二项分布参数的经典估计与Bayes 估计相等的关系①

姚 丽

(吉林师范大学数学学院，吉林四平136000)

0 引言

文献[2]中称“贝叶斯学派至今尚未证明总体分布p(x/θ)中的参数的任一经典估计都存在一个先验分布，使得其贝叶斯估计就是该经典估计”，这一命题现在仍未解决．

由于二项分布是实际中常用的离散分布，并且最大似然估计和矩估计是主要的参数估计方法，为此，以二项分布为研究对象来探讨命题真伪对于最终解决问题是有益的．本文证明了二项分布中未知参数的经典估计(最大似然估计和矩估计)，一定存在一个先验分布，使其贝叶斯估计就是该参数的经典估计的结论．

1 二项分布中未知参数的经典估计

1．1 最大似然估计

从总体X中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn，得到x1，x2，…，xn，则二项分布中样本的似然函数:

对数似然函数:

令

则

1．2 矩估计

2 二项分布的后验分布

我们取贝塔分布Be(α，β)作为二项分布中未知参数θ的先验分布，其中，α和β已知，则

未知参数θ的后验分布

3 二项分布中未知参数θ在取Be(α，β)下的 Bayes估计

由文献[3]知，二项分布中未知参数在取先验分布Be(α，β)下的Bayes估计B=E(θ/x)，由于

4 结 论

本文以二项分布为例，讨论并证明了其未知参数θ的经典估计(最大似然估计和矩估计)都存在一个先验分布 Be(α，β)(α 和 β 满足条件:β =)，使得其贝叶斯估计就是该经典估计，这一结论的确定有利于继续研究贝叶斯统计中未解决的问题．

[1] 彭燕．贝叶斯估计和经典估计的对比研究[J]．岳阳师范学院学报(自然科学版)，2002，15(01):1008 －620X．

[2] 茆诗松．贝叶斯统计[M]．北京:中国统计出版社，1999．

[3] 张尧庭，陈汉峰．贝叶斯统计推断[M]．北京:科学出版社，1991．

[4] 茆诗松，王静龙，濮晓龙．高等数理统计[M]．北京:高等教育出版社，2006．

[5] 茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程[M]．北京:高等教育出版社，2008．