伪相容连续Domain 的若干研究①

祝祯祯， 卢 涛

(淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北235000)

0 引言

Domain理论为计算机程序设计语言语义学奠定了基础，而连续Domain在Domain理论中占有极其重要地位．随着连续Domain理论在计算机科学和精典数学领域逐渐得到应用，人们对于连续Domain相关理论的研究兴趣日益浓厚，基于此，本文引入了伪相容连续Domain与伪相容连续Domain的基的概念，进而得出许多良好的性质与结论，从而对Domain理论作出进一步推广．

1 预备知识

设(P，≤)是偏序集，P的非空子集A称作定向集，若对于∀a，b∈A，∃c∈A使得a≤c且b≤c．P称作定向完备偏序集，若P的每个定向子集都有上确界．而对于∀x，y∈p，x＜＜y是指对P的每个定向子集D，y≤sup D时存在d，使得x≤d．

记⇓x={y∈p:y＜＜x}，↓x={y∈p:y≤x}，x=∨↑D表示x是定向集D的上确界．

定义1[1]: 设(P，≤)是偏序集，如果(i)是D定向集;(ii)∃p∈D，使得D⊆↓P={x∈P:x≤P};则称D为P的相容定向集．

易证，↓x是P的相容定向集．

定义2[1]: 设(P，≤)是偏序集，若对于P的每个相容定向集D，∨↑D在P中存在，则称P为相容Domain．

2 伪相容连续Domain与伪相容连续

定义3: 设(P，≤)是偏序集，任意x∈P，若对于P的任意相容定向集D，当x≤∨↑D，∃d∈D，使得x≤d，则称x为P的紧元，P上的全体紧元的集合用K(P)表示．

命题 1:K(x)=K(P)∩ ↓x为相容Domain．

定义4: 设P为相容Domain，称P为伪相容连续Domain，若P满足:

(i)任意x∈P，↓x={y∈P:y≤x}是P中的相容定向集;

(ii)任意x∈P，x=∨↑↓x．

命题2: 设P为相容Domain，若任意x∈P，存在相容定向集Dx，使得Dx⊆↓x，且x=∨↑↓x，则P是伪相容连续Domain．

证明: 因为对于任意x∈P，存在相容定向集Dx，使得Dx⊆↓x，又P是相容Domain，∨↑D在P中存在，所以∨↑Dx≤∨↑↓x．而x≤∨↑Dx，所以x≤∨↑↓x，由x≥∨↑↓x知x=∨↑↓x，所以P是伪相容连续Domain．

命题3: 连续Domain一定是伪相容连续Domain．

证明: 由文献(4)知，若P是连续Domain，则对于任意x∈P，存在相容定向集Dx，使得Dx⊆⇓x⊆↓x，Dx是定向集，从而是相容定向集，且x=∨↑Dx，由伪相容连续Domain定义得．

事实上，若对于任意x∈P，↓x与⇓x是等价的，则连续Domain与伪相容连续Domain等价．因为若P为伪相容连续Domain，则对于任意x∈P，存在相容定向集Dx，从而存在定向集，使得Dx⊆↓x= ⇓x，且x∨↑x=Dx，故P为连续Domain．

定义5: 设P是相容Domain，B⊆P，若对于任意x∈P，都存在相容定向集Bx⊆B使得Bx⊆↓x，且x=∨↑Bx，则称B是P的一个基．

命题4: 若P是伪相容连续Domain，则↓x是P的一个基．

由定义即可证．

命题5: 设P是伪相容连续Domain，B⊆P，则B是基当且仅当任意x∈P，Bx=B∩↓x是相容定向的．

命题6: 设P是伪相容连续Domain，B⊆P，则B是基当且仅当任意x，y∈P，x≤y存在b∈B使得x≤b≤y．

定义6: 设C⊆P，若∀a，b∈C，a≤b，存在c∈C，使得a≤c≤b，则称C在P中≤稠密．

命题7: 设P是相容Domain，B是P的基，则B在P中≤稠密．

证明: 由命题1．6直接可得．

命题8: 设P是伪相容连续Domain，D在P中≤稠密，则↓a∩D是相容定向集，且∀a∈P，a=∨↑(↓a∩ D)．

证明: ∀x，y∈↓a∩D⊆↓a，↓a是相容定向集，所以存在b≤a，x，y≤b，D在P中≤稠密，∃d∈D使得b≤d≤a，所以x，y≤b≤d∈(↓a∩D)，又↓a∩D⊆↓a，所以↓a∩D是相容定向集．

令d=∨↑(↓a∩D)，∀y∈↓a∩D，所以b≤a．

3 结论

本文在引入了伪相容连续Domain与伪相容连续Domain的基的基础上，对其相关性质与结论进行探讨，而伪相容连续Domain还具有很多其他的特征与性质，以后将作进一步研究与探讨．

[1] 李娇，徐晓泉．相容连续的序同态扩张[J]．江西师范大学学报:自然科学版，2011，35(4):373 －374．

[2] G．Gierz，Continuous Lattices and Domains[M]．New York，Cambridge University Press，2003．

[3] Abramsky S，JungA．Domain theory[M]．New York:Oxford University Press，1994．

[4] 赵斌，刘妮 连续格的特征浓度[J]．陕西师范大学学报:自然科学版，2002，30(2):1 －3．

[5] 徐罗山．相容连续偏序集及其定向完备化[J]．扬州大学学报:自然科学版，2003，3(1):1 －6．