一种反馈线性化弹道跟踪制导律设计

张大元,雷虎民,王 君,肖增博,李庆良

(1.空军工程大学 防空反导学院,西安 710051;2.93507部队,石家庄 050200;3.95100部队,广州 510405)

为提高飞行器飞行性能,通常根据给定指标,利用优化算法对飞行轨迹进行优化以得到基准弹道和控制量[1-4],但优化使用的各种模型存在不确定性,这使得按照基准控制量控制无法实现理想轨迹。因此,需要设计轨迹跟踪制导律,保证飞行器按理想轨迹飞行[5]。

轨迹优化和跟踪一直是飞行器领域的研究热点,如再入飞行器和无人机的轨迹优化和跟踪,许多先进的控制律被应用于跟踪制导律的设计中,取得了较好的跟踪效果[5-9];文献[10]采用几何原理研究了一种非线性方案弹道跟踪算法;Dukeman G A、Zhou W Y等人先后将线性二次型最优控制理论(linear quadratic regulator,LQR)应用于再入飞行器的轨迹跟踪中[11-12],取得了较好的效果,但常用的跟踪模型是基于小扰动线性化方法简化的,适用范围小且误差随使用区域扩大而增大,模型精确度较低,而反馈线性化方法是一种精确线性化方法[13],能够提高模型线性化精度,从而提高跟踪制导精度。因此,本文利用反馈线性化方法对导弹运动模型精确线性化,基于LQR理论设计弹道跟踪制导律,最后对制导律进行了仿真。

1 反馈线性化理论

1.1 输入-状态线性化的定义和判定定理

反馈线性化的基本思想是通过状态反馈消除动态系统的非线性部分,从而得到一个伪线性动态。其基本原理简述如下[13]。

考虑非线性系统:

(1)

式中:x=(x1x2…xn)T∈D(D⊂Rn),f(x)、g(x)为定义在开集D上的Rn值映射,u为控制向量。映射f:D→Rn在微分几何理论中被称为D上定义的向量场,可表示为列向量:

f(x)=(f1(x)f2(x) …fn(x))T

(2)

设实值函数h:D→R和一个向量场f:D→Rn,h沿f的李导数定义为

(3)

对两个向量场f:D→Rn、g:D→Rn,构造一个新的向量场,记为[f,g],定义式:

(4)

(5)

式中:k为李积的阶数,k=0表示零阶李积。下面给出一类非线性系统可输入-状态线性化的定义和判定定理。若式(1)所示的非线性系统可直接写成:

(6)

式中:A为n×n阵,B为n×p阵,s(x):Rn→Rp和γ(x):Rn→Rp×p是定义在D上,且γ(x)对所有x∈D非奇异。

或是经过坐标变换z=T(x)使得式(1)所示系统在z下具有如下形式:

(7)

则称式(1)所示非线性系统可通过坐标变换和状态反馈线性化变成线性系统,方法是取控制量:

u=s(x)+γ(x)V

(8)

将式(8)代入式(7)得:

(9)

式中:V为反馈控制向量,可以使用各种线性控制系统设计方法设计。据文献[13],式(1)所示非线性系统可反馈线性化的充要条件为引理1。

引理1式(1)所示非线性系统可输入-状态线性化的充要条件是:

②下式所示的分布是对合的:

1.2 输入-状态线性化

对式(1)所示非线性系统,假设存在z=T(x),使得:

(10)

(11)

以上过程步步可逆,因此式(11)是z=T(x)满足式(10)的充要条件。注意到z=T(x)不唯一,矩阵A、B可取为可控标准型(Brunovsky能控标准型),令:

z=T(x)=(T1(x)T2(x) …Tn(x))T

(12)

式中:Ti(x)为1×n维行向量,i=1,2,…,n,则式(11)可等价转换为

(13)

由式(13)可求解转换矩阵T(x)。

2 弹道跟踪制导律设计

2.1 弹道跟踪数学模型

导弹纵向平面质点运动模型如下所示:

(14)

式中:m,S为导弹质量和参考面积;v为导弹速度;Fp为发动机推力;θ为弹道倾角,单位为rad;q为动压;g为重力加速度;Cx,Cy分别为阻力和升力系数。

在战术导弹的设计过程中,首先会对速度特性进行设计,以确定发动机参数,因此,导弹速度可近似认为不可控,而导弹X坐标主要由速度决定,所以可去掉近似不受控的v和X变量,取弹道倾角θ和Y坐标作为系统状态变量,同时考虑攻角为小量,得质点运动方程:

(15)

为实现基准优化弹道的跟踪,化跟踪问题为调节问题,取跟踪变量的偏差量为状态变量x,即:

(16)

对式(16)求导并将式(15)代入,得:

(17)

式中:不受控变量v和X取相应时刻基准弹道上的状态值,用下标d标注。取攻角偏差量Δα为控制变量,用三角公式对式(17)化简,可得到用于弹道跟踪制导律设计的非线性模型:

(18)

2.2 制导律设计

下面利用反馈线性化理论将非线性模型(18)线性化,并利用LQR理论设计跟踪制导律。

1)验证可输入-状态反馈线性化条件。

由式(5)和式(18)知:

(19)

因此,

(20)

2)求解变换z=T(x)。

将式(18)代入式(13)得:

(21)

式中:z=T(x)=(T1(x)T2(x) …Tn(x))T。

(22)

(23)

将式(23)代入式(21)第4式,得:

(24)

(25)

由式(25)知,T2(x)对f的李导数为

(26)

将式(25)、式(26)代入式(21)第3式,得:

(27)

将式(25)和式(27)代入式(8),得u的表达式为

(28)

则线性化后的系统为

(29)

3)利用LQR设计制导指令。

利用LQR对系统(29)进行设计,取二次型性能指标为

(30)

式中:Q、R为权重矩阵,且Q半正定,R正定。根据LQR理论,存在最优控制变量V=-Koptz,使得指标(30)最小,且最优反馈系数Kopt可按下式确定:

(31)

式中:P为黎卡提方程的解,O为零矩阵。

将式(25)、式(27)和式(31)代入式(28),可得弹道跟踪制导指令计算公式为

(32)

式中:u0(t)为基准弹道控制量,x1=Y-Yd表示Y坐标测量值与基准值的偏差,x2=θ-θd表示弹道倾角测量值与基准值的偏差,Kopt1和Kopt2为最优反馈系数向量Kopt的分量。

至此,基于反馈线性化理论的弹道制导律设计完成。该跟踪制导律工作流程如图1所示。

图1中,f(ΔY,Δθ,θd)=s(x)-γ(x)Koptz。制导工作流程为:首先,惯导和弹载机测量、计算导弹运动状态,并与弹上存储的基准弹道比较,得出偏差量;然后,根据导弹飞行时间从基准弹道数据库中取出相应基准弹道参数,计算偏差控制量Δu和总控制量u*,控制导弹沿基准弹道飞行。

图1 弹道跟踪制导律工作流程图

3 数字仿真

为验证所设计的弹道跟踪制导律的有效性,将其应用于导弹质点运动仿真。首先,给出随机风干扰计算模型。由文献[14]知,干扰力可等效为附加攻角,下面给出计算步骤。

3.1 随机风干扰计算模型

①生成随机地面风,根据风级定义,取地面垂直风速为3 m/s,即μ=0,σ=3 m/s,则:

(33)

式中:U0为地面垂直风,W0为地面水平风,NG为高斯白噪声,μ、σ为均值和均方差。

②生成高空风速。

(34)

式中:U为高空垂直风,W为高空水平风,ρ0为地面处大气密度,ρ为高空大气密度。

③计算干扰攻角分量。

(35)

式中:Δα1为高空垂直风引起的干扰攻角,Δα2为高空水平风引起的干扰攻角,θ为弹道倾角。

④计算干扰总攻角。

Δα=Δα1+Δα2

(36)

等效干扰攻角计算结果如图2所示。

图2 等效干扰攻角

3.2 弹道跟踪制导规律仿真

为比较方便,根据文献[14]直接给出导弹纵向平面运动小扰动线性化模型,如下所示:

(37)

基于模型(37)和LQR控制理论同样可设计LQR跟踪制导律,命名为LQR制导律,本文设计制导律命名为反馈线性化+LQR制导律。

图3 误差和控制量曲线

图4 弹道曲线

仿真结果的数据统计见表1。表中数据表示误差变化范围。

表1 仿真结果统计

由图3、图4和表1可知:

①对受控的Y坐标和弹道倾角θ,跟踪制导律能迅速消除初始误差,并维持较小误差水平,弹道跟踪精度较高。

②对不受控的X坐标和速度v来说,反馈线性化+LQR的跟踪误差比LQR小,由表1数据知,ΔX绝对值的最大值从4 050.2 m减小到712.0 m,Δv绝对值最大值从38.3 m/s减小到10.0 m/s,大大减缓了不受控变量的发散速度。

③采用反馈线性化+LQR跟踪制导律进行弹道跟踪时所需的过载偏差控制量相对LQR较小,且抖振较小,易于工程实现。

综上,在存在初始误差和随机风干扰的条件下,本文所设计的反馈线性化+LQR跟踪制导律能较好抑制干扰作用,保证导弹稳定跟踪基准弹道。

4 结束语

本文利用反馈线性化方法和LQR理论,设计了一种弹道跟踪制导律。首先介绍了设计需用的输入-状态反馈线性化理论,然后对导弹运动非线性模型反馈线性化,并利用该精确线性化模型和LQR理论设计了一种跟踪制导律。为比较所设计的跟踪制导律,还利用传统的小扰动线性化模型设计LQR跟踪制导律,在存在初始状态误差和随机风干扰条件下,将所设计的弹道跟踪制导律和LQR制导律应用于导弹非线性运动仿真,结果表明,本文所设计的制导律由于使用反馈线性化精确模型,与使用小扰动模型的LQR制导律相比,能较好抑制初始偏差和随机风干扰,保证导弹精确跟踪基准弹道。本文的研究可推广至三维弹道跟踪制导律的设计中。

[1] LEVY M,SHIMA T,GUTMAN S.Linear quadratic integrated versus separated autopilot-guidance design[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2013,36(6):1 722-1 730.

[2] 杨希祥,张为华.基于Gauss伪谱法的空空导弹最优中制导律设计[J].国防科技大学学报,2013,35(1):28-32.

YANG Xi-xiang,ZHANG Wei-hua.Midcourse guidance law optimal design for air-to-air missiles based on Gauss pseudospectral method[J].Journal of National University of Defense Technology,2013,35(1):28-32.(in Chinese)

[3] 谷学强,王楠,陈璟,等.基于鲁棒多目标优化方法的UCAV武器投放规划[J].系统工程与电子技术,2013,35(4):753-760.

GU Xue-qiang,WANG Nan,CHEN Jing,et al.Weapon delivery planning for UCAV using robust multi-objective optimization approach[J].Systems Engineering and Electronics,2013,35(4):753-760.(in Chinese)

[4] 刘恒军,姜欢,陈万春.防空导弹动能杀伤多层弹道优化MDO算法应用[J].北京航空航天大学学报,2010,36(2):145-149.

LIU Heng-jun,JIANG Huan,CHEN Wan-chun.Application of MDO algorithm to multi-tier trajectory optimization design for a surface-to-air missile kinetic kill[J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics,2010,36(2):145-149.(in Chinese)

[5] 汤善同,李忠应.变结构自适应制导规律研究[J].系统工程与电子技术,2002,24(7):68-76.

TANG Shan-tong,LI Zhong-ying.A guidance law of variable structure adaptive for missile following its optimal nominal trajectory[J].Systems Engineering and Electronics,2002,24(7):68-76.(in Chinese)

[6] BOUADI H,CAMINO F M.Aircraft trajectory tracking by nonlinear spatial inversion,AIAA 2012-4613[R].2012.

[7] PU Z Q,TAN X M,FAN G L,et al.Design of entry trajectory tracking law for a hypersonic vehicle via inversion control[C]//Proc of the 10th World Congress on Intelligent Control and Automation.Beijing:IEEE,2012:1 092-1 097.

[8] DROUOT A,RICHARD E,BOUTAYEB M.Nonlinear backstepping based trajectory tracking control of a gun launched micro aerial vehicle,AIAA 2012-4455[R].2012.

[9] 王俊波,曲鑫,任章.基于在线轨迹规划的混合再入制导方法[J].宇航学报,2012,33(9):1 217-1 224.

WANG Jun-bo,QU Xin,REN Zhang.Hybrid reentry guidance based on the online trajectory planning[J].Journal of Astronautics,2012,33(9):1 217-1 224.(in Chinese)

[10] PARK S,DEYST J,HOW J P.A new nonlinear guidance logic for trajectory tracking,AIAA 2004-4900[R].2004.

[11] DUKEMAN G A.Profile-following entry guidance using linear quadratic regulator theory,AIAA 2002-4457[R].2002.

[12] ZHOU W Y,TAN S J,CHEN H B.A simple reentry trajectory generation and tracking scheme for common aero vehicle,AIAA 2012-4709[R].2012.

[13] 李殿璞.非线性控制系统[M].西安:西北工业大学出版社,2009.

LI Dian-pu.Nonlinear control system[M].Xi’an:Northwestern Polytechnical University Press,2009.(in Chinese)

[14] 李新国,方群.有翼导弹飞行动力学[M].西安:西北工业大学出版社,2005.

LI Xin-guo,FANG Qun.Flight dynamics of winged missile[M].Xi’an:Northwestern Polytechnical University Press,2005.(in Chinese)