表内乘除法常见错例及教学干预

+张静波

表内乘除法是小学阶段乘除法学习中的基础，有大九九和小九九之分。常规是按大九九进行教学的，即表内乘法和表内除法各８１句。

教学中高段的教师常说起某班或某生乘除法掌握不够好，并简单地归因为低学段时乘除法基础没有打好。那么表内乘除法的易错点在哪里呢？是否能够在教学中提前干预，消除易错点呢？抱着这样的想法，我们以校教改项目研究的方式对表内乘除法进行了实践研究。

为了能够得到学生表内乘除法的易错题，我们在９月份对学生进行了表内乘除法各８１题的前测。以下是前测数据。

表内乘法错误情况统计表

■

注：３１２名学生，其中１６３人满分，４张为无效试卷（其中４名学生没做完：３人漏题没有完成，１人来不及做。因此４张为无效试卷）；学生出错的题目一共７０题，另外１１题无错误。

表内除法错误情况统计表

■

注：３１２名学生，其中１１９人满分，２张为无效试卷；其中出错７９题，另２题无出错。

对比学生表内乘除法的掌握情况，显然学生乘法掌握相对比除法要好。

我们根据原来二年级教师的经验及前测情况，进行了初步的诊断。学生的错误基本有以下几种：

１．两个大数相乘易错。如：６×７；７×９。

２．数字相似的口诀易混淆。如：三六一十八与二六十二；三七二十一与三九二十七；二八一十六与二九一十八；五九四十五与六九五十四。

３．得数是二十几的算式容易写错。

４．大数在前易错。如：８×２；９×３。

５．乘号和除号容易看错。如：６÷２＝８，３÷３＝９。

表内乘除法和２０以内的加减法一样，是所有计算中的基础，最终目标是让学生能够脱离算理，脱口而出，但是却不能简单地让学生死记硬背。虽然学生依赖于强记也能使计算正确率比较高，但是仅限于“小和尚念经，有口无心”的状态。因此在教学时教师应重点抓住乘法和除法的算理，特别是乘法口诀的推导过程，帮助学生进行意义上的建构，通过操作强化学生对“几个几相加”的乘法意义的理解，进行提前干预，而非机械记忆。教材对乘法意义的阐述是“求几个相同加数的和的简便计算”，这样的表述似乎将加法和乘法之间的关系割裂开来，因此教学时可通过如下方法对乘法的意义加以建构。

几个同数相加和乘法进行连线，或要求将同数相加改写成乘法算式，沟通加法和乘法之间的内在联系。如

■

首先呈现的是结合具体情境的实物图，４个３相加，既可列式为３×４＝１２，也可列式为４×３＝１２。

又如，２的乘法口诀，通过多种实物或图形直观的方式呈现，建立起实物——图形——加法算式——乘法算式之间的练习，抽象出乘法的意义。

■

教学除法的初步认识时可采用以下策略。

１．通过操作，加强对“平均分”的理解

教学除法的认识，先从分实物引入。除法的本质是“平均分”，包含两种意义：包含除和等分除。在教学认识除法之前，先要通过具体分东西的操作，让学生建立清晰的“平均分”的概念；再学习两种不同的分法，通过分一分、圈一圈等实际活动，让学生理解除法的本质特征。在教学中不必拘泥于一个一个地分，也可以是两个两个地分，还可以几个几个地分，只要每次每份分的个数相同，就能保证最后每份分得的个数相同。总之，不管是哪种分法，不管怎样去分，最后都要达到“平均分”的目的，这才是最主要的目的。

２．结合具体情境，联系平均分的过程

列除法算式与列乘法算式相比，相对要稍难些。列乘法算式求３个２是多少，既可以列成３×２，也可以列成２×３。但列除法算式则不同，要把被分物体的总个数写在除号的前面，作被除数；要把每一份的个数或平均分成的份数写在除号的后面，作除数；把分得的结果写在等号的后面，作商。所以在教学认识除法的例题时，先要说明要求出问题的结果可以用除法计算；在列出除法算式后，还要结合例题的具体情境，联系实际分的过程，让学生理解算式各部分所表示的具体含义，以加深学生对除法的认识。

另外还可配合下面几种方法。

１．推算口诀记忆法（背诵法及上下口诀联想推算法，利用乘除法意义记忆口诀）。

２．课前口诀记忆法：每次预备铃响后由课代表带领全班同学背诵乘法口诀（顺背、倒背、横背、竖背）。

３．小组合作记忆法：组长负责检查本组成员的口诀掌握情况。

４．视算听算练习，强化记忆。

５．建立易错题库，适当增加频率。

６．游戏记忆法，轻松记口诀：

如拍３的游戏：３的口诀得数只能用拍手表示，不能用口说出来，四人小组从１开始按顺序轮流数，要求算错的学生表演一个节目。

如同桌两人准备０~９的数字卡片，各取出一张，用乘法口诀进行计算，谁又快又准，谁就可以收回两张卡片，直到一方没有卡片为止。

又如记忆２的乘法口诀：１只青蛙１张嘴，２只眼睛４条腿，扑通扑通跳下水……记忆６的乘法口诀：１只蜜蜂６条腿，２只蜜蜂１２条腿，３只蜜蜂１８条腿，采来采去采花粉……

７．对比记忆法。

出一些对比题，以增强学生的辨析能力。如：

３÷３＝

５÷５＝

３÷１＝

５÷１＝

又如，积相近的可以放在一起练习：

５×７＝３５，

４×９＝３６；

７×９＝６３，

８×８＝６４。

通过上述措施的实施，我们对本年段７个班级学生中进行了后测及分析。

表内乘法错误情况统计

■

注：１５３名学生，其中１２１人满分；出错３７题，另外４４题无错误。

表内除法错误情况统计

■

注：１５３名学生，其中１２３人满分；出错３６题，另外４５题无错误。

再拿之前的８１题表内乘除法让学生试一试，结果无明显出错的题目。因此我们认为干预措施有效，而且初步得出：两三个月的干预数量，已经足够消灭易错易混题目；次数已经足够，再练习已不必要。

对于出错较多的几个学生，我们进行了个案分析：如２班的张同学，是因为智力发育稍迟缓；１班的黄同学，是属于抱无所谓态度的学生。而其他学生，并非不掌握表内乘除法，或是因为数字符号看错，或属偶然。

以前针对学生的乘除法计算错误多，我们常归因为乘除法教学不到位，通过实践可以知道，是由于学生的年龄特征及个性特征所致。根据艾宾浩斯的遗忘曲线规律，学生对表内乘除法有了临时性遗忘，就像从仓库里调出很久没有使用过的材料一样，花费的时间相对长，出错的概率较原来高。另外，表内乘除法相对于多位数乘除法来说，比较单一，学生不容易错，但多位数乘除法步骤一多，学生容易混淆，所以错误相对增多，而并非是低学段时乘法基础没有打好。

通过实践证明，表内乘除法的教学及练习最好能够分段进行，没必要集中在一长段时间里教学，那样反而事倍功半。根据遗忘曲线规律安排教学，适当加以复习回忆，效果相对较好。

（责编金铃）

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表内乘除法是小学阶段乘除法学习中的基础，有大九九和小九九之分。常规是按大九九进行教学的，即表内乘法和表内除法各８１句。

教学中高段的教师常说起某班或某生乘除法掌握不够好，并简单地归因为低学段时乘除法基础没有打好。那么表内乘除法的易错点在哪里呢？是否能够在教学中提前干预，消除易错点呢？抱着这样的想法，我们以校教改项目研究的方式对表内乘除法进行了实践研究。

为了能够得到学生表内乘除法的易错题，我们在９月份对学生进行了表内乘除法各８１题的前测。以下是前测数据。

表内乘法错误情况统计表

■

注：３１２名学生，其中１６３人满分，４张为无效试卷（其中４名学生没做完：３人漏题没有完成，１人来不及做。因此４张为无效试卷）；学生出错的题目一共７０题，另外１１题无错误。

表内除法错误情况统计表

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注：３１２名学生，其中１１９人满分，２张为无效试卷；其中出错７９题，另２题无出错。

对比学生表内乘除法的掌握情况，显然学生乘法掌握相对比除法要好。

我们根据原来二年级教师的经验及前测情况，进行了初步的诊断。学生的错误基本有以下几种：

１．两个大数相乘易错。如：６×７；７×９。

２．数字相似的口诀易混淆。如：三六一十八与二六十二；三七二十一与三九二十七；二八一十六与二九一十八；五九四十五与六九五十四。

３．得数是二十几的算式容易写错。

４．大数在前易错。如：８×２；９×３。

５．乘号和除号容易看错。如：６÷２＝８，３÷３＝９。

表内乘除法和２０以内的加减法一样，是所有计算中的基础，最终目标是让学生能够脱离算理，脱口而出，但是却不能简单地让学生死记硬背。虽然学生依赖于强记也能使计算正确率比较高，但是仅限于“小和尚念经，有口无心”的状态。因此在教学时教师应重点抓住乘法和除法的算理，特别是乘法口诀的推导过程，帮助学生进行意义上的建构，通过操作强化学生对“几个几相加”的乘法意义的理解，进行提前干预，而非机械记忆。教材对乘法意义的阐述是“求几个相同加数的和的简便计算”，这样的表述似乎将加法和乘法之间的关系割裂开来，因此教学时可通过如下方法对乘法的意义加以建构。

几个同数相加和乘法进行连线，或要求将同数相加改写成乘法算式，沟通加法和乘法之间的内在联系。如

■

首先呈现的是结合具体情境的实物图，４个３相加，既可列式为３×４＝１２，也可列式为４×３＝１２。

又如，２的乘法口诀，通过多种实物或图形直观的方式呈现，建立起实物——图形——加法算式——乘法算式之间的练习，抽象出乘法的意义。

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教学除法的初步认识时可采用以下策略。

１．通过操作，加强对“平均分”的理解

教学除法的认识，先从分实物引入。除法的本质是“平均分”，包含两种意义：包含除和等分除。在教学认识除法之前，先要通过具体分东西的操作，让学生建立清晰的“平均分”的概念；再学习两种不同的分法，通过分一分、圈一圈等实际活动，让学生理解除法的本质特征。在教学中不必拘泥于一个一个地分，也可以是两个两个地分，还可以几个几个地分，只要每次每份分的个数相同，就能保证最后每份分得的个数相同。总之，不管是哪种分法，不管怎样去分，最后都要达到“平均分”的目的，这才是最主要的目的。

２．结合具体情境，联系平均分的过程

列除法算式与列乘法算式相比，相对要稍难些。列乘法算式求３个２是多少，既可以列成３×２，也可以列成２×３。但列除法算式则不同，要把被分物体的总个数写在除号的前面，作被除数；要把每一份的个数或平均分成的份数写在除号的后面，作除数；把分得的结果写在等号的后面，作商。所以在教学认识除法的例题时，先要说明要求出问题的结果可以用除法计算；在列出除法算式后，还要结合例题的具体情境，联系实际分的过程，让学生理解算式各部分所表示的具体含义，以加深学生对除法的认识。

另外还可配合下面几种方法。

１．推算口诀记忆法（背诵法及上下口诀联想推算法，利用乘除法意义记忆口诀）。

２．课前口诀记忆法：每次预备铃响后由课代表带领全班同学背诵乘法口诀（顺背、倒背、横背、竖背）。

３．小组合作记忆法：组长负责检查本组成员的口诀掌握情况。

４．视算听算练习，强化记忆。

５．建立易错题库，适当增加频率。

６．游戏记忆法，轻松记口诀：

如拍３的游戏：３的口诀得数只能用拍手表示，不能用口说出来，四人小组从１开始按顺序轮流数，要求算错的学生表演一个节目。

如同桌两人准备０~９的数字卡片，各取出一张，用乘法口诀进行计算，谁又快又准，谁就可以收回两张卡片，直到一方没有卡片为止。

又如记忆２的乘法口诀：１只青蛙１张嘴，２只眼睛４条腿，扑通扑通跳下水……记忆６的乘法口诀：１只蜜蜂６条腿，２只蜜蜂１２条腿，３只蜜蜂１８条腿，采来采去采花粉……

７．对比记忆法。

出一些对比题，以增强学生的辨析能力。如：

３÷３＝

５÷５＝

３÷１＝

５÷１＝

又如，积相近的可以放在一起练习：

５×７＝３５，

４×９＝３６；

７×９＝６３，

８×８＝６４。

通过上述措施的实施，我们对本年段７个班级学生中进行了后测及分析。

表内乘法错误情况统计

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注：１５３名学生，其中１２１人满分；出错３７题，另外４４题无错误。

表内除法错误情况统计

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注：１５３名学生，其中１２３人满分；出错３６题，另外４５题无错误。

再拿之前的８１题表内乘除法让学生试一试，结果无明显出错的题目。因此我们认为干预措施有效，而且初步得出：两三个月的干预数量，已经足够消灭易错易混题目；次数已经足够，再练习已不必要。

对于出错较多的几个学生，我们进行了个案分析：如２班的张同学，是因为智力发育稍迟缓；１班的黄同学，是属于抱无所谓态度的学生。而其他学生，并非不掌握表内乘除法，或是因为数字符号看错，或属偶然。

以前针对学生的乘除法计算错误多，我们常归因为乘除法教学不到位，通过实践可以知道，是由于学生的年龄特征及个性特征所致。根据艾宾浩斯的遗忘曲线规律，学生对表内乘除法有了临时性遗忘，就像从仓库里调出很久没有使用过的材料一样，花费的时间相对长，出错的概率较原来高。另外，表内乘除法相对于多位数乘除法来说，比较单一，学生不容易错，但多位数乘除法步骤一多，学生容易混淆，所以错误相对增多，而并非是低学段时乘法基础没有打好。

通过实践证明，表内乘除法的教学及练习最好能够分段进行，没必要集中在一长段时间里教学，那样反而事倍功半。根据遗忘曲线规律安排教学，适当加以复习回忆，效果相对较好。

（责编金铃）

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表内乘除法是小学阶段乘除法学习中的基础，有大九九和小九九之分。常规是按大九九进行教学的，即表内乘法和表内除法各８１句。

教学中高段的教师常说起某班或某生乘除法掌握不够好，并简单地归因为低学段时乘除法基础没有打好。那么表内乘除法的易错点在哪里呢？是否能够在教学中提前干预，消除易错点呢？抱着这样的想法，我们以校教改项目研究的方式对表内乘除法进行了实践研究。

为了能够得到学生表内乘除法的易错题，我们在９月份对学生进行了表内乘除法各８１题的前测。以下是前测数据。

表内乘法错误情况统计表

■

注：３１２名学生，其中１６３人满分，４张为无效试卷（其中４名学生没做完：３人漏题没有完成，１人来不及做。因此４张为无效试卷）；学生出错的题目一共７０题，另外１１题无错误。

表内除法错误情况统计表

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注：３１２名学生，其中１１９人满分，２张为无效试卷；其中出错７９题，另２题无出错。

对比学生表内乘除法的掌握情况，显然学生乘法掌握相对比除法要好。

我们根据原来二年级教师的经验及前测情况，进行了初步的诊断。学生的错误基本有以下几种：

１．两个大数相乘易错。如：６×７；７×９。

２．数字相似的口诀易混淆。如：三六一十八与二六十二；三七二十一与三九二十七；二八一十六与二九一十八；五九四十五与六九五十四。

３．得数是二十几的算式容易写错。

４．大数在前易错。如：８×２；９×３。

５．乘号和除号容易看错。如：６÷２＝８，３÷３＝９。

表内乘除法和２０以内的加减法一样，是所有计算中的基础，最终目标是让学生能够脱离算理，脱口而出，但是却不能简单地让学生死记硬背。虽然学生依赖于强记也能使计算正确率比较高，但是仅限于“小和尚念经，有口无心”的状态。因此在教学时教师应重点抓住乘法和除法的算理，特别是乘法口诀的推导过程，帮助学生进行意义上的建构，通过操作强化学生对“几个几相加”的乘法意义的理解，进行提前干预，而非机械记忆。教材对乘法意义的阐述是“求几个相同加数的和的简便计算”，这样的表述似乎将加法和乘法之间的关系割裂开来，因此教学时可通过如下方法对乘法的意义加以建构。

几个同数相加和乘法进行连线，或要求将同数相加改写成乘法算式，沟通加法和乘法之间的内在联系。如

■

首先呈现的是结合具体情境的实物图，４个３相加，既可列式为３×４＝１２，也可列式为４×３＝１２。

又如，２的乘法口诀，通过多种实物或图形直观的方式呈现，建立起实物——图形——加法算式——乘法算式之间的练习，抽象出乘法的意义。

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教学除法的初步认识时可采用以下策略。

１．通过操作，加强对“平均分”的理解

教学除法的认识，先从分实物引入。除法的本质是“平均分”，包含两种意义：包含除和等分除。在教学认识除法之前，先要通过具体分东西的操作，让学生建立清晰的“平均分”的概念；再学习两种不同的分法，通过分一分、圈一圈等实际活动，让学生理解除法的本质特征。在教学中不必拘泥于一个一个地分，也可以是两个两个地分，还可以几个几个地分，只要每次每份分的个数相同，就能保证最后每份分得的个数相同。总之，不管是哪种分法，不管怎样去分，最后都要达到“平均分”的目的，这才是最主要的目的。

２．结合具体情境，联系平均分的过程

列除法算式与列乘法算式相比，相对要稍难些。列乘法算式求３个２是多少，既可以列成３×２，也可以列成２×３。但列除法算式则不同，要把被分物体的总个数写在除号的前面，作被除数；要把每一份的个数或平均分成的份数写在除号的后面，作除数；把分得的结果写在等号的后面，作商。所以在教学认识除法的例题时，先要说明要求出问题的结果可以用除法计算；在列出除法算式后，还要结合例题的具体情境，联系实际分的过程，让学生理解算式各部分所表示的具体含义，以加深学生对除法的认识。

另外还可配合下面几种方法。

１．推算口诀记忆法（背诵法及上下口诀联想推算法，利用乘除法意义记忆口诀）。

２．课前口诀记忆法：每次预备铃响后由课代表带领全班同学背诵乘法口诀（顺背、倒背、横背、竖背）。

３．小组合作记忆法：组长负责检查本组成员的口诀掌握情况。

４．视算听算练习，强化记忆。

５．建立易错题库，适当增加频率。

６．游戏记忆法，轻松记口诀：

如拍３的游戏：３的口诀得数只能用拍手表示，不能用口说出来，四人小组从１开始按顺序轮流数，要求算错的学生表演一个节目。

如同桌两人准备０~９的数字卡片，各取出一张，用乘法口诀进行计算，谁又快又准，谁就可以收回两张卡片，直到一方没有卡片为止。

又如记忆２的乘法口诀：１只青蛙１张嘴，２只眼睛４条腿，扑通扑通跳下水……记忆６的乘法口诀：１只蜜蜂６条腿，２只蜜蜂１２条腿，３只蜜蜂１８条腿，采来采去采花粉……

７．对比记忆法。

出一些对比题，以增强学生的辨析能力。如：

３÷３＝

５÷５＝

３÷１＝

５÷１＝

又如，积相近的可以放在一起练习：

５×７＝３５，

４×９＝３６；

７×９＝６３，

８×８＝６４。

通过上述措施的实施，我们对本年段７个班级学生中进行了后测及分析。

表内乘法错误情况统计

■

注：１５３名学生，其中１２１人满分；出错３７题，另外４４题无错误。

表内除法错误情况统计

■

注：１５３名学生，其中１２３人满分；出错３６题，另外４５题无错误。

再拿之前的８１题表内乘除法让学生试一试，结果无明显出错的题目。因此我们认为干预措施有效，而且初步得出：两三个月的干预数量，已经足够消灭易错易混题目；次数已经足够，再练习已不必要。

对于出错较多的几个学生，我们进行了个案分析：如２班的张同学，是因为智力发育稍迟缓；１班的黄同学，是属于抱无所谓态度的学生。而其他学生，并非不掌握表内乘除法，或是因为数字符号看错，或属偶然。

以前针对学生的乘除法计算错误多，我们常归因为乘除法教学不到位，通过实践可以知道，是由于学生的年龄特征及个性特征所致。根据艾宾浩斯的遗忘曲线规律，学生对表内乘除法有了临时性遗忘，就像从仓库里调出很久没有使用过的材料一样，花费的时间相对长，出错的概率较原来高。另外，表内乘除法相对于多位数乘除法来说，比较单一，学生不容易错，但多位数乘除法步骤一多，学生容易混淆，所以错误相对增多，而并非是低学段时乘法基础没有打好。

通过实践证明，表内乘除法的教学及练习最好能够分段进行，没必要集中在一长段时间里教学，那样反而事倍功半。根据遗忘曲线规律安排教学，适当加以复习回忆，效果相对较好。

（责编金铃）

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