关于用列表法解决问题的思考和初探

凌娟+吴高平

“问题解决”是《数学课程标准》制定的四大总目标之一，并明确指出：“使学生步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。”解决问题的方法是解决问题的核心，没有方法就是无本之木、无源之水，更谈不上解决问题。小学数学解决问题的方法多种多样，列表法就是其中一种很有效的解决问题的方法。由于列表法在解决问题的过程中比较繁琐，且教师教学时也不够重视，所以大多数学生不愿意去尝试，导致一些能解决的问题而无法解决或者解决得不彻底。因此，在“问题解决”的教学中，教师要根据题目的内容和结构特点，适时引导、鼓励学生用列表法解决问题，让学生真正体会到用列表法解决问题的好处与作用，培养思维的有序性和缜密性，提高学生的数学素养和创新能力。

一、在“租车”问题中感知列表法

北师大版数学教材三年级下册和五年级上册都安排了“租车”问题这个内容。如五年级上册“旅游费用”的“租车”问题（如下图）：“我们学校共１１５人，准备去秋游，怎样租车省钱？”

■

教学时，我是这样组织的：１．先让学生估一估怎样租车省钱。有的学生认为都租大客车省钱，有的认为都租小客车省钱，还有的认为两种客车都可以租用。２．引导学生自己探究哪种方案省钱。３．学生汇报如下：（１）１１５÷４０＝２（辆）……３５（人），需租３辆大客车，共付租金１０００×３＝３０００（元）；（２）１１５÷２５＝４（辆）……１５（人），需租５辆小客车，共付租金６５０×５＝３２５０（元）；（３）租两辆大客车和两辆小客车，租金是１０００×２＋６５０×２＝３３００（元）；（４）租一辆大客车和３辆小客车，租金是１０００＋６５０×３＝２９５０（元）……我一一列举学生的租车方法，并追问：“还有不同的租车方法吗？”“你们所有的方法都尝试了吗？”“到底哪种租车方法最省钱呢？”这时有不少学生处于茫然状态，因为他们不敢保证是不是所有的方法都全部列举出来了，而且面对这么多种解法，学生不容易比较，思维紊乱，缺乏整体感。在这种情况下，我设疑点拨：“有没有一种能把你们列举的方法全部都罗列出来并让人一目了然，不担心有没有遗漏的方法呢？”在此基础上引出列表法，并让学生自己尝试填表。

生１：

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生２：

■

生３：

■

师：比较这几个表，你喜欢哪个？为什么？

学生都认为第三个表格较好，因为它是按大客车的辆数依次减少来排列的，是有顺序的思考。这说明按一定的顺序来思考问题，不仅不会出现重复、遗漏的情况，而且很容易解决问题。这样教学，既能突出列表解决问题的优势，使学生体会到列表虽然有点麻烦，但确实是解决“租车”问题的最好方法，又能引导学生的思维处于有序状态，提高他们解决问题的兴趣。

二、在“鸡兔同笼”问题中凸显列表法

“鸡兔同笼”问题出自我国古代数学名著《孙子算经》，是一道很有趣味性的题目。北师大版教材将“鸡兔同笼”的内容安排在五年级上册，从教材的编排上看，其意图不是为了使学生学会如何解决问题，而是要让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会解决问题的一般策略——列表。虽然解决“鸡兔同笼”的问题有多种方法，如假设法、方程法等，但学生理解起来比较困难，唯有用列表法解决问题最简单，能把复杂的问题变得浅显易懂，适合各种层次的学生学习。

如有这样一道题：“鸡兔同笼，有２０个头，５４条腿，鸡、兔各有多少只？”教学时，我故意说道：“这道题有点难哦，能用什么方法算出鸡、兔各有几只呢？”此话一出，没想到就有几个机灵的学生说：“老师，我有办法解决这个问题，我可以一个一个去试。” “这是个不错的想法。那么，怎样才能清晰地表示出你试的过程呢？”这个学生不假思索地说：“可以列表呀！”“那么，请同学们用列表的方法来解决这个问题。”因为有了前面“租车”问题的教学，学生对列表有了一定的经验，不到１０分钟时间，就有学生举起了小手。

生１（列表如下）：先猜想有１只鸡、１９只兔，算出它们腿的条数，然后一个一个去试。

■

生２：我不同意他的做法，这样太麻烦了，可以省去一些步骤（列表如下）。因为假设有１只鸡时，发现腿共有７８条，应该是把兔的只数假设多了，所以可假设鸡的只数多一些，将兔的只数减少。而且，在假设有１０只鸡时，发现多出６条腿，可直接得出鸡有１３只，兔有７只。

■

生３：我从２０中间设鸡有１０只、兔有１０只来计算腿数，列出下表。在看到６０条腿比５４多时，兔的只数要减少，第二行就为鸡有１２只，兔有８只。

■

生４：因为６０比５４多６，６÷２＝３（只），所以只需把兔的只数减少３只即可。

……

学生汇报交流后，我做了一个统计：全班９５％的学生都列出了不同形式的表格，而且结果正确。这让我很意外、很欣喜，说明用列表法解决“鸡兔同笼”问题是一个好方法，不仅能使学生很容易接受和理解，而且很多学生在列表解决问题的过程中不知不觉地运用了假设法，使解决问题更简便、快捷。

三、在举一反三中建立模型思想

学习的关键及其目的在于运用。课堂教学中，教师应引导学生概括出解决“租车”和“鸡兔同笼”问题的一般解题策略，使学生学会举一反三、触类旁通，提炼出此类问题的结构特征和问题解决的一般性策略，从而帮助学生建立模型思想。如北师大版教材五年级下册“数学与生活”有这样一道题：“粉刷某办公室约需涂料３３０千克，如何购买不同包装的涂料才能最省钱？每大桶１８千克，１６０元；每小桶１０千克，１０５元。”再如：“有２０张５元和２元的人民币，一共是８２元。５元和２元的人民币各有多少张？”因为学生在建模的过程中学会思维和推理，掌握了猜测、验证、假设等数学思想方法，所以题目出示后，学生能很快运用列表法求解。

综上所述，列表法确实有着其他方法不可替代的作用，教师教学中应引导学生根据问题恰当地选择解决问题的一般策略——列表，以培养学生的发散性思维和探究能力。

（责编杜华）

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“问题解决”是《数学课程标准》制定的四大总目标之一，并明确指出：“使学生步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。”解决问题的方法是解决问题的核心，没有方法就是无本之木、无源之水，更谈不上解决问题。小学数学解决问题的方法多种多样，列表法就是其中一种很有效的解决问题的方法。由于列表法在解决问题的过程中比较繁琐，且教师教学时也不够重视，所以大多数学生不愿意去尝试，导致一些能解决的问题而无法解决或者解决得不彻底。因此，在“问题解决”的教学中，教师要根据题目的内容和结构特点，适时引导、鼓励学生用列表法解决问题，让学生真正体会到用列表法解决问题的好处与作用，培养思维的有序性和缜密性，提高学生的数学素养和创新能力。

一、在“租车”问题中感知列表法

北师大版数学教材三年级下册和五年级上册都安排了“租车”问题这个内容。如五年级上册“旅游费用”的“租车”问题（如下图）：“我们学校共１１５人，准备去秋游，怎样租车省钱？”

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教学时，我是这样组织的：１．先让学生估一估怎样租车省钱。有的学生认为都租大客车省钱，有的认为都租小客车省钱，还有的认为两种客车都可以租用。２．引导学生自己探究哪种方案省钱。３．学生汇报如下：（１）１１５÷４０＝２（辆）……３５（人），需租３辆大客车，共付租金１０００×３＝３０００（元）；（２）１１５÷２５＝４（辆）……１５（人），需租５辆小客车，共付租金６５０×５＝３２５０（元）；（３）租两辆大客车和两辆小客车，租金是１０００×２＋６５０×２＝３３００（元）；（４）租一辆大客车和３辆小客车，租金是１０００＋６５０×３＝２９５０（元）……我一一列举学生的租车方法，并追问：“还有不同的租车方法吗？”“你们所有的方法都尝试了吗？”“到底哪种租车方法最省钱呢？”这时有不少学生处于茫然状态，因为他们不敢保证是不是所有的方法都全部列举出来了，而且面对这么多种解法，学生不容易比较，思维紊乱，缺乏整体感。在这种情况下，我设疑点拨：“有没有一种能把你们列举的方法全部都罗列出来并让人一目了然，不担心有没有遗漏的方法呢？”在此基础上引出列表法，并让学生自己尝试填表。

生１：

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生２：

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生３：

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师：比较这几个表，你喜欢哪个？为什么？

学生都认为第三个表格较好，因为它是按大客车的辆数依次减少来排列的，是有顺序的思考。这说明按一定的顺序来思考问题，不仅不会出现重复、遗漏的情况，而且很容易解决问题。这样教学，既能突出列表解决问题的优势，使学生体会到列表虽然有点麻烦，但确实是解决“租车”问题的最好方法，又能引导学生的思维处于有序状态，提高他们解决问题的兴趣。

二、在“鸡兔同笼”问题中凸显列表法

“鸡兔同笼”问题出自我国古代数学名著《孙子算经》，是一道很有趣味性的题目。北师大版教材将“鸡兔同笼”的内容安排在五年级上册，从教材的编排上看，其意图不是为了使学生学会如何解决问题，而是要让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会解决问题的一般策略——列表。虽然解决“鸡兔同笼”的问题有多种方法，如假设法、方程法等，但学生理解起来比较困难，唯有用列表法解决问题最简单，能把复杂的问题变得浅显易懂，适合各种层次的学生学习。

如有这样一道题：“鸡兔同笼，有２０个头，５４条腿，鸡、兔各有多少只？”教学时，我故意说道：“这道题有点难哦，能用什么方法算出鸡、兔各有几只呢？”此话一出，没想到就有几个机灵的学生说：“老师，我有办法解决这个问题，我可以一个一个去试。” “这是个不错的想法。那么，怎样才能清晰地表示出你试的过程呢？”这个学生不假思索地说：“可以列表呀！”“那么，请同学们用列表的方法来解决这个问题。”因为有了前面“租车”问题的教学，学生对列表有了一定的经验，不到１０分钟时间，就有学生举起了小手。

生１（列表如下）：先猜想有１只鸡、１９只兔，算出它们腿的条数，然后一个一个去试。

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生２：我不同意他的做法，这样太麻烦了，可以省去一些步骤（列表如下）。因为假设有１只鸡时，发现腿共有７８条，应该是把兔的只数假设多了，所以可假设鸡的只数多一些，将兔的只数减少。而且，在假设有１０只鸡时，发现多出６条腿，可直接得出鸡有１３只，兔有７只。

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生３：我从２０中间设鸡有１０只、兔有１０只来计算腿数，列出下表。在看到６０条腿比５４多时，兔的只数要减少，第二行就为鸡有１２只，兔有８只。

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生４：因为６０比５４多６，６÷２＝３（只），所以只需把兔的只数减少３只即可。

……

学生汇报交流后，我做了一个统计：全班９５％的学生都列出了不同形式的表格，而且结果正确。这让我很意外、很欣喜，说明用列表法解决“鸡兔同笼”问题是一个好方法，不仅能使学生很容易接受和理解，而且很多学生在列表解决问题的过程中不知不觉地运用了假设法，使解决问题更简便、快捷。

三、在举一反三中建立模型思想

学习的关键及其目的在于运用。课堂教学中，教师应引导学生概括出解决“租车”和“鸡兔同笼”问题的一般解题策略，使学生学会举一反三、触类旁通，提炼出此类问题的结构特征和问题解决的一般性策略，从而帮助学生建立模型思想。如北师大版教材五年级下册“数学与生活”有这样一道题：“粉刷某办公室约需涂料３３０千克，如何购买不同包装的涂料才能最省钱？每大桶１８千克，１６０元；每小桶１０千克，１０５元。”再如：“有２０张５元和２元的人民币，一共是８２元。５元和２元的人民币各有多少张？”因为学生在建模的过程中学会思维和推理，掌握了猜测、验证、假设等数学思想方法，所以题目出示后，学生能很快运用列表法求解。

综上所述，列表法确实有着其他方法不可替代的作用，教师教学中应引导学生根据问题恰当地选择解决问题的一般策略——列表，以培养学生的发散性思维和探究能力。

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“问题解决”是《数学课程标准》制定的四大总目标之一，并明确指出：“使学生步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。”解决问题的方法是解决问题的核心，没有方法就是无本之木、无源之水，更谈不上解决问题。小学数学解决问题的方法多种多样，列表法就是其中一种很有效的解决问题的方法。由于列表法在解决问题的过程中比较繁琐，且教师教学时也不够重视，所以大多数学生不愿意去尝试，导致一些能解决的问题而无法解决或者解决得不彻底。因此，在“问题解决”的教学中，教师要根据题目的内容和结构特点，适时引导、鼓励学生用列表法解决问题，让学生真正体会到用列表法解决问题的好处与作用，培养思维的有序性和缜密性，提高学生的数学素养和创新能力。

一、在“租车”问题中感知列表法

北师大版数学教材三年级下册和五年级上册都安排了“租车”问题这个内容。如五年级上册“旅游费用”的“租车”问题（如下图）：“我们学校共１１５人，准备去秋游，怎样租车省钱？”

■

教学时，我是这样组织的：１．先让学生估一估怎样租车省钱。有的学生认为都租大客车省钱，有的认为都租小客车省钱，还有的认为两种客车都可以租用。２．引导学生自己探究哪种方案省钱。３．学生汇报如下：（１）１１５÷４０＝２（辆）……３５（人），需租３辆大客车，共付租金１０００×３＝３０００（元）；（２）１１５÷２５＝４（辆）……１５（人），需租５辆小客车，共付租金６５０×５＝３２５０（元）；（３）租两辆大客车和两辆小客车，租金是１０００×２＋６５０×２＝３３００（元）；（４）租一辆大客车和３辆小客车，租金是１０００＋６５０×３＝２９５０（元）……我一一列举学生的租车方法，并追问：“还有不同的租车方法吗？”“你们所有的方法都尝试了吗？”“到底哪种租车方法最省钱呢？”这时有不少学生处于茫然状态，因为他们不敢保证是不是所有的方法都全部列举出来了，而且面对这么多种解法，学生不容易比较，思维紊乱，缺乏整体感。在这种情况下，我设疑点拨：“有没有一种能把你们列举的方法全部都罗列出来并让人一目了然，不担心有没有遗漏的方法呢？”在此基础上引出列表法，并让学生自己尝试填表。

生１：

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生２：

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生３：

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师：比较这几个表，你喜欢哪个？为什么？

学生都认为第三个表格较好，因为它是按大客车的辆数依次减少来排列的，是有顺序的思考。这说明按一定的顺序来思考问题，不仅不会出现重复、遗漏的情况，而且很容易解决问题。这样教学，既能突出列表解决问题的优势，使学生体会到列表虽然有点麻烦，但确实是解决“租车”问题的最好方法，又能引导学生的思维处于有序状态，提高他们解决问题的兴趣。

二、在“鸡兔同笼”问题中凸显列表法

“鸡兔同笼”问题出自我国古代数学名著《孙子算经》，是一道很有趣味性的题目。北师大版教材将“鸡兔同笼”的内容安排在五年级上册，从教材的编排上看，其意图不是为了使学生学会如何解决问题，而是要让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会解决问题的一般策略——列表。虽然解决“鸡兔同笼”的问题有多种方法，如假设法、方程法等，但学生理解起来比较困难，唯有用列表法解决问题最简单，能把复杂的问题变得浅显易懂，适合各种层次的学生学习。

如有这样一道题：“鸡兔同笼，有２０个头，５４条腿，鸡、兔各有多少只？”教学时，我故意说道：“这道题有点难哦，能用什么方法算出鸡、兔各有几只呢？”此话一出，没想到就有几个机灵的学生说：“老师，我有办法解决这个问题，我可以一个一个去试。” “这是个不错的想法。那么，怎样才能清晰地表示出你试的过程呢？”这个学生不假思索地说：“可以列表呀！”“那么，请同学们用列表的方法来解决这个问题。”因为有了前面“租车”问题的教学，学生对列表有了一定的经验，不到１０分钟时间，就有学生举起了小手。

生１（列表如下）：先猜想有１只鸡、１９只兔，算出它们腿的条数，然后一个一个去试。

■

生２：我不同意他的做法，这样太麻烦了，可以省去一些步骤（列表如下）。因为假设有１只鸡时，发现腿共有７８条，应该是把兔的只数假设多了，所以可假设鸡的只数多一些，将兔的只数减少。而且，在假设有１０只鸡时，发现多出６条腿，可直接得出鸡有１３只，兔有７只。

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生３：我从２０中间设鸡有１０只、兔有１０只来计算腿数，列出下表。在看到６０条腿比５４多时，兔的只数要减少，第二行就为鸡有１２只，兔有８只。

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生４：因为６０比５４多６，６÷２＝３（只），所以只需把兔的只数减少３只即可。

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学生汇报交流后，我做了一个统计：全班９５％的学生都列出了不同形式的表格，而且结果正确。这让我很意外、很欣喜，说明用列表法解决“鸡兔同笼”问题是一个好方法，不仅能使学生很容易接受和理解，而且很多学生在列表解决问题的过程中不知不觉地运用了假设法，使解决问题更简便、快捷。

三、在举一反三中建立模型思想

学习的关键及其目的在于运用。课堂教学中，教师应引导学生概括出解决“租车”和“鸡兔同笼”问题的一般解题策略，使学生学会举一反三、触类旁通，提炼出此类问题的结构特征和问题解决的一般性策略，从而帮助学生建立模型思想。如北师大版教材五年级下册“数学与生活”有这样一道题：“粉刷某办公室约需涂料３３０千克，如何购买不同包装的涂料才能最省钱？每大桶１８千克，１６０元；每小桶１０千克，１０５元。”再如：“有２０张５元和２元的人民币，一共是８２元。５元和２元的人民币各有多少张？”因为学生在建模的过程中学会思维和推理，掌握了猜测、验证、假设等数学思想方法，所以题目出示后，学生能很快运用列表法求解。

综上所述，列表法确实有着其他方法不可替代的作用，教师教学中应引导学生根据问题恰当地选择解决问题的一般策略——列表，以培养学生的发散性思维和探究能力。

（责编杜华）

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