锥度量空间中两类混合单调算子的公共不动点定理

李承耕, 刘 波

(韩山师范学院 数学与应用数学系, 广东 潮州 521041)

锥度量空间中两类混合单调算子的公共不动点定理

李承耕, 刘 波

(韩山师范学院 数学与应用数学系, 广东 潮州 521041)

在锥度量空间中,由一类混合单调算子的不动点定理扩展到两类混合单调算子的公共不动点定理．同时证明了增算子的不动点定理．

正规锥; 混合单调算子; 不动点

0 引言

混合单调算子是一类非常重要的算子,1987年由郭大钧教授和Lakshmikantham提出．许多学者对此做了大量的研究,得到了一些较好结果[2-8],它的许多理论被应用于非线性微分方程和非线性积分方程解的存在性问题的研究．本文在Guo[1]的基础上,讨论了两类混合单调算子的公共不动点问题,并给出了迭代序列收敛于解的误差估计,推广了已有文献的一些结论．

1 预备知识

设E是一个实Banach空间,如果p是E中的非空凸闭集,且满足一下条件:

1)x∈P,λ≥0⟹λx∈P;

2)x∈P,-x∈P⟹x=θ,θ是P中零元;

则称P为E中的一个锥．

设半序“≤”是E中的锥P产生的,即∀x,y∈E,若y-x∈P,则x≤y.如果x≤y,且x≠y,则记x

定义1[3]设P是E中一个锥,如果存在常数N>0,使得

θ≤x≤y⟹‖x‖≤N‖y‖,

则称P是正规锥,满足上式的正数N中最小者叫做P的正规常数．

显然,正规常数N≥1．

定义2[3]设D⊂E,算子A:D×D→E,

1) 如果x1,x2,y1,y2∈D,x1≤x2,y1≥y2蕴含着A(x1,y1)≤A(x2,y2),则称A是混合单调算子;如果A与第一变元无关,则称A是减算子;

2) 如果(x*,y*)∈D×D满足x*=A(x*,y*),y*=A(y*,x*),则称(x*,y*)是A的耦合不动点;

2 主要结果

定理1 设E是完备的锥度量空间,且A,B:[u0,v0]×[u0,v0]→E,是两个混合单调算子,且满足下列条件:

1) 存在常数β∈(0,1),使得A(v,u)-A(u,v)≤2β(v-u),u0≤u≤v≤v0;

2)A(v0,u0)-B(u0,v0)≥-2α(v0-u0),当u0≤v0;

则算子方程组

在[u0,v0]中有唯一的公共解u*.而且迭代序列

n=0,1,2,…,都收敛于u*,并且有误差估计

‖u*-un‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖,

其中N为p的正规常数．

证明 构造迭代序列为

(1)

其中n=0,1,2,…,由数学归纳法,当n=1时,由条件3)和A,B为混合单调算子,有

u1-u0=B(u0,v0)-α(v0-u0)-u0≥u0+α(v0-u0)-α(v0-u0)-u0=0

(2)

v0-v1=v0-[A(v0,u0)+α(v0-u0)]≥v0-v0+α(v0-u0)-α(v0-u0)=0

(3)

由迭代式(1)和条件2)

v1= [A(v0,u0)+α(v0-u0)]≥B(u0,v0)+2α(v0-u0)+α(v0-u0)=

B(u0,v0)+α(v0-u0)=u1,

即,u0≤u1≤v1≤v0成立.

假设n=k时,有

uk-1≤uk≤vk≤vk-1，

当n=k+1时,由A,B为单调混合算子可得

uk+1-uk= [B(uk,vk)-α(vk-uk)]-[B(uk-1,vk-1)-α(vk-1-uk-1)]≥

α(vk-1-vk)+α(uk-uk-1)≥0,

同理有

vk-vk+1= [A(vk,uk-1)+α(vk-1-uk-1)]-[A(vk,uk)+α(vk-uk)]≥

α(vk-1-vk)+α(uk-uk-1)≥0,

vk+1=A(vk,uk)+α(vk-uk)]≥B(uk,vk)-2α(vk-uk)+α(vk-uk)=

B(uk,vk)-α(vk,uk)=uk+1.

得到

uk≤uk+1≤vk+1≤vk.

综上可得

u0≤u1≤u2≤…≤un≤…≤vn≤…≤v2≤v1≤v0.

下证{un},{vn}是Cauchy列．由条件1)有

θ≤vn-un=A(vn-1,un-1)-B(un-1,vn-1)+2α(vn-1-un-1)]≤

2β(vn-1-un-1)+2α(vn-1-un-1)=(2β+2α)(vn-1-un-1)≤

(2β+2α)2(un-2-un-2)…≤(2β+2α)n(v0-u0),

于是,对于任意的自然数m,n有,

θ≤un+m-un≤vn-un≤(2α+2β)n(v0-u0),

θ≤vn-vn+m≤vn-un≤(2α+2β)n(v0-u0).

于是,由p的正规性,有

‖vn-un‖≤N1(2α+2β)n‖v0-u0‖;

‖un+2-un‖≤N1(2α+2β)n‖v0-u0‖;

‖vn-vn+m‖≤N1(2α+2β)n‖v0-u0‖.

其中N1为p的正规常数．于是{un},{vn}为E中的Cauchy列．

由p的正规性,有

下证u*为

在[u0,v0]中唯一公共解．由vn+1≥un+1和条件2)得,

A(vn,un)+α(vn-un)≥B(un,vn)-α(vn-un),

B(un,vn)≤A(vn,un)+2α(vn-un).

由A,B的连续性,和un→u*,vn→u*(n→∞),可得

B(u*,u*)≤B(u*,u*)+2α(u*-u*),

即,B(u*,u*)≤A(u*,u*).

由A,B为混合单调算子有,

un≤un-1=un+1+α(vn-un)=B(un,vn)≤B(u*,u*),

B(u*,u*)≤A(u*,u*)≤A(vn,un)≤A(vn,un)+α(vn-un)=vn+1≤vn,

即un≤B(u*,u*)≤A(u*,u*)≤vn.于是,

θ≤B(u*,u*)-un≤vn-un,

由p的正规性,有

‖B(u*,u*)-un‖≤N2‖vn-un‖,

N2为p的正规常数．

由上式可得

即

‖B(u*,u*)-u*‖=0.

故,B(u*,u*)=u*.类似可以证明A(u*,u*)=u*.

即u*为

在[u0,v0]的公共解．

下证u*的唯一性．

设v*为式(1)的另一个公共解．由的迭代式(1)及A,B为混合单调算子,类似可以得到

un≤v*≤vn,un≤u*≤vn,

由上式可得

v*-u*≤vn-un,u*-un≤vn-un.

由p的正规性,有

‖v*-un‖≤N3‖vn-un‖,‖u*-un‖≤N3‖vn-un‖,

‖u*-v*‖≤‖u*-un‖+‖un-v*‖≤2N3‖vn-un‖→0,(n→∞),

故u*=v*.唯一性得证．由

‖un+m-vn‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖.

令m→∞,得到误差估计为

‖u*-un‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖.

类似有

‖u*-vn‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖.

将增算子看成是一种特殊的混合单调算子,于是又以下结论．

定理2 设E为完备的锥度量空间,A:[u0,v0]→E,A为增算子,且满足下列条件:

(i) 存在常数β∈(0,1),使得Av-Au≤2β(v-u),∀u,v∈[u0,v0],且u0≤u≤v≤v0;

则算子A在[u0,v0]中有唯一的不动点x*.有误差估计

‖u*-un‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖,

‖u*-vn‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖,

其中N为p的正规常数．

证明 构造迭代序列

(4)

类似定理1的证明,由归纳法知

u0≤u1≤…≤un≤…≤vn≤…≤v1≤v0.

由条件(i)有

θ≤vn-un=(Avn-1+α(vn-1-un-1))-(Aun-1-α(vn-1-un-1))=

(Avn-1-Aun-1)+2α(vn-1-un-1)≤2β(vn-1-un-1)+2α(vn-1-un-1)=

(2α+2β)(vn-1-un-1)≤(2α+2β)2(vn-2-un-2)≤…≤(2α+2β)n(v0-u0).

于是对于任意的自然数n,m,有

θ≤un+m-un≤vn-un≤(2α+2β)n(v0-u0),

θ≤vn-vn+m≤vn-un≤(2α+2β)n(v0-u0).

由p的正规性有

‖vn-un‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖

(5)

‖un+m-un‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖

(6)

‖vn-vn+m‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖

(7)

由p的正规性和式(5),得到

现证u*为A在[u0,v0]中的不动点．由A为增算子及迭代式(4),有

un≤un+1≤un+1+α(vn-un)=Aun≤Avn≤Avn+α(vn-un)=vn+1≤vn,

即un≤Aun≤Avn≤vn,得到Aun-un≤vn-un.

由p的正规性,有

‖Aun-un‖≤N2‖vn-un‖,

其中N2为P的正规常数．即得到

‖Au*-u*‖=0,

故Au*=u*,u*为A在[u0,v0]中的不动点．

设v*也是迭代序列产生的另一个不动点,则有un≤v*≤vn．又由于un≤u*≤vn及p的正规性,有

‖u*-v*‖≤N3‖vn-un‖→0,(n→∞),

其中N3为p的正规常数,故u*=v*.不动点的唯一性得证．

由

‖un+m-un‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖,

令m→+∞,得误差估计为

‖u*-un‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖.

类似有

‖u*-vn‖≤N(2α+2β)n‖v0-u0‖.

[1] Guo D J,Lakshmikantham V. Nonlinear problems in abstract cone[M].New York:Academic Press,1988.

[2] Guo D J,Lakshmikantham V. Coupled fixed points of nonlinear operators with application[J]. Nonlinear Analysis,1987,11(5):623-637.

[3] 孙经先.非线性泛函分析及其应用[M].北京:科学出版社,2008.

[4] 郭大钧.非线性泛函分析[M].济南:山东科技出版社,1985.

[5] 郭大钧.非线性分析中的半序方法[M].济南:山东科技出版社,2000:18-141.

[6] 李国祯,朱传喜.关于混合单调算子的藕合不动点定理[J].工程数学学报,1993,10(1):9-16.

[7] 许绍元.混合单调算子不动点存在唯一性定理及其应用[J].吉首大学学报：自然科学版，2011,32(1):11-13.

[8] 盛梅波.一类减算子新的不动点定理及其应用[J].南昌大学学报：自然科学版,2005,29(1):35-37.

[9] Menger. PN-空间中两类混合单调算子新的公共不动点定理[J].应用泛函分析学报,2011,13(1):100-107.

[责任编辑：李春红]

The Fixed Point Theorems for Two Classes of Mixed Monotone Operators in Cone Metric Space

LI Cheng-geng, LIU Bo

(Department of Mathematics and Applied Mathematics, Hanshan Normal University, Chaozhou Guangdong 521041, China)

This paper extends the fixed point theorems for a class of mixed monotone operators to two classes of mixed monotone operators in cone metric space. Furthermore, this paper proves the fixed point theorem of increasing operator.

normal cone; mixed monotone operator; fixed point

2014-10-15

国家自然科学基金资助项目(10961003)

刘波(1977-),男,辽宁鞍山人,副教授,博士,主要从事统计和非线性泛函理论研究. E-mail: gxgl000@163.com

O177.91

A

1671-6876(2014)04-0293-05