向量积性质的应用

马玉峰

(甘肃民族师范学院 数学系, 甘肃 合作 747000)

向量积性质的应用

马玉峰

(甘肃民族师范学院 数学系, 甘肃 合作 747000)

向量积是向量代数中一种重要运算,与矩阵类似不满足乘法交换律.在实际应用中向量积具有双重性(大小和方向是解决问题的核心).利用它可以求空间中直线和平面的方程,更重要的是用它可以建立微分几何中Frenet标架.

向量积; 向量代数; 应用

0 引言

向量积是向量代数中的基本概念和运算．利用向量积可以计算平面图形的面积、确定平面的法向量;建立三维欧氏空间中的Frenet标架．在物理学、自然科学中有广泛的应用．

1 定义

几何定义[5-6]:向量积的模长等于平行四边形的面积.即

2 向量积的性质

图1 中线三角形

命题 三角形的三条中线构成一个三角形.(称此三角形为中线三角形)

而三中线向量分别是:

而中线三角形的面积是:

图2 以为三棱的平行六面体

所以

定理4 分解定理

可设

因

故有

因此得

同理可得

所以

3 应用举例

图3 以A、B、C为顶点的空间三角形

例1 如图3,已知空间三点的坐标分别为A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)试求: 1) 三角形ABC的面积; 2) 原点O到平面ABC的距离; 3) 平面ABC的方程.

而

bc(x-a)+ac(y-0)+ab(z-0)=0由于abc≠0因此所求平面方程为:

而

所以

即

因此

4 结束语

向量积是一种重要工具,是学习微分几何、物理学的重要方法;利用它还可推出许多几何性质,目的是通过向量积的学习培养学生的创新思维.

[1] 丘维声. 解析几何[M].2版.北京：北京大学出版社,1996.

[2] 尤承业.解析几何 [M]. 北京：北京大学出版,2008.

[3] 吕林根.解析几何 [M].5版. 北京：高等教育出版社, 2005.

[4] 李养成,郭瑞芝. 空间解析几何 [M].北京：科学出版, 2004.

[5] 马玉峰,李晓琴.空间解析几何 [M]. 北京：中国时代经济出版社,2013.

[6] 陈维恒. 微分几何 [M]. 北京：北京大学出版社,2006.

[责任编辑：李春红]

Application Properties of Vector Product

MA Yu-feng

(Department of Mathematics, Gansu Normal University for Nationalities, Hezuo Gansu 747000, China)

Vector product was an important operation in vector algebra and matrix similar, it does not meet the multiplication commutative; in the practical application of vector product is dual in nature-the magnitude and direction is to address the crux of the problem. It can find space in the linear equation of peace, it is more important to establish the Frenet frame of differential geometry.

vector product; vector algebra; application

2014-04-01

马玉峰(1966-),男,甘肃天水人,副教授,研究方向为线性代数与几何学. E-mail: myf-456@163.com

O151.2

A

1671-6876(2014)04-0298-04