一阶带脉冲泛函微分方程的周期边值问题

杨向辉

（武汉工程大学理学院智能机器人湖北省重点实验室，湖北 武汉 430073）

一阶带脉冲泛函微分方程的周期边值问题

杨向辉

（武汉工程大学理学院智能机器人湖北省重点实验室，湖北 武汉 430073）

本文利用不动点定理，上下解方法结合单调迭代技术，讨论了下列一阶带脉冲泛函微分方程的周期边值问题极值解的存在性.

脉冲微分方程；不动点定理；上下解；单调迭代方法

脉冲微分方程是近年来发展起来的微分方程的一个重要分支，它较之相应的不带脉冲的微分方程更能精确的描述某些现象.因而脉冲微分方程的研究已引起了大量学者的兴趣[1-2]，而周期边值问题一直是脉冲微分方程理论的一个重要部分，是目前比较活跃的研究领域，吸引了众多学者，取得了很多好的结果.

众所周知，在求常微分方程或具有固定时刻脉冲微分方程的极值解时，单调迭代技术结合上，下解方法是一种非常有效的方法，将此方法应用到具有变动时刻脉冲微分方程系统，近年来也获得了许多结果，其中关于一阶，二阶带脉冲泛函微分方程的周期边值问题也已经有了大量的研究[3-6]，在[7]中Nieto and Rodriguez-Lopez提出了一个新的上，下解的定义来讨论了如下周期边值问题

在此基础上，本文采用相似的关于上，下解的定义，讨论了如下周期边值问题

定义1称α(t)∈E是PBVP（1）的一个下解，如果它满足

其中

定义2β(t)∈E称是PBVP（1）的一个上解，如果它满足

其中

引理1 设u∈E，满足

其中M>0,N≥0,0≤Lk<1,k=1,2,L,pLk≤1，则当t∈J+时，u(t)≥0.

引理2 设u∈E，满足

引理3 设u∈E是(5)的解，当且仅当u是下列脉冲积分方程的解

其中

定理1 假设下列条件成立：

(H1)α,β∈E分别是PBVP(1)的下解和上解,且α(t)≤β(t), t∈[-r,T].

(H2)M>0,N≥0,函数f满足

其中

(H3)函数Ik满足

其中α(t)≤x≤y≤β(t)，0≤Lk≤y<1，k=1,2,L,p,

则存在单调序列{αn(t)},{βn(t)}令α0(t)=α(t),β0(t)=β(t)使得,在J+上一致成立，其中p(t)，q(t)是

PBVP（1）在J+介于α(t)与β(t)之间的最小解与最大解.

证明对∀η∈[α，β]，定义算子A：[α，β]→E为x=Aη，其中x是线形PBVP(5)的唯一解,则算子具有下列性质：

(ⅰ)α≤Aα；β≥Aβ

(ⅱ)A是[α，β]中的单调算子，即对任意η1，η2∈[α，β]，如果η1≤η2有Aη1≤Aη2，为证明(ⅰ)令α1=Aα，m=α1-α，其中α1满足(5),下分两种情况

情况1:α(0)≤α(T)

m(t)=α(t)-α1(t)=m(0)≥m(T)，t∈[-r,0]

由引理1,有m(t)≥0,即Aα≥α.

情况2α(0)>α(T)

容易验证

由引理2，m(t)≥0,即Aα≥α.

类似的,我们可证明Aβ≤β.

下证(ⅱ)令x=Aη1，x2=Aη2，m=x2-x1

其中η1≤η2，η1，η2∈[α,β],

m(t)=x2(t)-x1(t)=m(0)=m(T)t∈[-r,0]

由引理1，有m(t)≥0,对任意t∈J+成立，即x1≤x2.

定义函数序列{αn(t)}，{βn(t)}如下

由算子(ⅰ)，(ⅱ)的性质有

每一αn，βn∈E,n=1,2,L，满足PBVP

于是存在p,q使得

在[-r,T]上一致成立，显然p,q满足PBVP(1).

下证p,q是PBVP(1.2.1)的极值解,设x(t)∈[α(t)，β(t)]是（1）的任意解，假设存在正整数n使得αn(t)≤x(t)≤βn(t)，t∈J+,设m=x-αn有

由引理1，m(t)≥0，对任意t∈J+成立，即x(t)≥αn(t).

类似的，我们可得到x(t)≤βn(t)对任意t∈J+成立.

由归纳法，对所有n，αn(t)≤x(t)≤βn(t)成立.于是，令n→∞有p≤x≤q.证毕.

〔1〕V.Lakshm ikantham,D.D.Bainove,P.S.Semeonov, Theory of impulsive differential equations,Singapore: W orld Scientific,1989.

〔2〕D.D.Bainov,P.S.Simeonov,Impulsive differential equations:Periodic solutions and applica-tions,Harlow, Longman,1993.

〔3〕Zhim in He,Xiaom in He,Monotone iterative technique for impulsive integro-differential equations w ith periodic boundary conditions，Comp.Math.Appl,48(2004),73-84.

〔4〕J.J.Nieto,Periodic boundary value problem for first-order impulsive ordinary differential equations,Non.Anal, 51(2002),1223-1232.

〔5〕Daqing Jiang,Junjie Wei,Monotone method for first and second-order periodic boundary value problem and periodic solutions of functional differential equations，Non.Anal,50(2002),885-898.

〔6〕韦忠礼.二阶混合型脉冲微分-积分方程周期边值问题解的存在性.数学学报,1996（2）：531-539.

〔7〕J.J.N ieto,Remarks on periodic boundary value problems for functional differential equations,J.Comp.Appl.Math, 158(2003),339-353.

O29

A

1673-260X（2014）09-0001-03