函数与方程中的三个等价关系孙春生

肖爱国

函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决；方程与函数是两个不同概念，但他们之间有着密切的联系.方程f（x）=0的解就是函数y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标，即函数f（x）的零点.若设函数F（x）=f（x）-g（x），则根据函数与方程的关系，可得到三个等价式：

函数F（x）=f（x）-g（x）的零点方程f（x）-g（x）=0的根函数y=f（x）的图像与函数y=g（x）的图像交点的横坐标.

合理运用这三个等价关系，能解决函数问题中零点个数问题，方程的根满足的条件及函数图像交点坐标位置等问题.

1方程的根与函数的零点的转化

1.1方程的根转化为函数的零点

当方程f（x）-g（x）=0的根无法求出（也不需要求出具体的根）时，而要求方程f（x）-g（x）=0的根的个数，可转化为求函数F（x）=f（x）-g（x）的零点个数，利用零点存在定理，可得出方程根的情况.

例1（2014届山东济宁高三联考）设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）>0，f（1）>0.

（1）求ba的取值范围；

（2）判断方程f（x）=0在（0，1）内实根的个数.

分析第二问判定方程根的个数，由于方程的根无法求出，利用解方程的方法无法求出在区间内根的个数，因此需要利用等价转化思想，将方程的根转化为函数的零点问题.

1.2函数的零点转化为方程的根

当函数的零点无法利用零点存在定理判断时，可利用等价转化关系转化为相应方程根的分布情况.

2方程的根与两个函数图像交点的转化

2.1方程的根转化为两个函数图像交点问题

当方程f（x）-g（x）=0是现有知识无法求解时，要判断方程的根的个数或方程根满足的条件时，常需将方程拆分成两个函数y=f（x）与y=g（x），通过两个函数的大致图像，来找到根的个数或方程根满足的条件.

2.2两个函数图像交点问题转化为方程的根

当函数f（x）与g（x）的图像无法画出，或通过两函数的图像的交点无法判断参数的取值范围时，则需要将函数y=f（x）的图像与函数y=g（x）的图像交点情况，转化为方程f（x）-g（x）=0根的情况来解.

3函数的零点与两个函数图像的交点的转化

3.1函数的零点转化为两个函数图像的交点

函数的零点存在定理只能判断函数在某个区间上零点是否存在，但无法判断函数零点的个数，更无法通过零点个数来解决参数的取值范围等问题.因此，与函数零点个数的相关问题，常转化为两个函数图像的交点问题.

问题.

评注利用两个函数的图像来分析交点的情况，只能从大致的图像中得出一些粗略的结论，但要更细化的结果，还是需要将问题转化为函数零点，利用零点存在定理，有时还需结合二分法来解决.

函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决；方程与函数是两个不同概念，但他们之间有着密切的联系.方程f（x）=0的解就是函数y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标，即函数f（x）的零点.若设函数F（x）=f（x）-g（x），则根据函数与方程的关系，可得到三个等价式：

函数F（x）=f（x）-g（x）的零点方程f（x）-g（x）=0的根函数y=f（x）的图像与函数y=g（x）的图像交点的横坐标.

合理运用这三个等价关系，能解决函数问题中零点个数问题，方程的根满足的条件及函数图像交点坐标位置等问题.

1方程的根与函数的零点的转化

1.1方程的根转化为函数的零点

当方程f（x）-g（x）=0的根无法求出（也不需要求出具体的根）时，而要求方程f（x）-g（x）=0的根的个数，可转化为求函数F（x）=f（x）-g（x）的零点个数，利用零点存在定理，可得出方程根的情况.

例1（2014届山东济宁高三联考）设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）>0，f（1）>0.

（1）求ba的取值范围；

（2）判断方程f（x）=0在（0，1）内实根的个数.

分析第二问判定方程根的个数，由于方程的根无法求出，利用解方程的方法无法求出在区间内根的个数，因此需要利用等价转化思想，将方程的根转化为函数的零点问题.

1.2函数的零点转化为方程的根

当函数的零点无法利用零点存在定理判断时，可利用等价转化关系转化为相应方程根的分布情况.

2方程的根与两个函数图像交点的转化

2.1方程的根转化为两个函数图像交点问题

当方程f（x）-g（x）=0是现有知识无法求解时，要判断方程的根的个数或方程根满足的条件时，常需将方程拆分成两个函数y=f（x）与y=g（x），通过两个函数的大致图像，来找到根的个数或方程根满足的条件.

2.2两个函数图像交点问题转化为方程的根

当函数f（x）与g（x）的图像无法画出，或通过两函数的图像的交点无法判断参数的取值范围时，则需要将函数y=f（x）的图像与函数y=g（x）的图像交点情况，转化为方程f（x）-g（x）=0根的情况来解.

3函数的零点与两个函数图像的交点的转化

3.1函数的零点转化为两个函数图像的交点

函数的零点存在定理只能判断函数在某个区间上零点是否存在，但无法判断函数零点的个数，更无法通过零点个数来解决参数的取值范围等问题.因此，与函数零点个数的相关问题，常转化为两个函数图像的交点问题.

问题.

评注利用两个函数的图像来分析交点的情况，只能从大致的图像中得出一些粗略的结论，但要更细化的结果，还是需要将问题转化为函数零点，利用零点存在定理，有时还需结合二分法来解决.

函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决；方程与函数是两个不同概念，但他们之间有着密切的联系.方程f（x）=0的解就是函数y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标，即函数f（x）的零点.若设函数F（x）=f（x）-g（x），则根据函数与方程的关系，可得到三个等价式：

函数F（x）=f（x）-g（x）的零点方程f（x）-g（x）=0的根函数y=f（x）的图像与函数y=g（x）的图像交点的横坐标.

合理运用这三个等价关系，能解决函数问题中零点个数问题，方程的根满足的条件及函数图像交点坐标位置等问题.

1方程的根与函数的零点的转化

1.1方程的根转化为函数的零点

当方程f（x）-g（x）=0的根无法求出（也不需要求出具体的根）时，而要求方程f（x）-g（x）=0的根的个数，可转化为求函数F（x）=f（x）-g（x）的零点个数，利用零点存在定理，可得出方程根的情况.

例1（2014届山东济宁高三联考）设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）>0，f（1）>0.

（1）求ba的取值范围；

（2）判断方程f（x）=0在（0，1）内实根的个数.

分析第二问判定方程根的个数，由于方程的根无法求出，利用解方程的方法无法求出在区间内根的个数，因此需要利用等价转化思想，将方程的根转化为函数的零点问题.

1.2函数的零点转化为方程的根

当函数的零点无法利用零点存在定理判断时，可利用等价转化关系转化为相应方程根的分布情况.

2方程的根与两个函数图像交点的转化

2.1方程的根转化为两个函数图像交点问题

当方程f（x）-g（x）=0是现有知识无法求解时，要判断方程的根的个数或方程根满足的条件时，常需将方程拆分成两个函数y=f（x）与y=g（x），通过两个函数的大致图像，来找到根的个数或方程根满足的条件.

2.2两个函数图像交点问题转化为方程的根

当函数f（x）与g（x）的图像无法画出，或通过两函数的图像的交点无法判断参数的取值范围时，则需要将函数y=f（x）的图像与函数y=g（x）的图像交点情况，转化为方程f（x）-g（x）=0根的情况来解.

3函数的零点与两个函数图像的交点的转化

3.1函数的零点转化为两个函数图像的交点

函数的零点存在定理只能判断函数在某个区间上零点是否存在，但无法判断函数零点的个数，更无法通过零点个数来解决参数的取值范围等问题.因此，与函数零点个数的相关问题，常转化为两个函数图像的交点问题.

问题.

评注利用两个函数的图像来分析交点的情况，只能从大致的图像中得出一些粗略的结论，但要更细化的结果，还是需要将问题转化为函数零点，利用零点存在定理，有时还需结合二分法来解决.