.

定理5.6若M是几乎投射模,则对任何P∈Maxε(R),MP是自由RP-模.

证明由命题5.3,不妨设M是ε-模.设0→是正合列,其中F是自由R-模.由引理2.1,A是ε-模.考察如图12所示的2行是正合列的交换图.

图12

由引理5.4之3),左边2个垂直箭头是同构.于是θ1是同构.由定理3.9

故0→AP→FP→MP→0是分裂的正合列.因此MP是自由RP-模.

定理5.7设M是ε-有限生成模,则M是几乎投射模当且仅当对任何P∈Maxε(R),MP是自由模RP-模.

证明设M是几乎投射模,由定理5.6已知MP是自由模RP-模.反之,设对任何非 P∈Maxε(R),MP是自由RP-模.设N是无挠的ε-模,则由引理5.5

即是S-挠模.由命题5.3之3),M是几乎投射模.

定理5.8若M是S-无挠的几乎投射模,则M是无挠模.

证明设S=R-0,则0→R→RS是正合列.设P∈Maxε(R),有如图13所示的交换图.

图13

众所周知,2个垂直箭头是同构.由于MP是自由RP-模,故底行水平箭头是单同态,从而顶行水平箭头也是单同态.于是自然同态M→MS是几乎单同态.由命题3.5,此同态是单同态.因此有M是无挠模.

设M是任何R-模,有自然同态

注意,M是有限生成投射模当且仅当ψ是同构.

定理5.9设M是无挠的ε-模,则以下各条等价:

1)M是ε-有限生成的几乎投射模；

2)自然同态ψ是几乎同构；

3)存在J=(a1,a2,…,an)∈S,使得对任何i,1≤i≤n,存在有限子集xij∈M,fij∈M*,关系

对一切x∈M都成立.

证明1)⇒2) 由定理5.7与引理5.5即得.

2)⇒3) 用1M表示M上的恒等映射,A=Im(ψ).由于ψ是几乎同构,故

3)⇒1) 令B是M的由所有{xij}生成的子模,则B是有限生成的.由于

因此Jx⊆B.故M=Bε,即M是ε-有限生成的.

对 P∈Maxε(R),由J⊈P,则存在ai∉P.不妨设a1∉P.由于

于是形成了MP的投射基,因此有MP是自由模.由定理5.7,M是几乎投射模.

定理5.10设M是ε-有限生成的几乎投射模.若M是S-无挠模,则存在M的有限生成子模B,及J∈S,使得JM⊆B.

证明由定理5.8,M是无挠模.

先设M是ε-模.设J和B为定理5.9的证明中所设,则已经看到JM⊆B.

现考虑一般情形.由命题5.3,Mε是几乎投射模.于是存在J1∈S,及Mε的有限生成子模B1,使得J1Mε⊆B1.由于B1是有限生成的,故存在J2∈S,使得J2B1⊆M.于是J:=J2J1∈S,B:=J2B1是M的有限生成子模,且

JM=J2J1M⊆J2J1Mε⊆J2B1=B.

定理5.11设M是ε-有限生成模.若M是几乎投射模,则M*与M**都是几乎投射模.

是自由模,故M*是几乎投射模.再取一次对偶得到M**是几乎投射模.

定理5.12设M是ε-有限生成的S-无挠的几乎投射模,则Mε≅M**.

证明对任何P∈Maxε(R)有

于是自然同态M→M**是几乎同构.由定理3.8,Mw≅M**.

推论5.13设M是ε-有限生成的ε-模.若M是几乎投射模,则M是自反模.

设M是任何R-模,f1,f2,…,fn∈M*.定义δ:M→Rn,使得

δ(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x)),x∈M.并记C=Rn/Im(δ).

引理5.14[9]设M是有限生成投射模,f1,f2,…,fn是M*的生成系.

1) 存在x1,x2,…,xn∈M,使得{x1,x2,…,xn；f1,f2,…,fn}构成M的投射基.

2)δ是单同态.

3)0→M→Rn→C→0是分裂的正合列,从而C也是有限生成投射模.

命题5.15设M是ε-有限生成的S-无挠的几乎投射模,M*=(f1,f2,…,fn)ε,则δ是单同态,C是几乎投射模.于是任何ε-有限生成的S-无挠的几乎投射模可以嵌入一个自由模.此外,若M还是ε-模,则C是无挠模.

证明对任何P∈Maxε(R),由引理5.14,δP是单同态.由于M是S-无挠模,故δ是单同态.由引理5.14与定理5.7,C是几乎投射模.

若M还是ε-模,则由引理2.1,C是S-无挠模.由定理5.8,C是无挠模.

定理5.16设M是ε-有限生成的S-无挠的几乎投射模.若M是ε-模,则有:

1)则存在有限生成自由模F,P,使得

是正合列；

2)设u是R的非零元素,则上面的诱导序列

是几乎正合列.

证明1)由命题5.15,M可以嵌入一个有限生成自由模F=Rn,使得C=F/M是有限生成无挠模.于是C可以嵌入一个有限生成自由模P,从而0→M→F→P是正合列.

2)由于0→M→F→C→0示正合列,且C是无挠模,故0→M/uM→F/uF→C/uC→0是正合列.把C嵌入有限生成自由模P,使得B:=P/C是几乎投射模.对任何P∈Maxε(R),则CP是有限生成自由RP-模,故由引理5.14,0→CP→PP→BP→0是正合列.由此有

是正合列,于是得到0→C/uC→P/uP是几乎单同态.从而有0→M/uM→F/uF→P/uP是几乎正合列.

定理5.17设M是ε-有限生成几乎投射模,则M是ε-有限表现模.更明确地,若0→A→F→M→0是几乎正合列,其中F是有限生成自由模,M是几乎投射模,则A是ε-有限生成的,且是几乎投射的.

证明由命题5.3,不失一般性可设M是有限生成的S-无挠模.设0→A→F→M→0是正合列,其中F是有限生成自由模,则A是无挠的ε-模.设P∈Maxε(R),N是无挠的ε-模,则

由定理5.6

于是有如图14所示的2行是正合列的交换图.

图14

由引理5.5,左边2个垂直箭头是同构.故自然同态

由定理5.6,MP是有限生成自由RP-模,故AP有限生成自由RP-模.因此ψ:A⊗RA*→EndRA是几乎同构.由定理5.9,A是ε-有限生成模,且A是几乎投射模.从而M是ε-有限表现模.

[1]Gabber O.Some theorems on Azumaya algebra[C]//LNM 844.Berlin:Springer-Verlag,1981:129-209.

[2]Swan R G.A simple proof of Gabber's theorem on projective modules over a localized local ring[J].Proc AMS,1988,103:1025-1030.

[3]Wang M Y,Zhao G.On maximal injectivity[J].Acta Math Sinica,2005,21(1):1451-1458.

[4]赵国,汪明义.关于极大内射性的注记[J].四川大学学报:自然科学版,2005,28(5):282-286.

[5]王芳贵,汪明义,杨立英.交换环上的极大性内射模[J].四川师范大学学报:自然科学版,2010,33(3):277-285.

[6]Wang F G.w-projective modules andw-flat modules[J].Algebra Colloquium,1997,4(1):111-120.

[7]Wang F G,McCasland R L.Onw-modules over strong Mori domains[J].Commum Algebra,1997,25:1285-1306.

[8]Wang F G,McCasland R L.On strong Mori domains[J].J Pure Appl Algebra,1999,135:155-165.

[9]王芳贵.一类弱整体维数为2的局部环上的Bass-Quillen问题[J].中国科学,2008,A38(5):567-580.

[10]Rotman J J.An Introduction to Homological Algebra[M].London:Academic Press,1979.

[11]Gilmer R.Multiplicative Ideal Theory[M].New York:Marcel Dekker INC,1972.

[12]Glaz S.Commutative Coherent Rings[M].LNM 1371.Berlin:Springer-Verlag,1989.