找“三线” 识“八角”

张松涛

摘要：同位角、内错角、同旁内角是一条直线截两条直线所形成的八个角，简称“三线八角”。它是学习直线平行判定与性质的前提和基础。那么，如何把握这八个角呢？关键就是找准“三线”，即一条截线和两条被截线，方可认清“八角”。

关键词：截线；被截线；同位角；内错角；同旁内角

中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）20-0121-01

“三线八角”是反映一条直线截两条直线所形成的八个角的位置关系，教材中我们分别称之为同位角、内错角、同旁内角，这条直线叫做截线，两条直线叫做被截线。在教学中教师反复强调“同位角在截线同旁，在截线同方向；内错角在截线两旁，在被截线之间；同旁内角在截线同旁，在被截线之间。”但是在实际学习中，学生往往张冠李戴、顾此失彼，除因概念本身牵扯到的线多角多外，笔者认为，主要在于没有找准截线和被截线。

如图，直线c截直线a、b，那么直线c叫做截线，直线a、b叫做被截线。由定义可知，∠1与∠2是同位角，∠2与∠3是内错角，∠2与∠4是同旁内角。然而同时我们还发现，∠1和∠2各有一条边都在截线c上，另两条边分别在被截线b、c上。∠2与∠3、∠2与∠4情况也一样。于是我们有如下结论：两角的边所在的公共直线即为截线，两角另一边所在的直线为被截线。下面看例题。

例1：判断图中∠1与∠2、∠2与∠3、∠1与∠3的位置关系？

分析：∠1的两条边所在的直线为直线a、b，∠2的两条边所在的直线为直线a、c，则公共直线a为截线，直线b、c为被截线。由于∠1、∠2在直线a同旁，直线b、c右方，故∠1与∠2为同旁内角，同理∠2与∠3为内错角，∠1与∠3为同旁内角。

解：（略写）。

例2：找出图中同位角、内错角、同旁内角。

分析：图中共有4条直线，没有说谁是截线被截线，那么任何一条都有可能作为截线。因此，我们每3条一组进行组合，共有①②③、①②④、①③④、②③④四组，在①②③中，所有的角都有公共顶点，故无同位角、内错角、同旁内角；在①②④中，直线BE与直线AD、BC都相交，故为BE截线，直线AD、BC为被截线；在①③④中3条直线两两相交，那么每条直线均可作为截线；在②③④中，直线AC与直线AD、BC都相交，故为AC截线，直线AD、BC为被截线。再根据定义即可求解。

解：①②③中，同位角、内错角、同旁内角均为0对；

①②④中，同位角1对即∠EAD与∠EBC、内错角0对、同旁内角1对即即∠DAB与∠ABC；

①③④中，若BE为截线，AC、BC为被截线时，同位角1对即∠EAD与∠EBC、内错角0对、同旁内角1对即∠DAB与∠ABC；

若BC为截线，AB、AC为被截线时，同位角0对、内错角0对、同旁内角1对即∠ABC与∠ACB；

若AC为截线，AB、BC为被截线时，同位角0对、内错角1对即∠EAC与∠ACB、同旁内角1对即∠BAC与∠ACB；

②③④中，同位角0对、内错角1对即∠DAC与∠ACB、同旁内角0对；

故图中同位角2对，内错角1对，同旁内角4对。

总之，寻找和判断同位角、内错角、同旁内角的关键是找准截线和被截线，抓住这个关键，角的关系便垂手可得。endprint

摘要：同位角、内错角、同旁内角是一条直线截两条直线所形成的八个角，简称“三线八角”。它是学习直线平行判定与性质的前提和基础。那么，如何把握这八个角呢？关键就是找准“三线”，即一条截线和两条被截线，方可认清“八角”。

关键词：截线；被截线；同位角；内错角；同旁内角

中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）20-0121-01

“三线八角”是反映一条直线截两条直线所形成的八个角的位置关系，教材中我们分别称之为同位角、内错角、同旁内角，这条直线叫做截线，两条直线叫做被截线。在教学中教师反复强调“同位角在截线同旁，在截线同方向；内错角在截线两旁，在被截线之间；同旁内角在截线同旁，在被截线之间。”但是在实际学习中，学生往往张冠李戴、顾此失彼，除因概念本身牵扯到的线多角多外，笔者认为，主要在于没有找准截线和被截线。

如图，直线c截直线a、b，那么直线c叫做截线，直线a、b叫做被截线。由定义可知，∠1与∠2是同位角，∠2与∠3是内错角，∠2与∠4是同旁内角。然而同时我们还发现，∠1和∠2各有一条边都在截线c上，另两条边分别在被截线b、c上。∠2与∠3、∠2与∠4情况也一样。于是我们有如下结论：两角的边所在的公共直线即为截线，两角另一边所在的直线为被截线。下面看例题。

例1：判断图中∠1与∠2、∠2与∠3、∠1与∠3的位置关系？

分析：∠1的两条边所在的直线为直线a、b，∠2的两条边所在的直线为直线a、c，则公共直线a为截线，直线b、c为被截线。由于∠1、∠2在直线a同旁，直线b、c右方，故∠1与∠2为同旁内角，同理∠2与∠3为内错角，∠1与∠3为同旁内角。

解：（略写）。

例2：找出图中同位角、内错角、同旁内角。

分析：图中共有4条直线，没有说谁是截线被截线，那么任何一条都有可能作为截线。因此，我们每3条一组进行组合，共有①②③、①②④、①③④、②③④四组，在①②③中，所有的角都有公共顶点，故无同位角、内错角、同旁内角；在①②④中，直线BE与直线AD、BC都相交，故为BE截线，直线AD、BC为被截线；在①③④中3条直线两两相交，那么每条直线均可作为截线；在②③④中，直线AC与直线AD、BC都相交，故为AC截线，直线AD、BC为被截线。再根据定义即可求解。

解：①②③中，同位角、内错角、同旁内角均为0对；

①②④中，同位角1对即∠EAD与∠EBC、内错角0对、同旁内角1对即即∠DAB与∠ABC；

①③④中，若BE为截线，AC、BC为被截线时，同位角1对即∠EAD与∠EBC、内错角0对、同旁内角1对即∠DAB与∠ABC；

若BC为截线，AB、AC为被截线时，同位角0对、内错角0对、同旁内角1对即∠ABC与∠ACB；

若AC为截线，AB、BC为被截线时，同位角0对、内错角1对即∠EAC与∠ACB、同旁内角1对即∠BAC与∠ACB；

②③④中，同位角0对、内错角1对即∠DAC与∠ACB、同旁内角0对；

故图中同位角2对，内错角1对，同旁内角4对。

总之，寻找和判断同位角、内错角、同旁内角的关键是找准截线和被截线，抓住这个关键，角的关系便垂手可得。endprint

摘要：同位角、内错角、同旁内角是一条直线截两条直线所形成的八个角，简称“三线八角”。它是学习直线平行判定与性质的前提和基础。那么，如何把握这八个角呢？关键就是找准“三线”，即一条截线和两条被截线，方可认清“八角”。

关键词：截线；被截线；同位角；内错角；同旁内角

中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）20-0121-01

“三线八角”是反映一条直线截两条直线所形成的八个角的位置关系，教材中我们分别称之为同位角、内错角、同旁内角，这条直线叫做截线，两条直线叫做被截线。在教学中教师反复强调“同位角在截线同旁，在截线同方向；内错角在截线两旁，在被截线之间；同旁内角在截线同旁，在被截线之间。”但是在实际学习中，学生往往张冠李戴、顾此失彼，除因概念本身牵扯到的线多角多外，笔者认为，主要在于没有找准截线和被截线。

如图，直线c截直线a、b，那么直线c叫做截线，直线a、b叫做被截线。由定义可知，∠1与∠2是同位角，∠2与∠3是内错角，∠2与∠4是同旁内角。然而同时我们还发现，∠1和∠2各有一条边都在截线c上，另两条边分别在被截线b、c上。∠2与∠3、∠2与∠4情况也一样。于是我们有如下结论：两角的边所在的公共直线即为截线，两角另一边所在的直线为被截线。下面看例题。

例1：判断图中∠1与∠2、∠2与∠3、∠1与∠3的位置关系？

分析：∠1的两条边所在的直线为直线a、b，∠2的两条边所在的直线为直线a、c，则公共直线a为截线，直线b、c为被截线。由于∠1、∠2在直线a同旁，直线b、c右方，故∠1与∠2为同旁内角，同理∠2与∠3为内错角，∠1与∠3为同旁内角。

解：（略写）。

例2：找出图中同位角、内错角、同旁内角。

分析：图中共有4条直线，没有说谁是截线被截线，那么任何一条都有可能作为截线。因此，我们每3条一组进行组合，共有①②③、①②④、①③④、②③④四组，在①②③中，所有的角都有公共顶点，故无同位角、内错角、同旁内角；在①②④中，直线BE与直线AD、BC都相交，故为BE截线，直线AD、BC为被截线；在①③④中3条直线两两相交，那么每条直线均可作为截线；在②③④中，直线AC与直线AD、BC都相交，故为AC截线，直线AD、BC为被截线。再根据定义即可求解。

解：①②③中，同位角、内错角、同旁内角均为0对；

①②④中，同位角1对即∠EAD与∠EBC、内错角0对、同旁内角1对即即∠DAB与∠ABC；

①③④中，若BE为截线，AC、BC为被截线时，同位角1对即∠EAD与∠EBC、内错角0对、同旁内角1对即∠DAB与∠ABC；

若BC为截线，AB、AC为被截线时，同位角0对、内错角0对、同旁内角1对即∠ABC与∠ACB；

若AC为截线，AB、BC为被截线时，同位角0对、内错角1对即∠EAC与∠ACB、同旁内角1对即∠BAC与∠ACB；

②③④中，同位角0对、内错角1对即∠DAC与∠ACB、同旁内角0对；

故图中同位角2对，内错角1对，同旁内角4对。

总之，寻找和判断同位角、内错角、同旁内角的关键是找准截线和被截线，抓住这个关键，角的关系便垂手可得。endprint