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关于用列表法解决问题的思考和初探

2014-09-09凌娟吴高平

小学教学参考(数学) 2014年7期
关键词:大客车鸡兔同笼省钱

凌娟+吴高平

“问题解决”是《数学课程标准》制定的四大总目标之一,并明确指出:“使学生步学会从数学的角度发现问题和提出问题,综合运用数学知识解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力;获得分析问题和解决问题的一些基本方法,体验解决问题方法的多样性,发展创新意识。”解决问题的方法是解决问题的核心,没有方法就是无本之木、无源之水,更谈不上解决问题。小学数学解决问题的方法多种多样,列表法就是其中一种很有效的解决问题的方法。由于列表法在解决问题的过程中比较繁琐,且教师教学时也不够重视,所以大多数学生不愿意去尝试,导致一些能解决的问题而无法解决或者解决得不彻底。因此,在“问题解决”的教学中,教师要根据题目的内容和结构特点,适时引导、鼓励学生用列表法解决问题,让学生真正体会到用列表法解决问题的好处与作用,培养思维的有序性和缜密性,提高学生的数学素养和创新能力。

一、在“租车”问题中感知列表法

北师大版数学教材三年级下册和五年级上册都安排了“租车”问题这个内容。如五年级上册“旅游费用”的“租车”问题(如下图):“我们学校共115人,准备去秋游,怎样租车省钱?”

教学时,我是这样组织的:1.先让学生估一估怎样租车省钱。有的学生认为都租大客车省钱,有的认为都租小客车省钱,还有的认为两种客车都可以租用。2.引导学生自己探究哪种方案省钱。3.学生汇报如下:(1)115÷40=2(辆)……35(人),需租3辆大客车,共付租金1000×3=3000(元);(2)115÷25=4(辆)……15(人),需租5辆小客车,共付租金650×5=3250(元);(3)租两辆大客车和两辆小客车,租金是1000×2+650×2=3300(元);(4)租一辆大客车和3辆小客车,租金是1000+650×3=2950(元)……我一一列举学生的租车方法,并追问:“还有不同的租车方法吗?”“你们所有的方法都尝试了吗?”“到底哪种租车方法最省钱呢?”这时有不少学生处于茫然状态,因为他们不敢保证是不是所有的方法都全部列举出来了,而且面对这么多种解法,学生不容易比较,思维紊乱,缺乏整体感。在这种情况下,我设疑点拨:“有没有一种能把你们列举的方法全部都罗列出来并让人一目了然,不担心有没有遗漏的方法呢?”在此基础上引出列表法,并让学生自己尝试填表。

生1:

生2:

生3:

师:比较这几个表,你喜欢哪个?为什么?

学生都认为第三个表格较好,因为它是按大客车的辆数依次减少来排列的,是有顺序的思考。这说明按一定的顺序来思考问题,不仅不会出现重复、遗漏的情况,而且很容易解决问题。这样教学,既能突出列表解决问题的优势,使学生体会到列表虽然有点麻烦,但确实是解决“租车”问题的最好方法,又能引导学生的思维处于有序状态,提高他们解决问题的兴趣。

二、在“鸡兔同笼”问题中凸显列表法

“鸡兔同笼”问题出自我国古代数学名著《孙子算经》,是一道很有趣味性的题目。北师大版教材将“鸡兔同笼”的内容安排在五年级上册,从教材的编排上看,其意图不是为了使学生学会如何解决问题,而是要让学生经历列表、尝试和不断调整的过程,从中体会解决问题的一般策略——列表。虽然解决“鸡兔同笼”的问题有多种方法,如假设法、方程法等,但学生理解起来比较困难,唯有用列表法解决问题最简单,能把复杂的问题变得浅显易懂,适合各种层次的学生学习。

如有这样一道题:“鸡兔同笼,有20个头,54条腿,鸡、兔各有多少只?”教学时,我故意说道:“这道题有点难哦,能用什么方法算出鸡、兔各有几只呢?”此话一出,没想到就有几个机灵的学生说:“老师,我有办法解决这个问题,我可以一个一个去试。” “这是个不错的想法。那么,怎样才能清晰地表示出你试的过程呢?”这个学生不假思索地说:“可以列表呀!”“那么,请同学们用列表的方法来解决这个问题。”因为有了前面“租车”问题的教学,学生对列表有了一定的经验,不到10分钟时间,就有学生举起了小手。

生1(列表如下):先猜想有1只鸡、19只兔,算出它们腿的条数,然后一个一个去试。

生2:我不同意他的做法,这样太麻烦了,可以省去一些步骤(列表如下)。因为假设有1只鸡时,发现腿共有78条,应该是把兔的只数假设多了,所以可假设鸡的只数多一些,将兔的只数减少。而且,在假设有10只鸡时,发现多出6条腿,可直接得出鸡有13只,兔有7只。

生3:我从20中间设鸡有10只、兔有10只来计算腿数,列出下表。在看到60条腿比54多时,兔的只数要减少,第二行就为鸡有12只,兔有8只。

生4:因为60比54多6,6÷2=3(只),所以只需把兔的只数减少3只即可。

……

学生汇报交流后,我做了一个统计:全班95%的学生都列出了不同形式的表格,而且结果正确。这让我很意外、很欣喜,说明用列表法解决“鸡兔同笼”问题是一个好方法,不仅能使学生很容易接受和理解,而且很多学生在列表解决问题的过程中不知不觉地运用了假设法,使解决问题更简便、快捷。

三、在举一反三中建立模型思想

学习的关键及其目的在于运用。课堂教学中,教师应引导学生概括出解决“租车”和“鸡兔同笼”问题的一般解题策略,使学生学会举一反三、触类旁通,提炼出此类问题的结构特征和问题解决的一般性策略,从而帮助学生建立模型思想。如北师大版教材五年级下册“数学与生活”有这样一道题:“粉刷某办公室约需涂料330千克,如何购买不同包装的涂料才能最省钱?每大桶18千克,160元;每小桶10千克,105元。”再如:“有20张5元和2元的人民币,一共是82元。5元和2元的人民币各有多少张?”因为学生在建模的过程中学会思维和推理,掌握了猜测、验证、假设等数学思想方法,所以题目出示后,学生能很快运用列表法求解。

综上所述,列表法确实有着其他方法不可替代的作用,教师教学中应引导学生根据问题恰当地选择解决问题的一般策略——列表,以培养学生的发散性思维和探究能力。

(责编杜华)

endprint

“问题解决”是《数学课程标准》制定的四大总目标之一,并明确指出:“使学生步学会从数学的角度发现问题和提出问题,综合运用数学知识解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力;获得分析问题和解决问题的一些基本方法,体验解决问题方法的多样性,发展创新意识。”解决问题的方法是解决问题的核心,没有方法就是无本之木、无源之水,更谈不上解决问题。小学数学解决问题的方法多种多样,列表法就是其中一种很有效的解决问题的方法。由于列表法在解决问题的过程中比较繁琐,且教师教学时也不够重视,所以大多数学生不愿意去尝试,导致一些能解决的问题而无法解决或者解决得不彻底。因此,在“问题解决”的教学中,教师要根据题目的内容和结构特点,适时引导、鼓励学生用列表法解决问题,让学生真正体会到用列表法解决问题的好处与作用,培养思维的有序性和缜密性,提高学生的数学素养和创新能力。

一、在“租车”问题中感知列表法

北师大版数学教材三年级下册和五年级上册都安排了“租车”问题这个内容。如五年级上册“旅游费用”的“租车”问题(如下图):“我们学校共115人,准备去秋游,怎样租车省钱?”

教学时,我是这样组织的:1.先让学生估一估怎样租车省钱。有的学生认为都租大客车省钱,有的认为都租小客车省钱,还有的认为两种客车都可以租用。2.引导学生自己探究哪种方案省钱。3.学生汇报如下:(1)115÷40=2(辆)……35(人),需租3辆大客车,共付租金1000×3=3000(元);(2)115÷25=4(辆)……15(人),需租5辆小客车,共付租金650×5=3250(元);(3)租两辆大客车和两辆小客车,租金是1000×2+650×2=3300(元);(4)租一辆大客车和3辆小客车,租金是1000+650×3=2950(元)……我一一列举学生的租车方法,并追问:“还有不同的租车方法吗?”“你们所有的方法都尝试了吗?”“到底哪种租车方法最省钱呢?”这时有不少学生处于茫然状态,因为他们不敢保证是不是所有的方法都全部列举出来了,而且面对这么多种解法,学生不容易比较,思维紊乱,缺乏整体感。在这种情况下,我设疑点拨:“有没有一种能把你们列举的方法全部都罗列出来并让人一目了然,不担心有没有遗漏的方法呢?”在此基础上引出列表法,并让学生自己尝试填表。

生1:

生2:

生3:

师:比较这几个表,你喜欢哪个?为什么?

学生都认为第三个表格较好,因为它是按大客车的辆数依次减少来排列的,是有顺序的思考。这说明按一定的顺序来思考问题,不仅不会出现重复、遗漏的情况,而且很容易解决问题。这样教学,既能突出列表解决问题的优势,使学生体会到列表虽然有点麻烦,但确实是解决“租车”问题的最好方法,又能引导学生的思维处于有序状态,提高他们解决问题的兴趣。

二、在“鸡兔同笼”问题中凸显列表法

“鸡兔同笼”问题出自我国古代数学名著《孙子算经》,是一道很有趣味性的题目。北师大版教材将“鸡兔同笼”的内容安排在五年级上册,从教材的编排上看,其意图不是为了使学生学会如何解决问题,而是要让学生经历列表、尝试和不断调整的过程,从中体会解决问题的一般策略——列表。虽然解决“鸡兔同笼”的问题有多种方法,如假设法、方程法等,但学生理解起来比较困难,唯有用列表法解决问题最简单,能把复杂的问题变得浅显易懂,适合各种层次的学生学习。

如有这样一道题:“鸡兔同笼,有20个头,54条腿,鸡、兔各有多少只?”教学时,我故意说道:“这道题有点难哦,能用什么方法算出鸡、兔各有几只呢?”此话一出,没想到就有几个机灵的学生说:“老师,我有办法解决这个问题,我可以一个一个去试。” “这是个不错的想法。那么,怎样才能清晰地表示出你试的过程呢?”这个学生不假思索地说:“可以列表呀!”“那么,请同学们用列表的方法来解决这个问题。”因为有了前面“租车”问题的教学,学生对列表有了一定的经验,不到10分钟时间,就有学生举起了小手。

生1(列表如下):先猜想有1只鸡、19只兔,算出它们腿的条数,然后一个一个去试。

生2:我不同意他的做法,这样太麻烦了,可以省去一些步骤(列表如下)。因为假设有1只鸡时,发现腿共有78条,应该是把兔的只数假设多了,所以可假设鸡的只数多一些,将兔的只数减少。而且,在假设有10只鸡时,发现多出6条腿,可直接得出鸡有13只,兔有7只。

生3:我从20中间设鸡有10只、兔有10只来计算腿数,列出下表。在看到60条腿比54多时,兔的只数要减少,第二行就为鸡有12只,兔有8只。

生4:因为60比54多6,6÷2=3(只),所以只需把兔的只数减少3只即可。

……

学生汇报交流后,我做了一个统计:全班95%的学生都列出了不同形式的表格,而且结果正确。这让我很意外、很欣喜,说明用列表法解决“鸡兔同笼”问题是一个好方法,不仅能使学生很容易接受和理解,而且很多学生在列表解决问题的过程中不知不觉地运用了假设法,使解决问题更简便、快捷。

三、在举一反三中建立模型思想

学习的关键及其目的在于运用。课堂教学中,教师应引导学生概括出解决“租车”和“鸡兔同笼”问题的一般解题策略,使学生学会举一反三、触类旁通,提炼出此类问题的结构特征和问题解决的一般性策略,从而帮助学生建立模型思想。如北师大版教材五年级下册“数学与生活”有这样一道题:“粉刷某办公室约需涂料330千克,如何购买不同包装的涂料才能最省钱?每大桶18千克,160元;每小桶10千克,105元。”再如:“有20张5元和2元的人民币,一共是82元。5元和2元的人民币各有多少张?”因为学生在建模的过程中学会思维和推理,掌握了猜测、验证、假设等数学思想方法,所以题目出示后,学生能很快运用列表法求解。

综上所述,列表法确实有着其他方法不可替代的作用,教师教学中应引导学生根据问题恰当地选择解决问题的一般策略——列表,以培养学生的发散性思维和探究能力。

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“问题解决”是《数学课程标准》制定的四大总目标之一,并明确指出:“使学生步学会从数学的角度发现问题和提出问题,综合运用数学知识解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力;获得分析问题和解决问题的一些基本方法,体验解决问题方法的多样性,发展创新意识。”解决问题的方法是解决问题的核心,没有方法就是无本之木、无源之水,更谈不上解决问题。小学数学解决问题的方法多种多样,列表法就是其中一种很有效的解决问题的方法。由于列表法在解决问题的过程中比较繁琐,且教师教学时也不够重视,所以大多数学生不愿意去尝试,导致一些能解决的问题而无法解决或者解决得不彻底。因此,在“问题解决”的教学中,教师要根据题目的内容和结构特点,适时引导、鼓励学生用列表法解决问题,让学生真正体会到用列表法解决问题的好处与作用,培养思维的有序性和缜密性,提高学生的数学素养和创新能力。

一、在“租车”问题中感知列表法

北师大版数学教材三年级下册和五年级上册都安排了“租车”问题这个内容。如五年级上册“旅游费用”的“租车”问题(如下图):“我们学校共115人,准备去秋游,怎样租车省钱?”

教学时,我是这样组织的:1.先让学生估一估怎样租车省钱。有的学生认为都租大客车省钱,有的认为都租小客车省钱,还有的认为两种客车都可以租用。2.引导学生自己探究哪种方案省钱。3.学生汇报如下:(1)115÷40=2(辆)……35(人),需租3辆大客车,共付租金1000×3=3000(元);(2)115÷25=4(辆)……15(人),需租5辆小客车,共付租金650×5=3250(元);(3)租两辆大客车和两辆小客车,租金是1000×2+650×2=3300(元);(4)租一辆大客车和3辆小客车,租金是1000+650×3=2950(元)……我一一列举学生的租车方法,并追问:“还有不同的租车方法吗?”“你们所有的方法都尝试了吗?”“到底哪种租车方法最省钱呢?”这时有不少学生处于茫然状态,因为他们不敢保证是不是所有的方法都全部列举出来了,而且面对这么多种解法,学生不容易比较,思维紊乱,缺乏整体感。在这种情况下,我设疑点拨:“有没有一种能把你们列举的方法全部都罗列出来并让人一目了然,不担心有没有遗漏的方法呢?”在此基础上引出列表法,并让学生自己尝试填表。

生1:

生2:

生3:

师:比较这几个表,你喜欢哪个?为什么?

学生都认为第三个表格较好,因为它是按大客车的辆数依次减少来排列的,是有顺序的思考。这说明按一定的顺序来思考问题,不仅不会出现重复、遗漏的情况,而且很容易解决问题。这样教学,既能突出列表解决问题的优势,使学生体会到列表虽然有点麻烦,但确实是解决“租车”问题的最好方法,又能引导学生的思维处于有序状态,提高他们解决问题的兴趣。

二、在“鸡兔同笼”问题中凸显列表法

“鸡兔同笼”问题出自我国古代数学名著《孙子算经》,是一道很有趣味性的题目。北师大版教材将“鸡兔同笼”的内容安排在五年级上册,从教材的编排上看,其意图不是为了使学生学会如何解决问题,而是要让学生经历列表、尝试和不断调整的过程,从中体会解决问题的一般策略——列表。虽然解决“鸡兔同笼”的问题有多种方法,如假设法、方程法等,但学生理解起来比较困难,唯有用列表法解决问题最简单,能把复杂的问题变得浅显易懂,适合各种层次的学生学习。

如有这样一道题:“鸡兔同笼,有20个头,54条腿,鸡、兔各有多少只?”教学时,我故意说道:“这道题有点难哦,能用什么方法算出鸡、兔各有几只呢?”此话一出,没想到就有几个机灵的学生说:“老师,我有办法解决这个问题,我可以一个一个去试。” “这是个不错的想法。那么,怎样才能清晰地表示出你试的过程呢?”这个学生不假思索地说:“可以列表呀!”“那么,请同学们用列表的方法来解决这个问题。”因为有了前面“租车”问题的教学,学生对列表有了一定的经验,不到10分钟时间,就有学生举起了小手。

生1(列表如下):先猜想有1只鸡、19只兔,算出它们腿的条数,然后一个一个去试。

生2:我不同意他的做法,这样太麻烦了,可以省去一些步骤(列表如下)。因为假设有1只鸡时,发现腿共有78条,应该是把兔的只数假设多了,所以可假设鸡的只数多一些,将兔的只数减少。而且,在假设有10只鸡时,发现多出6条腿,可直接得出鸡有13只,兔有7只。

生3:我从20中间设鸡有10只、兔有10只来计算腿数,列出下表。在看到60条腿比54多时,兔的只数要减少,第二行就为鸡有12只,兔有8只。

生4:因为60比54多6,6÷2=3(只),所以只需把兔的只数减少3只即可。

……

学生汇报交流后,我做了一个统计:全班95%的学生都列出了不同形式的表格,而且结果正确。这让我很意外、很欣喜,说明用列表法解决“鸡兔同笼”问题是一个好方法,不仅能使学生很容易接受和理解,而且很多学生在列表解决问题的过程中不知不觉地运用了假设法,使解决问题更简便、快捷。

三、在举一反三中建立模型思想

学习的关键及其目的在于运用。课堂教学中,教师应引导学生概括出解决“租车”和“鸡兔同笼”问题的一般解题策略,使学生学会举一反三、触类旁通,提炼出此类问题的结构特征和问题解决的一般性策略,从而帮助学生建立模型思想。如北师大版教材五年级下册“数学与生活”有这样一道题:“粉刷某办公室约需涂料330千克,如何购买不同包装的涂料才能最省钱?每大桶18千克,160元;每小桶10千克,105元。”再如:“有20张5元和2元的人民币,一共是82元。5元和2元的人民币各有多少张?”因为学生在建模的过程中学会思维和推理,掌握了猜测、验证、假设等数学思想方法,所以题目出示后,学生能很快运用列表法求解。

综上所述,列表法确实有着其他方法不可替代的作用,教师教学中应引导学生根据问题恰当地选择解决问题的一般策略——列表,以培养学生的发散性思维和探究能力。

(责编杜华)

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