考虑结合面影响的组合梁非线性预应力模态分析

李小彭， 赵光辉， 杨皓天， 闻邦椿

(东北大学 机械工程与自动化学院，沈阳 110819)

机械零部件之间通过装配形成的结合部位称为结合面，它在机械系统正常运行过程中起着传递运动、载荷和能量的重要作用。以数控机床为例，研究表明，其结合面的动态参数是机床整体静、动态特性的薄弱环节，直接决定和影响着机床的刚度、阻尼、加工精度和稳定性，并且加工过程中的结合面摩擦、间隙接触、变载等非线性因素给机床的整体动力学建模带来很大的困难。因此，开展结合面的动态特性研究，能为设计阶段预测机床整机动态特性提供技术支持，提高加工精度和动态特性，具有重要的学术研究和实际应用价值[1]。

多年来国内外学者对结合面接触刚度、阻尼的动力学建模及参数识别进行了大量的研究[2-4]。张广鹏等[5]基于结合面动态特性参数，研究了机床导轨结合面动态特性的建模方法，利用解析公式对结合面动态特性因素进行了分析与处理。Dhupia等[6]用实验来研究机床结合面对整机动力学特性的影响。以铣床的立柱-主轴箱为研究对象，建立了非线性模型并采用非线性阻抗耦合法进行了分析，发现结合面的非线性特性使结构的固有频率和相应的共振峰值发生了明显的变化。Yang等[7]则将有限元法和模态试验分析技术相结合，运用传递函数进行机械结构结合面的参数识别。以上研究可以从一定程度上描述结合面的特性，但是他们一般都在线性范围内进行研究，或者把非线性问题转化为线性进行解决，从而使所建立的模型具有一定的局限性。而从系统动力学角度看，由于摩擦和间隙等因素，结合面具有强烈的非线性特性，使得系统的动力学行为变得很复杂，甚至会改变机构动力系统的拓扑机构，从而使系统的精度降低，引起振动、噪声等问题[8]。因此，考虑结合面的非线性特性，对结合面进行非线性动力学分析就显得迫切需要。

本文在前人关于结合面处理方法研究的基础上，以组合梁为研究对象，利用有限元分析软件ANSYS建立了考虑非线性因素的结合面非线性预应力模型，着重利用非线性预应力模态分析法研究了结合面摩擦系数及结合面法向载荷对组合梁结合面振动特性的影响[9]，为后续机床整机动态特性的识别和优化提供依据，最后通过模态实验验证了非线性预应力模型的可行性。

1 组合梁结合面非线性预应力模态分析

在常规ANSYS有限元软件模态分析的基础上，利用非线性预应力模态分析法进行了考虑螺栓预应力影响时结构的模态分析，研究了摩擦系数及法向载荷作用下的组合梁结合面非线性特性。

组合梁是由两块尺寸为400 mm×50 mm×6 mm的45号钢板通过16个4.8级的M6螺栓连接构成的，如图1所示。由于本文主要是研究结合面的动态特性，所以对螺栓进行简化，忽略影响求解速率的精细螺纹结构，将螺栓等效为三段圆柱体。建立模型前，对梁的弯曲振动进行基本的假设：梁各截面的中心轴在同一平面内，并且在此平面内做弯曲振动，不计算转动惯量和剪切变形的影响，同时截面绕中心轴的转动与横向位移相比可以忽略不计[10]。

1.1 组合梁Glue处理

进入ANSYS有限元分析软件，指定Beam 2 node 188单元，按照国际单位(kg/m/s)建立模型，定义组合梁截面尺寸B×H=0.05×0.012，组合梁的材料常数为Ee=2.1×105MPa，泊松比为0.3，密度为7 850 kg/m3。将两块钢板接触面和螺栓与钢板接触面用Glue命令处理，将其作为一个整体进行模态分析，即忽略结合面的存在，建立有有限元模型如图2所示。不施加任何载荷和约束，直接进行线性分析，通过组合梁前5阶弯曲振动振型得出组合梁前5阶固有频率如表1所示。

由于Glue命令是将模型中各部分组合为一个整体，所以上述组合梁模型就可以看作是实际结构的等质量模型，该处理的结果用作和下文的考虑结合面影响时组合梁非线性模态分析结果作对比。

表1 组合梁Glue粘结处理弯曲振动前五阶固有频率(Hz)

1.2 组合梁结合面非线性预应力模态分析

自由梁的固有频率与固支梁的弯曲频率相同

(1)

式中:Ee为组合梁材料弹性模量，J为组合梁截面惯性矩，A为组合梁截面面积。

螺栓拧紧力矩M与法向载荷F有如下关系[11]

M=0.2Fd

(2)

式中d为螺栓的直径。所以结合面法向载荷可以通过给螺栓施加预紧力得到。

首先建立组合梁的预应力模型。对于实验对象为螺栓组联接的组合梁，其预应力是通过对螺栓施加预紧力得到的。本文通过预应力单元来施加预紧力，过程如下：先利用Solid186单元对螺栓进行单元划分，之后在螺栓中间部分节点分开并选择预应力单元Prets179将分开部分连接起来，最后设置螺栓预紧力即可完成对螺栓施加预紧力。

其次，为了考虑结合面摩擦接触特性等影响因素，在结合面处建立接触单元。过程如下：定义合适的网格尺寸选择Solid186单元对两块钢板进行Sweep网格划分，同时选择十六个M6螺栓进行自由划分。然后在两块钢板和钢板与螺栓的结合面节点上建立接触对，接触单元分别是TARGE170和CONTA174。设置常用的钢与钢摩擦系数为0.12，在摩擦选项中设置刚度矩阵选项为非对称形式。建立的三个接触对如图3所示。

图3 组合梁接触对模型

然后定义边界条件，对组合梁进行静力学分析。根据自由梁弯曲振动固有频率等于固支梁的弯曲振动固有频率的结论，对组合梁两端截面施加全位移约束。选择非对称计算类型，并在分析选项中选择预应力计算开启状态，进行接触非线性静力分析。从而解决了自由状态下进行静力学分析时往往提示组合梁的某个节点位移在预紧力加载方向超出软件设定的范围的问题。组合梁静力学分析结果如表2所示。

表2 组合梁静力学分析结果

最后，在完成接触静力分析以后，选择预应力模态分析模块，勾选非对称求解器，设置预应力模态分析开启，将前面考虑摩擦接触特性获得的组合梁静力学分析结果直接导入组合梁预应力模态分析过程中，将螺栓预紧力矩设置为4 N·m。将求解得到的组合梁弯曲振动固有频率与不考虑结合面影响时的结果对比分析如表3所示。

从表3中可以看出结合面非线性特征(接触特性)对组合梁各阶弯曲振动固有频率有重要影响，并且对高阶弯曲模态影响尤为明显。由于结合面的存在，结构固有频率将降低，可能原因是由于结合面之间存在一定摩擦，导致固有频率减小。

表3 预应力模态分析与线性模态分析弯曲振动固有频率(Hz)对比

2 结合面参数对组合梁动态特性的影响

2.1 不同法向载荷下组合梁的模态分析

设置预应力模态分析开启，将前面考虑摩擦接触特性获得的组合梁静力学分析结果直接导入组合梁预应力模态分析过程中。求解得到螺栓受不同预紧力矩M作用下时(M=4，8，12，16，20 N·m)组合梁的前10阶模态的固有频率，结果如图4所示。

由图4可以看出：随着预紧力矩的增大，即随着法向载荷的增大，钢板结合面面压增强，组合梁各阶固有频率都有所增加，但增幅不大，其中不同频率的增幅不同。

2.2 不同摩擦系数下组合梁的模态分析

采用单变量法研究结合面摩擦系数对组合梁振动特性的影响。设定螺栓拧紧力矩为4 N·m，在建立接触对过程中分别设定5种不同的摩擦系数(μ=0.001,0.07,0.14,0.21,0.28)，并在建立接触对过程中进行相关修改，重新进行预应力模态分析。得出组合梁的各阶固有频率，结果如图5所示。

图5 不同摩擦系数下组合梁预应力模态分析各阶固有频率

由图5可以看出，摩擦系数对组合梁各阶固有频率的影响比预紧力更明显。摩擦系数较大的结合面(μ=0.28)比近光滑结合面(μ=0.001)使组合梁高阶频率降低了上千赫兹。同时结合面摩擦系数对组合梁低阶固有频率影响较小。原因为结合面摩擦系数增大，接触点接触面积小于临界接触面积比例增加，接触点处于塑性变形的比例增加，结合面阻尼增加刚度减小，而固有频率随结合面刚度值的减小而减小。

3 结合面模态试验

模态试验可以为非线性预应力模型提供基础参数和边界条件，并验证模型的准确性，同时也可作为以后结合面动力学建模的数据积累[12]。

实验仪器选用B&K公司的3560 B-020 Pulse数据采集分析系统、4514-001型内置放大电路型加速度传感器和脉冲力锤。本次试验是为了获得尺寸质量较小的组合梁结构的固有频率特性。因此，可以采用单点激励、体积较小且质量较轻的单向加速度传感器，来进行组合梁弯曲振动模态试验。实验所用的两块钢板为45钢，根据文献[13]提供的摩擦因素范围，本文取摩擦系数为0.12，与预应力模态分析时设置相同。试验时设定螺栓拧紧力矩为4 N·m，采用自由悬挂锤击法测试组合梁的模态参数，实验原理与现场图如图6、图7所示。

图6 实验原理图

图7 实验图

首先在组合梁上下表面划分3×9的网格，布置测点并标记。采用多点激励单点输出方式，将力锤敲击点确定在组合梁上表面的几何中心网格处，使得测点关于敲击点对称。得到组合梁幅频特性曲线，如图8所示。采用模态最小二乘导纳圆法拟合出组合梁前五阶自由振动的频率与预应力模态分析法得到的结果对比分析如表4所示。

由表4可以看出，预应力模态分析与模态试验所得各阶固有频率之间存在一定的误差，原因主要有以下几个方面：① 模态分析建模时对组合梁作了相应的简化，且不计算其转动惯量和剪切变形的影响；② 材料的弹性模量、质量和密度等参数的取值以及边界条件的设置有一定的偏差；③ 锤击法模态试验通过敲击向系统输入的能量有限，因此其实验结果的精确度也有所下降。因此，此误差还在接受范围之内，这也证明了结合面非线性预应力模态分析有一定的可行性。

表4 组合梁预应力模态分析和模态试验固有频率(Hz)对比

图8 实测幅频特性曲线

图9 模态试验振型与预应力模态法振型对比

提取试验所得组合梁第1和第3阶弯曲振型，与上述用非线性预应力模态分析法所得振型对比，如图9所示，发现二者振型相吻合。证明该非线性预应力模型与实际情况相符合，具有一定的可信度。

4 结 论

(1)本文运用结合面非线性预应力模态分析，证明了组合梁结合面的接触非线性对组合梁的动态特性有重要的影响，尤其是高阶弯曲模态。结合面会使组合梁的固有频率降低。

Application of direct peptide reactivity assay on cosmetics 11 19

(2)结合面的法向载荷和摩擦系数都会使组合梁的固有频率降低，其中摩擦系数影响因素占主导地位。摩擦系数对组合梁低阶固有频率影响较小，高阶时影响较大。

(3)模态试验所得组合梁第1和第3阶弯曲振型与非线性预应力模态分析所得振型相吻合，且二者所得各阶固有频率之间的误差在接受范围之内，验证了所进行的考虑结合面非线性特性的非线性预应力模态分析的可行性，为结合面的准确建模和动态设计奠定基础。

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