微分中值定理的证明及推广

程建玲

(郑州华信学院 基础部, 河南 郑州 451150)

0 引言

国内外多种高等数学教材在证明微分中值定理时，大都引进满足定理条件的辅助函数，然后应用罗尔定理证明.有利用面积构造辅助函数[1]，有利用距离构造辅助函数[2]，有利用坐标轴旋转变换构造辅助函数[3]，还有利用微分方程构造辅助函数[4].然而，辅助函数是如何找到的？它们之间有没有联系？辅助函数有没有一般形式？这些问题教材谈的比较简单，不是很深入透彻，初学者不容易理解.笔者经过反复思考，对这些问题进行探讨，最终得出构造辅助函数的一般形式.

1 拉格朗日中值定理中辅助函数的构造

1.1 拉格朗日中值定理

1.2 拉格朗日中值定理的证明中辅助函数的构造

图1 拉格朗日中值定理图

(1)

此时L就是过原点(0,0)且平行于AB的直线.

(2)

此时L就是直线AB.

(3)

此时L就是过点(a,0)且平行于AB的直线.

(4)

此时L就是过点(m,n)且平行于AB的直线.

以上(1)(2)(3)(4)任一个辅助函数都可以用来证明拉格朗日定理.以上这些辅函数都有一个共同特点：直线L都平行于弦AB,这样作差后构造的辅助函数在两个端点的函数值才能相等.

2 柯西中值定理中辅助函数的构造

2.1 柯西中值定理

2.2 柯西中值定理的证明中辅助函数的构造

受拉格朗日定理证明中构造辅助函数的方法，一般地可设辅助函数为：

其中c,d为任意常数且c≠0，容易验证ψ(x)满足罗尔定理的三个条件.

(5)

(6)

(7)

当c=g(b)-g(a),d=g(a)f(b)-g(b)f(a)时，得到

ψ(x)=[g(b)-g(a)]f(x)-[f(b)-f(a)]g(x)+g(a)f(b)-g(b)f(a)

(8)

以上(5)(6)(7)(8)任一个辅助函数都可以用来证明柯西中值定理.

3 微分中值定理的推广

我们知道，拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推广，更一般地可推广成如下定理.

定理1：设函数f(x),g(x),h(x)都在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，则存在点η∈(a,b)使

证明：作辅助函数

显然，F(x)满足罗尔定理的三个条件，因此存在点η∈(a,b)使得F′(η)=0，定理1得证.

此定理的几何意义是：若空间曲线

在两端点处连续，在内点处都有切线，则存在η∈(a,b)使曲线上点(f(η),g(η),h(η))处的切向量(f′(η),g′(η),h′(η))与向量(f(a),g(a),h(a)),(f(b),g(b),h(b))共面.

再进一步，我们有

定理2：设函数f(x),g(x),h(x),k(x)都在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，则存在点η∈(a,b)使

证明：作辅助函数

显然，G(x)满足罗尔定理的三个条件，因此存在点η∈(a,b)使得G′(η)=0，定理2得证.

当k(x)=0时，定理2即为定理1，故定理2是定理1的推广.

4 总结

拉格朗日中值定理的证明关键是构造辅助函数，但怎么构造辅助函数是难点，本文从不同角度构造出了辅助函数，并给出了辅助函数的一般形式，最后对微分中值定理进行了推广.

[1] 王长远. 构造思想在高等数学中的应用[J].枣庄学院学报,2011，28(5)：20-23.

[2] 杨毅，徐根海.微分中值定理教学新探[J].丽水学院学报,2012,34(2)：80-83.

[3] 辛春元.微分中值定理的应用研究[J].经济研究导刊,2012,171(25)：322-323.

[4] 刘冬兵，马亮亮.辅助函数在微分中值定理中的应用[J].攀枝花学院学报，2013,30(2)：101-103.