浅谈同一法

任武

摘 要：众所周知，一个正确的命题，它的逆命题可能正确，也可能不正 确。例如“对顶角相等”是正确的，它的逆命题“相等的角都是对顶角”就不正确了。这是因为这个命题的前提“对顶角”这概念的外延与结论“相等的角”这个概念的外延不一致。“相等的角”的外延包含了“对顶角”的外延，反过来，“对顶角”的外延就不包含“相等的角”的外延，因此，逆命题不正确。

关键词：同一法

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）15-322-02

同一法是证题时常用的一种间接证法，对此谈一下个人的肤浅认识。

一、同一法的逻辑根据

众所周知，一个正确的命题，它的逆命题可能正确，也可能不正 确。例如“对顶角相等”是正确的，它的逆命题“相等的角都是对顶角”就不正确了。这是因为这个命题的前提“对顶角”这概念的外延与结论“相等的角”这个概念的外延不一致。“相等的角”的外延包含了“对顶角”的外延，反过来，“对顶角”的外延就不包含“相等的角”的外延，因此，逆命题不正确。

易知，当一命题的前提的外延与结论的外延一致（即两个概念是同一概念，它们相互包含）时，这个命题与它的逆命题等效（真则同真，假则同假）。例如“等腰三角形顶角的平分线是底边的中垂线”这个命题，由于一个角的平分线是唯一存在的，底边的中垂线也是唯一存在的，因此只要证明了“等腰三角形顶角的平分线是底边的中垂线”，则“等腰三角形底边的中垂线是顶角的平分线”的正确性就确信无疑了。

一个命题的前提和结论都唯一存在，它们所指的概念的外延相同，这样的命题与其逆命题等效，这个就是同一原理。当一个命题不容易直接证明时，我们只要分析它符合同一原理（即前提和结论都唯一存在，它们所指的概念的外延一致），就可以转而证明它的逆命题，只要它的逆命题正确，这个命题就正确了，这种证法就是同一法。

二、怎样应用同一法

同一法常用于证明某图形具有某种性质，而这个命题符合同一原理，采用同一法证明时，一般分下面四个步骤（当然具体证明过程，可以不明显地写成这四个步骤）：

1、作出具有某性质的图形；

2、证明所作图形与已知条件相符；

3、根据唯一性，所作图形与已知图形相合；

4、判断己知图形具有某性质。

例1：梯形两底的和等于一腰，则这腰与两底的夹角平分线通过另一腰的中点。

己知、求证。略

分析：如图一，由于 A， B的平分线是唯一存在的，腰CD的中点也是唯一存在的，因此要证A，B的平分线通过CD的中点，可以反过来做；先取CD的中E，连AE，BE，只要能证明AE，BE分别是A，B的平分线就可以了。

证明：分别取腰CD，AB的中点E，F，连AE，BE，FE，则FE= （AD+BC）

已知：AB=（AD+BC）

故：FE = AB

因而AF=FE，BF=FE

故 FAE= FEA，FBE =FEB

又由，AD//FE//BC，得 FEA = EAD，FEB= EBC

因而 FAE= EAD，FBE= EBC

即AE，BE分别是 A，B的平分线。

例2：以正方形的一边为底向形内作一等腰三角形，若它的底角等于15，则将它的顶点与正方形另两顶点连结时，必构成一个正三角形。

己知：E为正方形ABCD内部一点，且 EAD= ZEDA =15

求证：△EBC为正三角形

分析：以AD为底向正方形内做一等腰三角形，使底角为15，这样的三角形是唯一存在的，即顶角E唯一确定。以BC为一边向形内作正三角形也是唯一存在的。因此，先以BC为一边向正方形内作一正三角形。只要能证明这个正三角形的第三个顶点与A、D连结的线段都和AD构成15角就行了。

证明：以BC为一边向正方形内作正三角形BCE'，连E'A，E'D，由BE'= BC=BA，因而△BE'A为等腰三角形，又由 E'BA=30 ，故 E'AB=75 ，因而 E'AD=15，同样可 E'DA=15 ，故E'与E重合，即证明△BCE为正三角形。

三、用同一法时应注意的几个问题

1、对于一个命题的前提和结论都“唯一存在”应当有正确的理解。初学的人，往往把一个命题的前提和结论只包含一个条件，误认为是一个符合同一原理的命题。如以为“凡直角都相等”是前提与结论都唯一存在的命题，符合同一原理，因而认为逆命题“凡相等的角

都是直角”也应正确，这显然是错误的。这里要注意“唯一存在”是指图形具有某种性质而言，“只有一个条件”是指条件的个数，这是应当加以区别的。如例1中的前提细分起来有三个条件，结论有两条（当然可以看成是两个命题合成的）。在分析时抓住了具有“唯一存在”性质的一个前提条件“角平分线”和一个结论事项“一腰的中点”进行交换，其余条件不动，这样的命题是符合同一原理的，因而可用同一法证明它。

2、同一法与反证法的关系。能够用同一法证明的命题，都可以改用反证法证明，只要把矛盾引向“唯一存在”性质上面去就行了。因而，可以这样简单地说：同一法就是根据“唯一存在”性质，判断所作具有某性质的图形（下接第323页）