关注数学表征 促进意义建构

吴永生

“方程的意义”是小学阶段“数与代数”领域中一个非常重要的基础内容，首次引领学生将未知当作已知参与到等量关系的数学思维中来，这对小学生来说是一个重要的思维过渡阶段。

教学片断一：

师（出示下图）：你发现了什么？

■

生１：我发现１个红萝卜等于２个胡萝卜的质量。

生２：我发现３个桃子与２个梨的质量相等。

师：为什么相等？

生3：因为天平是平衡的。

师：如果一个红萝卜的质量是２００克，一个梨的质量是１２０克，你能知道什么？

生4：我知道２个胡萝卜的质量是２００克，３个桃子的质量是２４０克，即２ｘ＝２００、３ａ＝２４０。

师：你能解释一下这两个算式的意义吗？

生4：我用ｘ表示胡萝卜的质量，ａ表示桃子的数量，２个胡萝卜就是２ｘ，等于２００克；３个桃子就是３ａ，等于２４０克。

师：这就是我们今天学习的方程。你认为方程有什么特征？

生5：方程就是含有未知数的等式。

师：怎么理解符合方程的条件？你能写出这样的等式吗？

……

教学片断二：

师：在以下情境中，你能找到等量关系并列出方程吗？

Ａ．买一套衣服要８６元，上衣是３８元。

Ｂ．图书室借出了５６本书，还剩３８本书。

Ｃ．一台电话１２２元，售货员找给妈妈７８元。

生１：设裤子是ｘ元。列式为３８＋ｘ＝８６，这里有一个等量关系，即裤子与上衣的价格总和为８６元。

生２：设图书馆原有的图书量为ｘ。因为“原有的图书量＝借出去的图书量＋剩下的图书量”，所以列式为ｘ－５６＝３８。

生３：设付出的钱为ｘ元。因为“付出的钱＝电话的钱＋找回的钱”，所以列式为ｘ－１２２＝７８。

师：下面句子，哪个可以列出方程？

（1）买４个玩具小狗，每个ｙ元，１８０元不够。

（2）买３个玩具小狗，每个ｙ元，１２０元不够。

（3）买３个玩具小狗，每个ｙ元，１２９元刚刚够。

（4）买４个玩具小狗，每个ｙ元，１２４元刚好够。

生４：刚好够的，可以列出方程，因为有等量关系。

师（出示２ｘ＝１８０）：你能用线段图表示吗？说说你对这个方程的理解。

生５：每个小皮球２元，正好付了１８０元，能买多少个？

生６：每件衣服ｘ元，２件衣服１８０元。

师：为什么不同的表述，可以用同样的方程表示？

……

思考：

此课教学的难点在于等量关系的把握，如何让学生把握方程的本质内涵和建构方程的意义，这是教师需要深入思考的问题。从上述教学中可以看出，关注数学表征，带领学生建构意义，是一条有效的途径。

何谓数学表征？建构主义理论认为，表征是一种知识的呈现方式，能够促进抽象概念的建构。为此，在数学概念教学中，针对概念的理解，教师要重视学生科学直观的表征概括，促进他们对概念意义的深刻理解和建构。

１．提供表征替代意象

数学表征具有直观和感性的特点。因此，数学概念教学中，教师要抓住概念的本质，从概念要素寻找替代物，唤醒学生的认知经验，以此促进学生对概念的理解和把握。如教学片断一中，教师借用天平的情境图，试图让学生体会方程与天平的直接联系，从而感悟方程的表征，进行意义初探。学生抓住平衡、相等的直观要素寻找突破点，列出２ｘ＝２００、３ａ＝２４０等式，为方程概念的引入搭建了“脚手架”。

２．遵循表征的顺序性

数学概念的建立是一个循序渐进的过程。因此，教师在引导学生探究的过程中，要从概念表征的内在顺序入手，一步步进行思维的过渡，最终实现概念的建构。如教学片断一中，教师遵循“感悟——尝试——运用”的表征顺序，进行递进式的课堂教学设计，先让学生从天平情境图感悟方程，探讨方程的特征，再根据情境列出方程，然后重点把握数量关系，理解方程。在这三个环节中，学生的思维被激活，最终实现对方程意义的整体建构。

３．关注表征的多元性

“方程的意义”的教学重点是让学生准确把握数量关系，并根据数量关系列出方程。如教学片断二中，教师采用多元化的表征，让不同的学生根据自己的生活经验来理解方程的意义。如设置问题“针对方程２ｘ＝１８０，说说你对这个方程的理解”，这样就给学生提供了多元表征的机会，使他们在意义层面真正理解方程。

总之，对方程这一概念的教学，教师要从深层的本质内涵入手，关注数学表征，促进学生对概念本质意义的建构，这才是数学教学的价值所在。

（责编杜华）

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“方程的意义”是小学阶段“数与代数”领域中一个非常重要的基础内容，首次引领学生将未知当作已知参与到等量关系的数学思维中来，这对小学生来说是一个重要的思维过渡阶段。

教学片断一：

师（出示下图）：你发现了什么？

■

生１：我发现１个红萝卜等于２个胡萝卜的质量。

生２：我发现３个桃子与２个梨的质量相等。

师：为什么相等？

生3：因为天平是平衡的。

师：如果一个红萝卜的质量是２００克，一个梨的质量是１２０克，你能知道什么？

生4：我知道２个胡萝卜的质量是２００克，３个桃子的质量是２４０克，即２ｘ＝２００、３ａ＝２４０。

师：你能解释一下这两个算式的意义吗？

生4：我用ｘ表示胡萝卜的质量，ａ表示桃子的数量，２个胡萝卜就是２ｘ，等于２００克；３个桃子就是３ａ，等于２４０克。

师：这就是我们今天学习的方程。你认为方程有什么特征？

生5：方程就是含有未知数的等式。

师：怎么理解符合方程的条件？你能写出这样的等式吗？

……

教学片断二：

师：在以下情境中，你能找到等量关系并列出方程吗？

Ａ．买一套衣服要８６元，上衣是３８元。

Ｂ．图书室借出了５６本书，还剩３８本书。

Ｃ．一台电话１２２元，售货员找给妈妈７８元。

生１：设裤子是ｘ元。列式为３８＋ｘ＝８６，这里有一个等量关系，即裤子与上衣的价格总和为８６元。

生２：设图书馆原有的图书量为ｘ。因为“原有的图书量＝借出去的图书量＋剩下的图书量”，所以列式为ｘ－５６＝３８。

生３：设付出的钱为ｘ元。因为“付出的钱＝电话的钱＋找回的钱”，所以列式为ｘ－１２２＝７８。

师：下面句子，哪个可以列出方程？

（1）买４个玩具小狗，每个ｙ元，１８０元不够。

（2）买３个玩具小狗，每个ｙ元，１２０元不够。

（3）买３个玩具小狗，每个ｙ元，１２９元刚刚够。

（4）买４个玩具小狗，每个ｙ元，１２４元刚好够。

生４：刚好够的，可以列出方程，因为有等量关系。

师（出示２ｘ＝１８０）：你能用线段图表示吗？说说你对这个方程的理解。

生５：每个小皮球２元，正好付了１８０元，能买多少个？

生６：每件衣服ｘ元，２件衣服１８０元。

师：为什么不同的表述，可以用同样的方程表示？

……

思考：

此课教学的难点在于等量关系的把握，如何让学生把握方程的本质内涵和建构方程的意义，这是教师需要深入思考的问题。从上述教学中可以看出，关注数学表征，带领学生建构意义，是一条有效的途径。

何谓数学表征？建构主义理论认为，表征是一种知识的呈现方式，能够促进抽象概念的建构。为此，在数学概念教学中，针对概念的理解，教师要重视学生科学直观的表征概括，促进他们对概念意义的深刻理解和建构。

１．提供表征替代意象

数学表征具有直观和感性的特点。因此，数学概念教学中，教师要抓住概念的本质，从概念要素寻找替代物，唤醒学生的认知经验，以此促进学生对概念的理解和把握。如教学片断一中，教师借用天平的情境图，试图让学生体会方程与天平的直接联系，从而感悟方程的表征，进行意义初探。学生抓住平衡、相等的直观要素寻找突破点，列出２ｘ＝２００、３ａ＝２４０等式，为方程概念的引入搭建了“脚手架”。

２．遵循表征的顺序性

数学概念的建立是一个循序渐进的过程。因此，教师在引导学生探究的过程中，要从概念表征的内在顺序入手，一步步进行思维的过渡，最终实现概念的建构。如教学片断一中，教师遵循“感悟——尝试——运用”的表征顺序，进行递进式的课堂教学设计，先让学生从天平情境图感悟方程，探讨方程的特征，再根据情境列出方程，然后重点把握数量关系，理解方程。在这三个环节中，学生的思维被激活，最终实现对方程意义的整体建构。

３．关注表征的多元性

“方程的意义”的教学重点是让学生准确把握数量关系，并根据数量关系列出方程。如教学片断二中，教师采用多元化的表征，让不同的学生根据自己的生活经验来理解方程的意义。如设置问题“针对方程２ｘ＝１８０，说说你对这个方程的理解”，这样就给学生提供了多元表征的机会，使他们在意义层面真正理解方程。

总之，对方程这一概念的教学，教师要从深层的本质内涵入手，关注数学表征，促进学生对概念本质意义的建构，这才是数学教学的价值所在。

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“方程的意义”是小学阶段“数与代数”领域中一个非常重要的基础内容，首次引领学生将未知当作已知参与到等量关系的数学思维中来，这对小学生来说是一个重要的思维过渡阶段。

教学片断一：

师（出示下图）：你发现了什么？

■

生１：我发现１个红萝卜等于２个胡萝卜的质量。

生２：我发现３个桃子与２个梨的质量相等。

师：为什么相等？

生3：因为天平是平衡的。

师：如果一个红萝卜的质量是２００克，一个梨的质量是１２０克，你能知道什么？

生4：我知道２个胡萝卜的质量是２００克，３个桃子的质量是２４０克，即２ｘ＝２００、３ａ＝２４０。

师：你能解释一下这两个算式的意义吗？

生4：我用ｘ表示胡萝卜的质量，ａ表示桃子的数量，２个胡萝卜就是２ｘ，等于２００克；３个桃子就是３ａ，等于２４０克。

师：这就是我们今天学习的方程。你认为方程有什么特征？

生5：方程就是含有未知数的等式。

师：怎么理解符合方程的条件？你能写出这样的等式吗？

……

教学片断二：

师：在以下情境中，你能找到等量关系并列出方程吗？

Ａ．买一套衣服要８６元，上衣是３８元。

Ｂ．图书室借出了５６本书，还剩３８本书。

Ｃ．一台电话１２２元，售货员找给妈妈７８元。

生１：设裤子是ｘ元。列式为３８＋ｘ＝８６，这里有一个等量关系，即裤子与上衣的价格总和为８６元。

生２：设图书馆原有的图书量为ｘ。因为“原有的图书量＝借出去的图书量＋剩下的图书量”，所以列式为ｘ－５６＝３８。

生３：设付出的钱为ｘ元。因为“付出的钱＝电话的钱＋找回的钱”，所以列式为ｘ－１２２＝７８。

师：下面句子，哪个可以列出方程？

（1）买４个玩具小狗，每个ｙ元，１８０元不够。

（2）买３个玩具小狗，每个ｙ元，１２０元不够。

（3）买３个玩具小狗，每个ｙ元，１２９元刚刚够。

（4）买４个玩具小狗，每个ｙ元，１２４元刚好够。

生４：刚好够的，可以列出方程，因为有等量关系。

师（出示２ｘ＝１８０）：你能用线段图表示吗？说说你对这个方程的理解。

生５：每个小皮球２元，正好付了１８０元，能买多少个？

生６：每件衣服ｘ元，２件衣服１８０元。

师：为什么不同的表述，可以用同样的方程表示？

……

思考：

此课教学的难点在于等量关系的把握，如何让学生把握方程的本质内涵和建构方程的意义，这是教师需要深入思考的问题。从上述教学中可以看出，关注数学表征，带领学生建构意义，是一条有效的途径。

何谓数学表征？建构主义理论认为，表征是一种知识的呈现方式，能够促进抽象概念的建构。为此，在数学概念教学中，针对概念的理解，教师要重视学生科学直观的表征概括，促进他们对概念意义的深刻理解和建构。

１．提供表征替代意象

数学表征具有直观和感性的特点。因此，数学概念教学中，教师要抓住概念的本质，从概念要素寻找替代物，唤醒学生的认知经验，以此促进学生对概念的理解和把握。如教学片断一中，教师借用天平的情境图，试图让学生体会方程与天平的直接联系，从而感悟方程的表征，进行意义初探。学生抓住平衡、相等的直观要素寻找突破点，列出２ｘ＝２００、３ａ＝２４０等式，为方程概念的引入搭建了“脚手架”。

２．遵循表征的顺序性

数学概念的建立是一个循序渐进的过程。因此，教师在引导学生探究的过程中，要从概念表征的内在顺序入手，一步步进行思维的过渡，最终实现概念的建构。如教学片断一中，教师遵循“感悟——尝试——运用”的表征顺序，进行递进式的课堂教学设计，先让学生从天平情境图感悟方程，探讨方程的特征，再根据情境列出方程，然后重点把握数量关系，理解方程。在这三个环节中，学生的思维被激活，最终实现对方程意义的整体建构。

３．关注表征的多元性

“方程的意义”的教学重点是让学生准确把握数量关系，并根据数量关系列出方程。如教学片断二中，教师采用多元化的表征，让不同的学生根据自己的生活经验来理解方程的意义。如设置问题“针对方程２ｘ＝１８０，说说你对这个方程的理解”，这样就给学生提供了多元表征的机会，使他们在意义层面真正理解方程。

总之，对方程这一概念的教学，教师要从深层的本质内涵入手，关注数学表征，促进学生对概念本质意义的建构，这才是数学教学的价值所在。

（责编杜华）

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