一类最值问题的另类解法

邵达

摘 要： 已知某二元二次方程，求二元齐次最值问题的解法多种多样，作者在用换元法解决这类问题的过程中发现，可以将问题转化为求一个分子分母均为齐次式，且次数相等的问题，进而用赋值法加以解决.

关键词： 不等式 二次方程 齐次 赋值

笔者在复习不等式时碰到了这样的一类最值问题.2011年浙江高考第16题：设x，y为实数，若4x +y +xy=1，则2x+y的最大值是？摇？摇？摇？摇.这类问题是复习题中必出现的一类问题，它的解法多种多样，对于标准答案的解答，笔者不在这里详述，只想提出对这类问题的另类思考和拓展.

解析1：看到条件等式的二次背景，其实质就是一个标准形式的椭圆经仿射变换形成，4x +y +xy= x +（ x+y） =1，

令cosθ= xsinθ= x+y，则x= cosθy=sinθ- cosθ，

故2x+y=sinθ+ cosθ≤ = ，

当且仅当x= ，y= 时取到最值 .

任意形式的二元二次方程，我们都可以通过配方，找到其标准形式下对应的圆锥曲线.那么，类似上述的最值问题可以通过圆锥曲线的参数方程解决.

笔者尝试将二元变成三元，再来看看这类问题，先尝试系数比较简单的.

变式1.已知x，y，z∈R，则 的最大值为？摇？摇？摇？摇.

解析：首先，xy+yz取正数时达到最大值，以下基于这种认识，我们不妨设xy+yz>0.

利用基本不等式，由式子中x，z的对称性，可知

= ≤ = ，

当x= y=z时取到最大值 .

我们把系数变复杂，有

变式2.已知x，y，z∈R，则 的最大值为？摇？摇？摇 ？摇.

解析1：本题的配凑的系数难以观察得出，可利用待定系数.这是一个比较常规的思路.

x +λy ≥2 xy（1-λ）y +z ≥2 yz，故x +y +z ≥2 xy+2 yz，

令2 ：2 = ，解得λ= ，

故 = ≤ = ，

当x= y= z时取到最大值 .

从分子入手的方法请读者自己思考.

解析2：由于上面的解法较繁琐，因此我们尝试能否像原题那样进行换元解决.

可设x +y +z =r ，利用球的参数方程换元.同时，我们观察到这里的r，最后必定约去.故可直接设x +y +z =1，设x=cosθsinφz=cosθcosφy=sinθ，

=sinθcosθsinφ+2sinθcosθcosφ= sin2θ（sinφ+2cosφ）≤ ，

当x= y= z时取到最大值 .

由此启发，我们发现对于分子分母是齐二次的分式的最值问题，大可以对其中某一个量进行赋值.

回顾2011年的浙江省高考题，其实可以转化为求 的最大值的问题.

于是我们又有如下做法.

解2：令2x+y=1，则y=1-2x

= = = ≤

故原题中2x+y≤ ≤ = .下同.

解析3：更绝的做法是令x=1，

= =1+ =1+ ≤1+ =

上式中y≠0，而y=0时，上式的值为1.下同.endprint

摘 要： 已知某二元二次方程，求二元齐次最值问题的解法多种多样，作者在用换元法解决这类问题的过程中发现，可以将问题转化为求一个分子分母均为齐次式，且次数相等的问题，进而用赋值法加以解决.

关键词： 不等式 二次方程 齐次 赋值

笔者在复习不等式时碰到了这样的一类最值问题.2011年浙江高考第16题：设x，y为实数，若4x +y +xy=1，则2x+y的最大值是？摇？摇？摇？摇.这类问题是复习题中必出现的一类问题，它的解法多种多样，对于标准答案的解答，笔者不在这里详述，只想提出对这类问题的另类思考和拓展.

解析1：看到条件等式的二次背景，其实质就是一个标准形式的椭圆经仿射变换形成，4x +y +xy= x +（ x+y） =1，

令cosθ= xsinθ= x+y，则x= cosθy=sinθ- cosθ，

故2x+y=sinθ+ cosθ≤ = ，

当且仅当x= ，y= 时取到最值 .

任意形式的二元二次方程，我们都可以通过配方，找到其标准形式下对应的圆锥曲线.那么，类似上述的最值问题可以通过圆锥曲线的参数方程解决.

笔者尝试将二元变成三元，再来看看这类问题，先尝试系数比较简单的.

变式1.已知x，y，z∈R，则 的最大值为？摇？摇？摇？摇.

解析：首先，xy+yz取正数时达到最大值，以下基于这种认识，我们不妨设xy+yz>0.

利用基本不等式，由式子中x，z的对称性，可知

= ≤ = ，

当x= y=z时取到最大值 .

我们把系数变复杂，有

变式2.已知x，y，z∈R，则 的最大值为？摇？摇？摇 ？摇.

解析1：本题的配凑的系数难以观察得出，可利用待定系数.这是一个比较常规的思路.

x +λy ≥2 xy（1-λ）y +z ≥2 yz，故x +y +z ≥2 xy+2 yz，

令2 ：2 = ，解得λ= ，

故 = ≤ = ，

当x= y= z时取到最大值 .

从分子入手的方法请读者自己思考.

解析2：由于上面的解法较繁琐，因此我们尝试能否像原题那样进行换元解决.

可设x +y +z =r ，利用球的参数方程换元.同时，我们观察到这里的r，最后必定约去.故可直接设x +y +z =1，设x=cosθsinφz=cosθcosφy=sinθ，

=sinθcosθsinφ+2sinθcosθcosφ= sin2θ（sinφ+2cosφ）≤ ，

当x= y= z时取到最大值 .

由此启发，我们发现对于分子分母是齐二次的分式的最值问题，大可以对其中某一个量进行赋值.

回顾2011年的浙江省高考题，其实可以转化为求 的最大值的问题.

于是我们又有如下做法.

解2：令2x+y=1，则y=1-2x

= = = ≤

故原题中2x+y≤ ≤ = .下同.

解析3：更绝的做法是令x=1，

= =1+ =1+ ≤1+ =

上式中y≠0，而y=0时，上式的值为1.下同.endprint

摘 要： 已知某二元二次方程，求二元齐次最值问题的解法多种多样，作者在用换元法解决这类问题的过程中发现，可以将问题转化为求一个分子分母均为齐次式，且次数相等的问题，进而用赋值法加以解决.

关键词： 不等式 二次方程 齐次 赋值

笔者在复习不等式时碰到了这样的一类最值问题.2011年浙江高考第16题：设x，y为实数，若4x +y +xy=1，则2x+y的最大值是？摇？摇？摇？摇.这类问题是复习题中必出现的一类问题，它的解法多种多样，对于标准答案的解答，笔者不在这里详述，只想提出对这类问题的另类思考和拓展.

解析1：看到条件等式的二次背景，其实质就是一个标准形式的椭圆经仿射变换形成，4x +y +xy= x +（ x+y） =1，

令cosθ= xsinθ= x+y，则x= cosθy=sinθ- cosθ，

故2x+y=sinθ+ cosθ≤ = ，

当且仅当x= ，y= 时取到最值 .

任意形式的二元二次方程，我们都可以通过配方，找到其标准形式下对应的圆锥曲线.那么，类似上述的最值问题可以通过圆锥曲线的参数方程解决.

笔者尝试将二元变成三元，再来看看这类问题，先尝试系数比较简单的.

变式1.已知x，y，z∈R，则 的最大值为？摇？摇？摇？摇.

解析：首先，xy+yz取正数时达到最大值，以下基于这种认识，我们不妨设xy+yz>0.

利用基本不等式，由式子中x，z的对称性，可知

= ≤ = ，

当x= y=z时取到最大值 .

我们把系数变复杂，有

变式2.已知x，y，z∈R，则 的最大值为？摇？摇？摇 ？摇.

解析1：本题的配凑的系数难以观察得出，可利用待定系数.这是一个比较常规的思路.

x +λy ≥2 xy（1-λ）y +z ≥2 yz，故x +y +z ≥2 xy+2 yz，

令2 ：2 = ，解得λ= ，

故 = ≤ = ，

当x= y= z时取到最大值 .

从分子入手的方法请读者自己思考.

解析2：由于上面的解法较繁琐，因此我们尝试能否像原题那样进行换元解决.

可设x +y +z =r ，利用球的参数方程换元.同时，我们观察到这里的r，最后必定约去.故可直接设x +y +z =1，设x=cosθsinφz=cosθcosφy=sinθ，

=sinθcosθsinφ+2sinθcosθcosφ= sin2θ（sinφ+2cosφ）≤ ，

当x= y= z时取到最大值 .

由此启发，我们发现对于分子分母是齐二次的分式的最值问题，大可以对其中某一个量进行赋值.

回顾2011年的浙江省高考题，其实可以转化为求 的最大值的问题.

于是我们又有如下做法.

解2：令2x+y=1，则y=1-2x

= = = ≤

故原题中2x+y≤ ≤ = .下同.

解析3：更绝的做法是令x=1，

= =1+ =1+ ≤1+ =

上式中y≠0，而y=0时，上式的值为1.下同.endprint