基于数学建模视角的高等数学教学改革探索

李 朗, 石啊莲

(齐鲁师范学院 数学学院， 山东 济南 250000)

基于数学建模视角的高等数学教学改革探索

李 朗, 石啊莲

(齐鲁师范学院 数学学院， 山东 济南 250000)

高等数学是理、工学科一门重要的基础课程，它主要介绍数学基本理论与方法，训练学生的思维，抽象性是其最基本最显著的特征。数学建模是利用数学工具解决实际问题的重要手段。本文试图以“数学建模”为突破口，针对传统数学教学模式的弱点，讨论怎样应用数学建模来进行教学改革，达到培养学生的创新意识和增强知识应用能力的目标。

数学建模；高等数学；教学改革

0 引言

我国传统数学教学有着优良的传统和较好的基础，但同时存在知识陈旧、内容单调、理论脱离实际的缺陷，教学改革势在必行。有学者提出应增加教材中应用题的数量，在教学的过程中给学生渗透数学建模的实例并给出解决的方法，让学生亲自体验知识应用的过程，很大程度上能提高学生学习的兴趣。什么是数学建模？数学建模就是要求将实际问题经过分析、化简，转化成一个数学问题，然后用恰当的数学方法去解决，其中将问题转化成数学模型是关键的一步。简言之，数学模型就是用数学的方法和手段对一个实际问题作出最合理的设计和方案。下面，结合自身教学经验，浅谈一下数学建模在高等数学教学中的作用。

1 渗透数学建模思想，培养学生学习数学的兴趣

现今，很多教师为了完成教学进度，在教学内容上偏重理论，忽略了与实际问题的联系，使得学生不知怎样应用理论知识，影响了学习兴趣。数学源于生活，很大程度上数学的目的是为了解决生活中实际问题，笔者就生活中常见的问题——地板的铺设，尝试着组织了一次教学。

人们为了美化住所，绞尽脑汁想出了很多地板铺设方案，而铺设地板问题也是数学建模中的经典案例，此问题的核心在于如何铺设能达到最美观及住户花费最低。假设每块地板只能沿平行于边长的方向切割而且切割费用跟切割长度成正比。问题1：考虑综合因素计算铺设地板总成本，然后计算比较哪种尺寸的地板铺设成本最低；问题2：就多种尺寸混用，如何能找出最优利用率和最低费用。

1.1 模型的基本假设

1) 每块地板只能沿平行于边长的方向切割，且只能切割一次，长度与费用成正比；

2) 地板切割成本仅考虑地板单价、切割费用，不考虑其他因素，切割后破损的地板不能再使用；

3) 相邻地板之间严格无缝对接。

数学符号的说明：

I：房间标号Aj：j种规格地板的长度

J：地板使用规格标号Bj：j种规格地板的宽度

Mij：i区域用j种完整地板的块数Si：i区域的面积

Nij：i区域用j种不完整地板的块数Ci：i区域的长

Vj：j种规格地板的单价Di：i区域的宽

Vij：j种规格地板切割后的单价Ni：i区域所用地板的总块数

1.2 模型的建立及求解

问题1的解决：将房间划分成13个小区域，利用线性规划知识建立模型如下：

问题2的解决：采取多种规格地板铺设时，运用摊还分析和二维下料的方法对每个区域进行铺设。

1) 求出每种地板单位面积的价钱，性价比高的地板即为主铺地板。

地板规格/(mm×mm)800×800600×600600×300400×400300×300性价比/(元/mm)281.25361.11444.40450.00500.00

2) 达到最优组合

通过数学软件求解

地板规格/(mm×mm)整块/块被切割数/块800×8001700600×600210600×3004646400×40041300×300225

其中，总费用：42 193.16元；利用率：98.19%；美化程度：0.93。

这个案例就本身而言，学生不但解决了实际问题，也熟悉了利用线性规划知识建模型，还熟悉了数学计算软件，在专业方面收获颇多，更重要的是提高了学生学习的热情和主动性。

2 融入数学建模方法，提高学生对大学数学的认同感

很多学生学习了一段时间数学之后，不知道怎么使用，在很多学生的眼里数学知识只是做题而已。其实不然，大学数学课程中包含了大量数学建模的实例，它们都源于我们的实际生活，学生比较容易理解和接受。所以作为在教学活动中起主导作用的教师，应该积极地将这些实例与相关知识联系起来，让学生体会到用数学知识解决实际问题的过程，提高学生对数学的认同感。

例如定积分在经济领域有着广泛的应用：设同经济量函数f(x)的边际函数用f′(x)表示，则有

所求经济量的模型如下

此模型可求解如总收益、总利润、总成本等的多种经济量。

在经济管理上，边际收益是指增加一单位产品的销售所增加的收益，它可正可负。边际收益是厂商分析的重要依据。而边际成本则是每一单位新增生产的产品带来的总的成本的增加。边际收益是反映增加产品的销售量能为企业增加的收益。销售单价除去边际成本就是边际利润，加急利润是指增加单位产量所增加的利润。

设C′(Q)、R′(Q)、L′(Q)分别表示边际成本、边际收益、边际利润，其中Q代表产量，且有

C(0)=C0,R(0)=0,L(0)=-C0

择优上面的模型可得总成本、总收益、总利润分别为

再举例常微分方程在生活上的应用。一个有意思的小问题——饿狼追兔：现有一只兔子，一匹狼，兔子位于狼的正西100米处。假设兔子与狼同时发现对方并一起跑，兔子往正北60米方向处的洞穴跑，而狼沿着兔子的路线追兔子，并假设狼和兔子的速度都是匀速的。已知狼的速度是兔子的两倍，问狼是否能追到兔子。某些导弹对目标追击的数学模型与它是类似的，有了这个例子学生也可以尝试解决工程上的问题。

设狼的行走轨迹是y=f(x)，则有y′|x=100=0,y|x=100=0。

再假设在某时刻，兔子跑到(0,h)处，而狼在(x,y)处，则有

即有如下模型

解得

由边际条件知

所以狼的行走轨迹为

通过这些具体问题的讨论，学生可以亲自体验用数学的知识解决实际问题的全过程，也了解了对某些问题的建模方法，不但加深对数学知识的理解，更加提高了学生的理论知识应用能力和动手实践能力，也培养了学生的发散思维。

3 融入建模的方法、手段，丰富教学形式

在数学建模教学的课堂上，经常采取“案例教学法”“问题驱动法”“讨论法”来激发学生的兴趣引入教学内容并展开讨论，并适时地利用比较直观的教学方法来处理抽象的理论，这些教学方法更容易被学生接受，在激发学生学习兴趣和培养自主能力上作用都是显著的。所以在课堂上不妨尝试减少理论教学时间，增加学生自主交流和师生共同讨论的时间，学生可通过自己的探索去找出解决问题的最优方法。在教学手段上可以充分发挥计算机的作用，在解决问题的过程中可以引导学生使用一些常见的数学软件(Mathematical、“图论”“统计”“优化”等)，这样不但相关的数学知识可以掌握，还能培养学生的计算机软件应用能力，能更好地适应时代要求。还有一方面就是注意在教学过程中引入多媒体，可以更直接地展示抽象的图形、有趣的动画，再附加上板书对理论推导的详细展示，更能引起学生的兴趣，激发想象力。最后远程教学、邮件或网站上师生之间的交流都是很好的促进学生学习的方法。

4 小结

按照全国大学生数学建模竞赛规则，我校每年都组织、指导学生参加此竞赛，并组织优秀教师指导。随着校队规模的扩展，各个理科院系的学生、老师都积极参与进来，进而推动了学生参与竞赛的积极性。近几年来，我校学生在全国大学生数学建模竞赛中取得了显著的成绩，分别获得国家二等奖2项、省级二等奖3项和省级三等奖2项。总的说来，在竞赛的过程中，成长的不只是学生，还有教师，在组织比赛的过程中，教师们不但拓宽了自身的知识面，还提高了利用计算机软件和数学工具解决实际问题的能力。以数学建模竞赛这个平台为契机不断引导学生用数学知识去解决实际问题，增强了学习兴趣，提高了学生对数学的认同感；在此过程中也丰富了教学手段，教学效果是颇为明显的。

[1] 姜启源.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003：3-4.

[2] 唐焕文，贺明峰.数学模型引论[M].北京：高等教育出版社，1991：226-228.

[3] 同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2008：110-112.

[4] 李大潜.中国大学生数学建模竞赛[M].北京：高等教育出版社，1998：243.

[5] 谢金星.优化模型与LINDO/LINGO软件[M].北京：清华大学出版社，2005：43-44.

[责任编辑：刘海宁]

2014-08-23

李朗(1982-)，女，吉林松原人，研究方向为应用泛函分析。E-mail：langli@163.com

G642

A

1671-6876(2014)04-0340-04