“理想”中的不理想

焦波+刘长英

［背景描述］

在“同课异构”校本研修活动中，一位教师在上人教版五年级上册“等可能性”时，意想不到地出现了“理想化”的结果，就是在统计全班学生抛硬币的结果时，出现了正、反面朝上的次数正好相等的情况。对这一突如其来的“理想化”结果，学生喝彩，执教者在震惊之后倒显“从容”，马上改变教学预案，删除了展示数学家们实验结果的环节，直接总结抛硬币的公平性。对执教者的处理，听课教师均为之诧异。

［片段回放］

一、……

二、动手实验，获取数据

１．四人小组试验

师：这种用抛硬币的方法决定谁先开球，到底公不公平呢？下面我们就四人一小组，一起来做一个实验。请同学们按下列试验要求，每人亲自动手抛一抛硬币，并填好记录单。

试验要求：

（1）每人抛硬币１０次，抛硬币时用力均匀，高度适中；

（2）以小组为单位分别统计相关数据，填入试验记录单；

（3）小组成员分工协作，看哪个小组合作得最好，完成得最快。

（各小组试验填表，教师巡视指导）

２．四大组分别汇总数据

师：请各小组将填好的记录单交给各大组的组长，由组长汇总并填好大组汇总表。

（各大组汇总填表，教师巡视指导）

３．全班汇总数据

各组长汇报，教师填写汇总表如下：

■

三、分析数据，初步体验

师：今天真巧，出现正、反面朝上的次数正好相等，从以上结果你能判断这样开球公平吗？为什么？

生１：公平，因为出现两个面朝上的次数相等。

生２：是公平的，因为正好是一半对一半。

师：两个面朝上的次数相等，正反面朝上的次数刚好一半对一半，就是出现正反面朝上的可能性相等，所以是公平的。

［案例透析］

这一课，笔者上过，也听过多节，出现这一小概率事件还是第一次。面对这一案例，教师都感到困惑多多，深感概率知识储备不足，为此我们开展了专题研讨活动。现就研讨中的收获与思考，谈点认识。

思考一：学生喝彩什么？——喝彩试验既快又对地验证了自己的猜想。

《数学课程标准解读》一书中指出：“统计与概率”中推理（也称统计推理）属于合情推理的范畴，是一种可能性的推理，与其他推理不同的是，由统计推理得到的结论无法用逻辑的方法去检验。那何必进行试验呢？答案是肯定的。因为随机现象的随机性和统计规律性是不可分割的，且后者需从大量数据中抽象出来。这些单凭口述、思考是无法让人接受的。因此，教材创设球赛的开球情境，实际上是让学生通过试验，在亲历活动中体会、理解随机现象的特点，即“单一事件的不确定性和不可预见性，事件在经历大量重复试验中表现出规律性”，并不是用通过游戏的结果来猜测游戏的规则是否公平。让学生用概率的眼光去观察世界，用概率的头脑去思考问题，不仅仅是以确定的，一成不变的思维方式去理解事物，这才是小学阶段学习概率的目的。但在实际教学中，由于知识储备的不足并缺乏对随机试验的深切体验和深刻认识，一些教师往往会在潜意识中对试验结果有一些错误的希望。如在教学“游戏规则的公平性”时，试图用概率的统计意义（即用频率估计概率的方法），引导学生用“猜想——验证”的方式来让学生理解等可能性，或证明设计的游戏规则是否公平，这是不妥当的。

学生的喝彩来自无知，但教师不能无为。正是教师的“无为”给了学生一个错误的概率观，那就是使学生误认为可能性相同就是次数完全一样。对于这些随机试验的结果，教师要注意根据学生的认知水平和教学需要，结合试验中单次试验结果的随机性和大量重复试验表现出的规律性对学生进行必要的引导和说明，使学生在体验中初步感悟统计概率是偶然性与必然性的统一。

思考二：听课者诧异源自何方？——诧异源自执教者统计概率知识的缺失。

不少听课教师认为，执教者不应去掉以上环节，要让学生经历频率逼近■的过程，对这一小概率事件的出现可以给予肯定，但必须予以解释。也有教师施计：可以退一步，去掉某一组的数据重新统计，就能看出正面朝上的次数和反面朝上的次数将越来越接近，也就不会让学生误认为可能性相同就是次数完全一样。以上观点都是认为“随着试验的次数不断增多，硬币落地后正面朝上的次数和反面朝上的次数将越来越接近”。

也难怪教师会有这种认识，人教版的教材培训和苏教版的教参中提供的说法就是如此（受小学生认知水平的限制，这种说法是学生比较容易理解的），从严格意义上讲这是不科学的说法。根据统计数学家试验数据的相差数就会发现，随着次数的增加，其相差数趋于越来越大，而不是越来越接近。

■

从相差数来看，试验结果不可能呈现出“抛硬币的次数越多，抛到正面朝上和反面朝上的次数越来越接近”。所以我们希望学生得到的数据能直观地表现为“抛硬币的次数越多，抛到正面朝上和反面朝上的次数越来越接近”是不可能实现的。只能说数学家的千万次试验，出现正面朝上的频率都非常接近，而且随着试验次数的不断增多，频率将稳定于这个常数。

为什么呢？因为一个随机事件的发生既有随机性（对单次试验来说），又存在统计规律性（对大量重复试验来说），是偶然性与必然性的统一。随机事件的统计规律表现在：随机事件的频率（即事件发生的次数（频数）与试验总次数的比值）具有稳定性，总是在某个常数附近摆动，这个常数就叫做随机事件的概率。概率的这种统计定义隐含着另一层意义，常常被大家忽略，那就是：我们没有理由认为取Ｘ＋１次试验结果的频率会比Ｘ次试验结果的频率更逼近事件发生的频率。在课堂上引入随机试验，既不是让学生得出次数相等的结果，也不是要验证、证明规则的公平性，更不是要利用试验得到概率的估计值，而是希望学生在进行随机试验和收集数据的过程中，进一步体会随机的思想，感受、领悟等可能性。

思考三：执教者“从容”出于什么？——从容出于无奈。

从以上分析看出，执教者的“从容”有其合理的一面，但这种“从容”更多的是出于无奈。结合上文所述的随机试验的特点，笔者认为出现上述现象的原因，是因为教师忽略了重要的一点，就是在随机试验中，用试验的方法得出的频率只是概率的估计值，要想得到近似程度较高的概率估计值，通常需要大量的试验，在有限的课堂时间中，不容易做到。正因如此，部分教师认为，“理想化”的结果出现时，教师不必震惊，“等可能性”可以从概率的古典定义的角度去认识——因为抛的结果只有两种可能，且两种结果的可能性相等，所以该随机事件的概率是■，却不能通过试验、游戏来验证、证明。试验、游戏则可以让学生初步感悟统计概率是偶然性与必然性的统一，从而培养学生的随机思维。

通过讨论，我们的共识是“等可能性”的教学可以用“猜想——试验——分析——推断”的模式来进行，试验的过程可以提到课前进行，为课堂统计数据节省大量时间，并用制条形统计图的办法来分析推断比较合适。有了这些基本的认识，我们的教师就不会因自己的缺失而无奈，我们的学生也不会因教师的无奈而缺失。

（责编金铃）

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［背景描述］

在“同课异构”校本研修活动中，一位教师在上人教版五年级上册“等可能性”时，意想不到地出现了“理想化”的结果，就是在统计全班学生抛硬币的结果时，出现了正、反面朝上的次数正好相等的情况。对这一突如其来的“理想化”结果，学生喝彩，执教者在震惊之后倒显“从容”，马上改变教学预案，删除了展示数学家们实验结果的环节，直接总结抛硬币的公平性。对执教者的处理，听课教师均为之诧异。

［片段回放］

一、……

二、动手实验，获取数据

１．四人小组试验

师：这种用抛硬币的方法决定谁先开球，到底公不公平呢？下面我们就四人一小组，一起来做一个实验。请同学们按下列试验要求，每人亲自动手抛一抛硬币，并填好记录单。

试验要求：

（1）每人抛硬币１０次，抛硬币时用力均匀，高度适中；

（2）以小组为单位分别统计相关数据，填入试验记录单；

（3）小组成员分工协作，看哪个小组合作得最好，完成得最快。

（各小组试验填表，教师巡视指导）

２．四大组分别汇总数据

师：请各小组将填好的记录单交给各大组的组长，由组长汇总并填好大组汇总表。

（各大组汇总填表，教师巡视指导）

３．全班汇总数据

各组长汇报，教师填写汇总表如下：

■

三、分析数据，初步体验

师：今天真巧，出现正、反面朝上的次数正好相等，从以上结果你能判断这样开球公平吗？为什么？

生１：公平，因为出现两个面朝上的次数相等。

生２：是公平的，因为正好是一半对一半。

师：两个面朝上的次数相等，正反面朝上的次数刚好一半对一半，就是出现正反面朝上的可能性相等，所以是公平的。

［案例透析］

这一课，笔者上过，也听过多节，出现这一小概率事件还是第一次。面对这一案例，教师都感到困惑多多，深感概率知识储备不足，为此我们开展了专题研讨活动。现就研讨中的收获与思考，谈点认识。

思考一：学生喝彩什么？——喝彩试验既快又对地验证了自己的猜想。

《数学课程标准解读》一书中指出：“统计与概率”中推理（也称统计推理）属于合情推理的范畴，是一种可能性的推理，与其他推理不同的是，由统计推理得到的结论无法用逻辑的方法去检验。那何必进行试验呢？答案是肯定的。因为随机现象的随机性和统计规律性是不可分割的，且后者需从大量数据中抽象出来。这些单凭口述、思考是无法让人接受的。因此，教材创设球赛的开球情境，实际上是让学生通过试验，在亲历活动中体会、理解随机现象的特点，即“单一事件的不确定性和不可预见性，事件在经历大量重复试验中表现出规律性”，并不是用通过游戏的结果来猜测游戏的规则是否公平。让学生用概率的眼光去观察世界，用概率的头脑去思考问题，不仅仅是以确定的，一成不变的思维方式去理解事物，这才是小学阶段学习概率的目的。但在实际教学中，由于知识储备的不足并缺乏对随机试验的深切体验和深刻认识，一些教师往往会在潜意识中对试验结果有一些错误的希望。如在教学“游戏规则的公平性”时，试图用概率的统计意义（即用频率估计概率的方法），引导学生用“猜想——验证”的方式来让学生理解等可能性，或证明设计的游戏规则是否公平，这是不妥当的。

学生的喝彩来自无知，但教师不能无为。正是教师的“无为”给了学生一个错误的概率观，那就是使学生误认为可能性相同就是次数完全一样。对于这些随机试验的结果，教师要注意根据学生的认知水平和教学需要，结合试验中单次试验结果的随机性和大量重复试验表现出的规律性对学生进行必要的引导和说明，使学生在体验中初步感悟统计概率是偶然性与必然性的统一。

思考二：听课者诧异源自何方？——诧异源自执教者统计概率知识的缺失。

不少听课教师认为，执教者不应去掉以上环节，要让学生经历频率逼近■的过程，对这一小概率事件的出现可以给予肯定，但必须予以解释。也有教师施计：可以退一步，去掉某一组的数据重新统计，就能看出正面朝上的次数和反面朝上的次数将越来越接近，也就不会让学生误认为可能性相同就是次数完全一样。以上观点都是认为“随着试验的次数不断增多，硬币落地后正面朝上的次数和反面朝上的次数将越来越接近”。

也难怪教师会有这种认识，人教版的教材培训和苏教版的教参中提供的说法就是如此（受小学生认知水平的限制，这种说法是学生比较容易理解的），从严格意义上讲这是不科学的说法。根据统计数学家试验数据的相差数就会发现，随着次数的增加，其相差数趋于越来越大，而不是越来越接近。

■

从相差数来看，试验结果不可能呈现出“抛硬币的次数越多，抛到正面朝上和反面朝上的次数越来越接近”。所以我们希望学生得到的数据能直观地表现为“抛硬币的次数越多，抛到正面朝上和反面朝上的次数越来越接近”是不可能实现的。只能说数学家的千万次试验，出现正面朝上的频率都非常接近，而且随着试验次数的不断增多，频率将稳定于这个常数。

为什么呢？因为一个随机事件的发生既有随机性（对单次试验来说），又存在统计规律性（对大量重复试验来说），是偶然性与必然性的统一。随机事件的统计规律表现在：随机事件的频率（即事件发生的次数（频数）与试验总次数的比值）具有稳定性，总是在某个常数附近摆动，这个常数就叫做随机事件的概率。概率的这种统计定义隐含着另一层意义，常常被大家忽略，那就是：我们没有理由认为取Ｘ＋１次试验结果的频率会比Ｘ次试验结果的频率更逼近事件发生的频率。在课堂上引入随机试验，既不是让学生得出次数相等的结果，也不是要验证、证明规则的公平性，更不是要利用试验得到概率的估计值，而是希望学生在进行随机试验和收集数据的过程中，进一步体会随机的思想，感受、领悟等可能性。

思考三：执教者“从容”出于什么？——从容出于无奈。

从以上分析看出，执教者的“从容”有其合理的一面，但这种“从容”更多的是出于无奈。结合上文所述的随机试验的特点，笔者认为出现上述现象的原因，是因为教师忽略了重要的一点，就是在随机试验中，用试验的方法得出的频率只是概率的估计值，要想得到近似程度较高的概率估计值，通常需要大量的试验，在有限的课堂时间中，不容易做到。正因如此，部分教师认为，“理想化”的结果出现时，教师不必震惊，“等可能性”可以从概率的古典定义的角度去认识——因为抛的结果只有两种可能，且两种结果的可能性相等，所以该随机事件的概率是■，却不能通过试验、游戏来验证、证明。试验、游戏则可以让学生初步感悟统计概率是偶然性与必然性的统一，从而培养学生的随机思维。

通过讨论，我们的共识是“等可能性”的教学可以用“猜想——试验——分析——推断”的模式来进行，试验的过程可以提到课前进行，为课堂统计数据节省大量时间，并用制条形统计图的办法来分析推断比较合适。有了这些基本的认识，我们的教师就不会因自己的缺失而无奈，我们的学生也不会因教师的无奈而缺失。

（责编金铃）

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［背景描述］

在“同课异构”校本研修活动中，一位教师在上人教版五年级上册“等可能性”时，意想不到地出现了“理想化”的结果，就是在统计全班学生抛硬币的结果时，出现了正、反面朝上的次数正好相等的情况。对这一突如其来的“理想化”结果，学生喝彩，执教者在震惊之后倒显“从容”，马上改变教学预案，删除了展示数学家们实验结果的环节，直接总结抛硬币的公平性。对执教者的处理，听课教师均为之诧异。

［片段回放］

一、……

二、动手实验，获取数据

１．四人小组试验

师：这种用抛硬币的方法决定谁先开球，到底公不公平呢？下面我们就四人一小组，一起来做一个实验。请同学们按下列试验要求，每人亲自动手抛一抛硬币，并填好记录单。

试验要求：

（1）每人抛硬币１０次，抛硬币时用力均匀，高度适中；

（2）以小组为单位分别统计相关数据，填入试验记录单；

（3）小组成员分工协作，看哪个小组合作得最好，完成得最快。

（各小组试验填表，教师巡视指导）

２．四大组分别汇总数据

师：请各小组将填好的记录单交给各大组的组长，由组长汇总并填好大组汇总表。

（各大组汇总填表，教师巡视指导）

３．全班汇总数据

各组长汇报，教师填写汇总表如下：

■

三、分析数据，初步体验

师：今天真巧，出现正、反面朝上的次数正好相等，从以上结果你能判断这样开球公平吗？为什么？

生１：公平，因为出现两个面朝上的次数相等。

生２：是公平的，因为正好是一半对一半。

师：两个面朝上的次数相等，正反面朝上的次数刚好一半对一半，就是出现正反面朝上的可能性相等，所以是公平的。

［案例透析］

这一课，笔者上过，也听过多节，出现这一小概率事件还是第一次。面对这一案例，教师都感到困惑多多，深感概率知识储备不足，为此我们开展了专题研讨活动。现就研讨中的收获与思考，谈点认识。

思考一：学生喝彩什么？——喝彩试验既快又对地验证了自己的猜想。

《数学课程标准解读》一书中指出：“统计与概率”中推理（也称统计推理）属于合情推理的范畴，是一种可能性的推理，与其他推理不同的是，由统计推理得到的结论无法用逻辑的方法去检验。那何必进行试验呢？答案是肯定的。因为随机现象的随机性和统计规律性是不可分割的，且后者需从大量数据中抽象出来。这些单凭口述、思考是无法让人接受的。因此，教材创设球赛的开球情境，实际上是让学生通过试验，在亲历活动中体会、理解随机现象的特点，即“单一事件的不确定性和不可预见性，事件在经历大量重复试验中表现出规律性”，并不是用通过游戏的结果来猜测游戏的规则是否公平。让学生用概率的眼光去观察世界，用概率的头脑去思考问题，不仅仅是以确定的，一成不变的思维方式去理解事物，这才是小学阶段学习概率的目的。但在实际教学中，由于知识储备的不足并缺乏对随机试验的深切体验和深刻认识，一些教师往往会在潜意识中对试验结果有一些错误的希望。如在教学“游戏规则的公平性”时，试图用概率的统计意义（即用频率估计概率的方法），引导学生用“猜想——验证”的方式来让学生理解等可能性，或证明设计的游戏规则是否公平，这是不妥当的。

学生的喝彩来自无知，但教师不能无为。正是教师的“无为”给了学生一个错误的概率观，那就是使学生误认为可能性相同就是次数完全一样。对于这些随机试验的结果，教师要注意根据学生的认知水平和教学需要，结合试验中单次试验结果的随机性和大量重复试验表现出的规律性对学生进行必要的引导和说明，使学生在体验中初步感悟统计概率是偶然性与必然性的统一。

思考二：听课者诧异源自何方？——诧异源自执教者统计概率知识的缺失。

不少听课教师认为，执教者不应去掉以上环节，要让学生经历频率逼近■的过程，对这一小概率事件的出现可以给予肯定，但必须予以解释。也有教师施计：可以退一步，去掉某一组的数据重新统计，就能看出正面朝上的次数和反面朝上的次数将越来越接近，也就不会让学生误认为可能性相同就是次数完全一样。以上观点都是认为“随着试验的次数不断增多，硬币落地后正面朝上的次数和反面朝上的次数将越来越接近”。

也难怪教师会有这种认识，人教版的教材培训和苏教版的教参中提供的说法就是如此（受小学生认知水平的限制，这种说法是学生比较容易理解的），从严格意义上讲这是不科学的说法。根据统计数学家试验数据的相差数就会发现，随着次数的增加，其相差数趋于越来越大，而不是越来越接近。

■

从相差数来看，试验结果不可能呈现出“抛硬币的次数越多，抛到正面朝上和反面朝上的次数越来越接近”。所以我们希望学生得到的数据能直观地表现为“抛硬币的次数越多，抛到正面朝上和反面朝上的次数越来越接近”是不可能实现的。只能说数学家的千万次试验，出现正面朝上的频率都非常接近，而且随着试验次数的不断增多，频率将稳定于这个常数。

为什么呢？因为一个随机事件的发生既有随机性（对单次试验来说），又存在统计规律性（对大量重复试验来说），是偶然性与必然性的统一。随机事件的统计规律表现在：随机事件的频率（即事件发生的次数（频数）与试验总次数的比值）具有稳定性，总是在某个常数附近摆动，这个常数就叫做随机事件的概率。概率的这种统计定义隐含着另一层意义，常常被大家忽略，那就是：我们没有理由认为取Ｘ＋１次试验结果的频率会比Ｘ次试验结果的频率更逼近事件发生的频率。在课堂上引入随机试验，既不是让学生得出次数相等的结果，也不是要验证、证明规则的公平性，更不是要利用试验得到概率的估计值，而是希望学生在进行随机试验和收集数据的过程中，进一步体会随机的思想，感受、领悟等可能性。

思考三：执教者“从容”出于什么？——从容出于无奈。

从以上分析看出，执教者的“从容”有其合理的一面，但这种“从容”更多的是出于无奈。结合上文所述的随机试验的特点，笔者认为出现上述现象的原因，是因为教师忽略了重要的一点，就是在随机试验中，用试验的方法得出的频率只是概率的估计值，要想得到近似程度较高的概率估计值，通常需要大量的试验，在有限的课堂时间中，不容易做到。正因如此，部分教师认为，“理想化”的结果出现时，教师不必震惊，“等可能性”可以从概率的古典定义的角度去认识——因为抛的结果只有两种可能，且两种结果的可能性相等，所以该随机事件的概率是■，却不能通过试验、游戏来验证、证明。试验、游戏则可以让学生初步感悟统计概率是偶然性与必然性的统一，从而培养学生的随机思维。

通过讨论，我们的共识是“等可能性”的教学可以用“猜想——试验——分析——推断”的模式来进行，试验的过程可以提到课前进行，为课堂统计数据节省大量时间，并用制条形统计图的办法来分析推断比较合适。有了这些基本的认识，我们的教师就不会因自己的缺失而无奈，我们的学生也不会因教师的无奈而缺失。

（责编金铃）

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