Simpson不等式的改进研究

叶宝存

(宁德职业技术学院 福建福安 355000)

Simpson不等式的改进研究

叶宝存

(宁德职业技术学院 福建福安 355000)

Simpson算法是定积分的近似计算方法.在数学问题中，有些定积分是不能牛顿莱布尼茨公式解决的，进而出现了求解近似值即数值解的方法.Simpson不等式就是求解近似值的过程中而产生的不等式.Simpson不等式在数值积分中的作用具有不可替代的地位，很多的数学界先辈对Simpson的误差限优化做出了积极研究和探讨.本文基于Simpson不等式的相关定理，对其最佳误差估计做出论证.

Simpson不等式，分段连续，导数，积分

在数值积分计算中，Simpson公式占有极其重要的地位.Simpson不等式起源一个著名的命题：设函数f(x)在[a,b]区间内，有连续的4阶导数，则有以下结果：

(1)

(2)

其中(2)式就是高等数学领域著名的Simpson公式.

1 Simpson公式中的积分余项定理证明

依据高等数学中取值变量的渐近性质，关于ξ有以下命题：

证明：设定命题的极限为b从右边向左无限趋近于a(按照普遍性数学思维，b>a)情形，根据题设条件将 在区间内的积分表示为含有Peano余项的泰勒公式为：

f(4)(ξ)=f(4)(a)+

由命题(1)的已知条件，b→a+，ξ∈(a,b),ξ→a+,f(5)(a)≠0因此上式消去近似相等peano余项可得：

(3)

即为：

(4)

由(4)式可以得出，该式的倒数精确度是5次代数精度，而(2)式代数精度为3次.这就构成了Simpson不等式改进的理论基础.

2 Simpson不等式的最佳误差限改进

(5)

其中ξ∈|x0,x|，则有：

(6)

(7)

(8)

(9)

将(9)式代入(6)式中，可得：

可得出结论为：

(10)

由(10)式，可知改进的Simpson不等式，其收敛阶数大于等于6.

3 结束语

Simpson不等式在数值积分计算中取近似值具有收敛速度快的特性，但Simspon公式在倒数精度较高的计算中会力不从心，本文通过泰勒定理，将Simpson不等式的代数精度提高，扩大了Simpson不等式的应用范围，并提高了公式的收敛阶数，这在复杂函数的高精度计算中具有重大的理论意义.

(责任编辑李平)

2014-5-13

叶宝存， 134860350248@qq.com。

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A

1674-9545(2014)03-0064-(03)