一类带非线性边界条件的分数阶微分方程解的存在性

荣 杰, 柏传志

(1.江苏师范大学 数学科学学院, 江苏 徐州 221116; 2.淮阴师范学院 数学科学学院, 江苏 淮安 223300)

一类带非线性边界条件的分数阶微分方程解的存在性

荣 杰1,2, 柏传志2

(1.江苏师范大学 数学科学学院, 江苏 徐州 221116; 2.淮阴师范学院 数学科学学院, 江苏 淮安 223300)

运用了上下解和单调迭代方法,研究带有非线性边界条件 的分数阶微分方程解的存在性.

上下解; 单调迭代法; 分数阶边值问题

0 引言

在本文中,我们主要研究下列分数阶微分方程

cDδu(t)-Mu(t)=f(t,u(t)),t∈J

(1)

满足如下边界条件:

g0(u(0),u(T))=0,g1(u′(0),u′(T))=0

(2)

解的存在性,这里的cDαu(t)是Caputo分数导数,1<α<2,J=[0,T],g0,g1∈C(R2,R)及

f∈C(J×R,R).

众所周知,分数阶微分方程是常微分方程从整数阶到分数阶的推广.由于分数阶微分边值问题在生物学,物理学,化学等众多学科中有着广泛的应用,所以近二十年来有越来越多的人研究分数阶微分边值问题解的存在性,并获得了丰硕的成果[1-4].

上下解方法和单调迭代技术是研究分数阶微分方程边界问题的有力工具[5-8].有许多文章是研究分数阶导数0<α≤1情形的,研究α>1情形的较少.

在文献[9]中,作者主要考虑了如下分数阶边值问题的解

这里的0<δ<1,d≥0,h∈C1[0,T],t∈[0,T],通过上下解方法,作者给出了其解的存在定理.受其启发,本文我们将研究问题(1)～(2)解的存在性.

1 准备知识与引理

定义1 设f是定义在[0,T]上的实函数.α阶Riemann-Liouvill分数阶积分定义为

这里α>0,t∈[0,T].

定义2 对于n阶可微函数g:[0,∞)→R,它的Caputo分数阶到导数定义为

这里n-1

定义3 令α0,β0∈PC1,α0,β0称为问题(1)～(2)的一对下解和上解

(3)

(4)

定义4 称α,β为问题(1)和(2)的拟解对,如果α,β满足方程(1)且使得下列等式成立

g0(α(0),β(T))=0=g0(β(0),α(T))和g1(α′(0),β′(T))=0=g1(β′(0),α′(T)).

引理1[10]令h∈C(J),M,b,d∈R,则下列问题

(5)

有唯一解

(6)

其中1<δ<2.

引理2 假设u∈PC1(J)满足如下不等式

(7)

那么在J上我们有u(t)≥0,u′(t)≥0

证明 由式(6),我们得到

(8)

令

则由式(7)知h(t)>0,t∈J以及b≥0,d≥0,那么由引理1,我们得到u(t)≥0,由式(8)得u′(t)≥0.引理得证.

为证明本文主要结果,我们下面给出一些假设:

(H2) 对于α0≤x1≤x2≤β0,有f(t,x1)≤f(t,x2)成立；

(H3) 存在ki>0(i=0,1)使得对于α0≤x1≤x2≤β0,α0≤y1≤y2≤β0,下式成立

g0(x2,y1)-g0(x1,y1)≤k0(x2-x1),g0(x1,y1)≤g0(x1,y2),

且对于

下式也成立

g1(x2,y1)-g1(x1,y1)≤k1(x2-x1),g1(x1,y1)≤g1(x1,y2).

2 主要结果

证明 首先,我们要证两个序列满足

(9)

令p=α1-α0,那么我们有

cDδp-Mp=cDδα1-cDα0-Mα1+Mα0=f(t,α0)-cDδα0+Mα0≥-Mα0+Mα0≥0.

并且

再令p=β1-α1,则我们有

根据定理3,就很容易处理初值和终值问题了.下面,我们主要讨论反周期边值问题,即如下的边值问题.

u(0)+u(T)=0u′(0)+u′(T)=0

(10)

定理4 设(H1)和(H2)成立.如果

min{Eδ(MTδ),Eδ,2(MTδ)}>1

(11)

那么边值问题(1)和问题(10)至少存在一个在其上下解之间的解.

证明 我们易知gi(x,y)=x+y满足条件(H3),由定理3知边值问题(1)和问题(10)的上下解α,β是其一对拟解,即

由引理1,我们得到

和

令p(t)=β(t)-α(t),那么根据定理3,我们有p(t)≥0,p(0)=p(T),p′(0)=p′(T).下面,用反证法证明β(t)≤α(t).假设存在一点τ∈J,使得β(τ)>α(τ),由条件(11)得

β(T)-α(T)= (β(T)-α(T))Eδ(MTδ)+(β′(T)-α′(T))Eδ,2(MTδ)T+

(β(T)-α(T))Eδ(MTδ)+(β′(T)-α′(T))Eδ,2(MTδ)T>

β(T)-α(T)+p′(T)T=β(T)-α(T)+p′(0)T.

从而我们有

矛盾.所以有β(t)≤α(t)成立,故在J上有β(t)=α(t),即边值问题(1)和问题(10)在其上下解α,β之间至少存在一个解.定理得证.

[1] El-sayed A M A. On the fractional differential equations[J]. Appl Math Comput,1992,49(2-3):205-213.

[2] Yan J, Zhao A, Nieto J J. Existence and global attractivity of positive periodic solution of periodic single-species impulsive Lotaka-Volterra systems[J]. Math Comput Modelling, 2004, 40(5-6):509-518.

[3] Hilfer R. Applications of fractional calculus in physics[M]. Singapore: World Scientific,2000.

[4] Jiao J. Effect of delayed response in growth on the dynamics of a chemostat model with impulsive input[J]. Chaos Solitons Fractals, 2009,42(4):2280-2287.

[5] Zhang L H. Boundary value problem for first order impulsive functional integro-differential equations[J]. J Comput Appl Math, 2011,235(8):2442-2450.

[6] Liu Z H, Sun J H. Nonlinear boundary value of fractional functional integro-differential equations[J]. Comput Math Appl, 2012,64(10): 3228-3234.

[7] Yang W G. Positive solutions for nonlinear Caputo fractional differential equations with integral boundary conditions[J]. J Appl Math Comput,2014,44(1-2):39-59.

[8] Vong S W. Positive solutions of singular fractional differential equations with integral boundary Conditions[J]. Math Comput Modelling,2013,57(5-6):1053-1059.

[9] Zhang S Q, Sun X W. The existence of a solution for a fractional differential equation with nonlinear boundary conditions considered using upper and lower solutions in reverse order[J]. Compute Math Appl,2011, 62(3): 1269-1274.

[10] Kilbas A A, Srivastava H M, Trujillo J J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations[M]. Elsevier Amsterda: North-Holland Mathematics Studies, 2006.

[责任编辑：李春红]

Existence of Solutions for Fractional Differential Equations with Nonlinear Boundary Conditions

RONG Jie1,2, BAI Chuan-zhi2

(1.School of Mathematical Science, Jiangsu Normal University, Xuzhou Jiangsu 221116, China)(2.School of Mathematical Science, Huaiyin Normal University, Huaian Jiangsu 223300, China)

By using of the upper and lower solutions and monotone iterative method, we investigate the existence and uniqueness of fractional differential equations with nonlinear boundary conditions in this paper.

upper and lower solutions; monotone iterative method; fractional boundary value problem

2014-09-16

国家自然科学基金资助项目(11271364); 江苏省自然科学基金资助项目(BK2011407)

柏传志(1964-),男,江苏金湖人,教授,博士,主要从事非线性泛函分析及其应用等研究. E-mail: czbai8@sohu.com

O175.8

A

1671-6876(2014)04-0283-04