例谈“以退为进”策略在数学学习中的运用

+陆同新

美国心理学家弗里德曼做的“登门槛”心理实验表明：“先得寸再进尺，往往能实现目标。”华罗庚也说过：“复杂的问题要善于‘退，足够地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。”这就是“以退为进”的策略，在数学学习中常常用到。

一、退到思维起点，变繁为简，构建数学模型

数学教学是思维活动的教学。要使学生的思维得到有效发展，教师就要在学生学习新知时为他们寻找合适的思维起点，使他们在学习中建构数学模型，逐渐逼近数学的本质。

例如，特级教师刘松教学“数学广角——找次品”一课时，将教材中的数据变大，使原题变成：“２１８７瓶木糖醇口香糖中有一瓶特别轻（次品），用天平称，至少称几次才能保证找到它？”教学时，学生有的说２１８５次，有的说一千多次，还有的说７２９次……刘老师引领学生从３瓶想起，分成（１、１、１），需要称１次；９瓶分成（３、３、３），需要称２次；２７瓶分成（９、９、９），需要称３次；８１瓶分成（２７、２７、２７），需要称４次；２４３瓶分成（８１、８１、８１），需要称５次；７２９瓶分成（２４３、２４３、２４３），需要称６次；２１８７瓶分成（７２９、７２９、７２９），需要称７次。学生面对庞大的数据２１８７时，显得束手无策，不得其门而入。这时刘老师引导学生退到适合的思维起点，从最简单处想起：“用天平称时，将数据三等分，保证以最少的次数找到次品。”……经过这样变繁为简的过程，逐步推进，不仅引导学生解决了问题，而且帮助学生积累了数学活动经验，顺利地构建了新知的数学模型。

二、退到旧知原点，变快为慢，感悟数学思想

奥苏贝尔曾经说过：“影响学生的最重要因素是学生已经知道了什么。”教学时退回到旧知原点，能再现学生认知结构中的相关知识经验，激活新旧知识之间的联结点，达到温故知新的目的。

例如，教学“乘法分配律”时，很多教师基本上是先从解决“买５件夹克（单价为６５元）和５条裤子（单价为４５元），一共要付出多少元”的问题入手，引出等式（６５＋４５）×５＝６５×５＋４５×５，再让学生写出几组这样的算式，然后归纳出规律。一些学生在实际计算时，将７４×（２０＋１）的算式写成７４×２０＋１的形式，原因之一就是学生观察、分析不够，体验不到位。教师在教学时不妨将等式（６５＋４５）×５＝６５×５＋４５×５从左往右进行转化，即５个（６５＋４５）的和可以写成（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＝６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＝６５＋６５＋６５＋６５＋６５＋４５＋４５＋４５＋４５＋４５＝６５×５＋４５×５，然后引领学生从后往前回看，用类似的方法还原到（６５＋４５）×５。最后让学生举例、观察、分析、发现，抽象概括出简明的式子：（ａ＋ｂ）×ｃ＝ａ×ｃ＋ｂ×ｃ。 “欲速则不达。”教师引领学生退到原始的乘法意义产生的地方，让学生去发现知识之间的内在联系来建立概念，变快为慢，使学生有充足的时间经历、体验、探索，从而掌握规律，感悟数学的符号思想。

三、退到生活经验，变远为近，把握数学本质

数学源于生活。新课程倡导“数学教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础”。因此，教师教学时要充分利用生活现象，激活学生的生活经验；利用图形直观，使抽象的道理能看得见、摸得着，引导学生在解决问题过程中渐渐逼近乃至把握数学的本质。

例如，有这样一道习题：“图１，一只蚂蚁从正方体纸盒的顶点Ａ爬到顶点Ｂ，请你在图中标出最短的爬行路径。”

■

由于学生的空间观念不强，学生在解决这样的问题时，往往认为从顶点Ａ到顶点Ｃ，再从顶点Ｃ画对角线到顶点Ｂ（如图２）为最短的路径。而实际上，这并不是一条最短的路径。可以准备一只正方体的纸盒，把正方体的纸盒盖子掀开，正方体的上面和前面正好构成了一个长方形，通过变体为面，使学生豁然开朗，能很快找到从顶点Ａ到顶点Ｂ的最短路径，即长方形的对角线（如图３所示）。

经验是学生展开几何学习活动的前提条件。学生有如下的生活经验：如图４，从顶点Ａ到达顶点Ｂ，走ＡＢ的路径要比走ＡＣ＋ＣＢ的路径近得多。教学时，教师应充分利用这样的宝贵资源，变远为近，使学生在动手操作、仔细观察、认真思考中获得空间知觉，建立空间观念，发展空间思维，进而把握数学的本质——两点之间线段最短。

“以退为进”的实质是转移或转换，是一种智慧的体现。“退”是“进”的基础和准备，“进”是“退”的发展和提升。当学生“山重水复疑无路”时，运用好“以退为进”的策略，往往会收到“柳暗花明又一村”的效果。

（责编杜华）

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美国心理学家弗里德曼做的“登门槛”心理实验表明：“先得寸再进尺，往往能实现目标。”华罗庚也说过：“复杂的问题要善于‘退，足够地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。”这就是“以退为进”的策略，在数学学习中常常用到。

一、退到思维起点，变繁为简，构建数学模型

数学教学是思维活动的教学。要使学生的思维得到有效发展，教师就要在学生学习新知时为他们寻找合适的思维起点，使他们在学习中建构数学模型，逐渐逼近数学的本质。

例如，特级教师刘松教学“数学广角——找次品”一课时，将教材中的数据变大，使原题变成：“２１８７瓶木糖醇口香糖中有一瓶特别轻（次品），用天平称，至少称几次才能保证找到它？”教学时，学生有的说２１８５次，有的说一千多次，还有的说７２９次……刘老师引领学生从３瓶想起，分成（１、１、１），需要称１次；９瓶分成（３、３、３），需要称２次；２７瓶分成（９、９、９），需要称３次；８１瓶分成（２７、２７、２７），需要称４次；２４３瓶分成（８１、８１、８１），需要称５次；７２９瓶分成（２４３、２４３、２４３），需要称６次；２１８７瓶分成（７２９、７２９、７２９），需要称７次。学生面对庞大的数据２１８７时，显得束手无策，不得其门而入。这时刘老师引导学生退到适合的思维起点，从最简单处想起：“用天平称时，将数据三等分，保证以最少的次数找到次品。”……经过这样变繁为简的过程，逐步推进，不仅引导学生解决了问题，而且帮助学生积累了数学活动经验，顺利地构建了新知的数学模型。

二、退到旧知原点，变快为慢，感悟数学思想

奥苏贝尔曾经说过：“影响学生的最重要因素是学生已经知道了什么。”教学时退回到旧知原点，能再现学生认知结构中的相关知识经验，激活新旧知识之间的联结点，达到温故知新的目的。

例如，教学“乘法分配律”时，很多教师基本上是先从解决“买５件夹克（单价为６５元）和５条裤子（单价为４５元），一共要付出多少元”的问题入手，引出等式（６５＋４５）×５＝６５×５＋４５×５，再让学生写出几组这样的算式，然后归纳出规律。一些学生在实际计算时，将７４×（２０＋１）的算式写成７４×２０＋１的形式，原因之一就是学生观察、分析不够，体验不到位。教师在教学时不妨将等式（６５＋４５）×５＝６５×５＋４５×５从左往右进行转化，即５个（６５＋４５）的和可以写成（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＝６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＝６５＋６５＋６５＋６５＋６５＋４５＋４５＋４５＋４５＋４５＝６５×５＋４５×５，然后引领学生从后往前回看，用类似的方法还原到（６５＋４５）×５。最后让学生举例、观察、分析、发现，抽象概括出简明的式子：（ａ＋ｂ）×ｃ＝ａ×ｃ＋ｂ×ｃ。 “欲速则不达。”教师引领学生退到原始的乘法意义产生的地方，让学生去发现知识之间的内在联系来建立概念，变快为慢，使学生有充足的时间经历、体验、探索，从而掌握规律，感悟数学的符号思想。

三、退到生活经验，变远为近，把握数学本质

数学源于生活。新课程倡导“数学教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础”。因此，教师教学时要充分利用生活现象，激活学生的生活经验；利用图形直观，使抽象的道理能看得见、摸得着，引导学生在解决问题过程中渐渐逼近乃至把握数学的本质。

例如，有这样一道习题：“图１，一只蚂蚁从正方体纸盒的顶点Ａ爬到顶点Ｂ，请你在图中标出最短的爬行路径。”

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由于学生的空间观念不强，学生在解决这样的问题时，往往认为从顶点Ａ到顶点Ｃ，再从顶点Ｃ画对角线到顶点Ｂ（如图２）为最短的路径。而实际上，这并不是一条最短的路径。可以准备一只正方体的纸盒，把正方体的纸盒盖子掀开，正方体的上面和前面正好构成了一个长方形，通过变体为面，使学生豁然开朗，能很快找到从顶点Ａ到顶点Ｂ的最短路径，即长方形的对角线（如图３所示）。

经验是学生展开几何学习活动的前提条件。学生有如下的生活经验：如图４，从顶点Ａ到达顶点Ｂ，走ＡＢ的路径要比走ＡＣ＋ＣＢ的路径近得多。教学时，教师应充分利用这样的宝贵资源，变远为近，使学生在动手操作、仔细观察、认真思考中获得空间知觉，建立空间观念，发展空间思维，进而把握数学的本质——两点之间线段最短。

“以退为进”的实质是转移或转换，是一种智慧的体现。“退”是“进”的基础和准备，“进”是“退”的发展和提升。当学生“山重水复疑无路”时，运用好“以退为进”的策略，往往会收到“柳暗花明又一村”的效果。

（责编杜华）

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美国心理学家弗里德曼做的“登门槛”心理实验表明：“先得寸再进尺，往往能实现目标。”华罗庚也说过：“复杂的问题要善于‘退，足够地‘退，‘退到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。”这就是“以退为进”的策略，在数学学习中常常用到。

一、退到思维起点，变繁为简，构建数学模型

数学教学是思维活动的教学。要使学生的思维得到有效发展，教师就要在学生学习新知时为他们寻找合适的思维起点，使他们在学习中建构数学模型，逐渐逼近数学的本质。

例如，特级教师刘松教学“数学广角——找次品”一课时，将教材中的数据变大，使原题变成：“２１８７瓶木糖醇口香糖中有一瓶特别轻（次品），用天平称，至少称几次才能保证找到它？”教学时，学生有的说２１８５次，有的说一千多次，还有的说７２９次……刘老师引领学生从３瓶想起，分成（１、１、１），需要称１次；９瓶分成（３、３、３），需要称２次；２７瓶分成（９、９、９），需要称３次；８１瓶分成（２７、２７、２７），需要称４次；２４３瓶分成（８１、８１、８１），需要称５次；７２９瓶分成（２４３、２４３、２４３），需要称６次；２１８７瓶分成（７２９、７２９、７２９），需要称７次。学生面对庞大的数据２１８７时，显得束手无策，不得其门而入。这时刘老师引导学生退到适合的思维起点，从最简单处想起：“用天平称时，将数据三等分，保证以最少的次数找到次品。”……经过这样变繁为简的过程，逐步推进，不仅引导学生解决了问题，而且帮助学生积累了数学活动经验，顺利地构建了新知的数学模型。

二、退到旧知原点，变快为慢，感悟数学思想

奥苏贝尔曾经说过：“影响学生的最重要因素是学生已经知道了什么。”教学时退回到旧知原点，能再现学生认知结构中的相关知识经验，激活新旧知识之间的联结点，达到温故知新的目的。

例如，教学“乘法分配律”时，很多教师基本上是先从解决“买５件夹克（单价为６５元）和５条裤子（单价为４５元），一共要付出多少元”的问题入手，引出等式（６５＋４５）×５＝６５×５＋４５×５，再让学生写出几组这样的算式，然后归纳出规律。一些学生在实际计算时，将７４×（２０＋１）的算式写成７４×２０＋１的形式，原因之一就是学生观察、分析不够，体验不到位。教师在教学时不妨将等式（６５＋４５）×５＝６５×５＋４５×５从左往右进行转化，即５个（６５＋４５）的和可以写成（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＋（６５＋４５）＝６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＋６５＋４５＝６５＋６５＋６５＋６５＋６５＋４５＋４５＋４５＋４５＋４５＝６５×５＋４５×５，然后引领学生从后往前回看，用类似的方法还原到（６５＋４５）×５。最后让学生举例、观察、分析、发现，抽象概括出简明的式子：（ａ＋ｂ）×ｃ＝ａ×ｃ＋ｂ×ｃ。 “欲速则不达。”教师引领学生退到原始的乘法意义产生的地方，让学生去发现知识之间的内在联系来建立概念，变快为慢，使学生有充足的时间经历、体验、探索，从而掌握规律，感悟数学的符号思想。

三、退到生活经验，变远为近，把握数学本质

数学源于生活。新课程倡导“数学教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础”。因此，教师教学时要充分利用生活现象，激活学生的生活经验；利用图形直观，使抽象的道理能看得见、摸得着，引导学生在解决问题过程中渐渐逼近乃至把握数学的本质。

例如，有这样一道习题：“图１，一只蚂蚁从正方体纸盒的顶点Ａ爬到顶点Ｂ，请你在图中标出最短的爬行路径。”

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由于学生的空间观念不强，学生在解决这样的问题时，往往认为从顶点Ａ到顶点Ｃ，再从顶点Ｃ画对角线到顶点Ｂ（如图２）为最短的路径。而实际上，这并不是一条最短的路径。可以准备一只正方体的纸盒，把正方体的纸盒盖子掀开，正方体的上面和前面正好构成了一个长方形，通过变体为面，使学生豁然开朗，能很快找到从顶点Ａ到顶点Ｂ的最短路径，即长方形的对角线（如图３所示）。

经验是学生展开几何学习活动的前提条件。学生有如下的生活经验：如图４，从顶点Ａ到达顶点Ｂ，走ＡＢ的路径要比走ＡＣ＋ＣＢ的路径近得多。教学时，教师应充分利用这样的宝贵资源，变远为近，使学生在动手操作、仔细观察、认真思考中获得空间知觉，建立空间观念，发展空间思维，进而把握数学的本质——两点之间线段最短。

“以退为进”的实质是转移或转换，是一种智慧的体现。“退”是“进”的基础和准备，“进”是“退”的发展和提升。当学生“山重水复疑无路”时，运用好“以退为进”的策略，往往会收到“柳暗花明又一村”的效果。

（责编杜华）

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