2013年高考导数问题赏析及2014年高考导数命题展望

文/黄道宏

摘 要：近几年的高考对导数考查形式多样，考查力度有加大的趋势，主要以导数运算、导数的几何意义、导数的应用为主.在解答题中经常作为压轴题出现，以函数为载体，以导数为工具，主要考查导数综合应用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起.

关键词：导数；单调性；极值和最值；恒成立问题

一、2013年导数典型题型及解法赏析

1.利用导数求切线斜率

例1.（2013年广东卷理12）若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k .

【解析】求導得y′=k+■，依题意k+1=0，所以k=-1.

点评：本小题主要考查了导数的几何意义，即曲线在某一点处切线的斜率就是该点对应的导数值.

2.利用导数解决与函数单调性有关的问题

例2.（2013年全国卷课标Ⅰ文20）已知函数f（x）=ex（ax+b）-x2-4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处，切线方程为y=4x+4.讨论f（x）的单调性.

【解析】f ′（x）=ex（ax++a+b）-2x-4，由已知得f（0）=4，f ′（0）=4，故b=4，a+b=8

从而a=b=4，f（x）=4ex（x+1）-x2-4x，

f ′（x）=4ex（x+2）-2x-4=4（x+2）（ex-■）.

令f ′（x）=0得，x=-ln2或x=-2.

从而当x∈（-∞，-2）∪（-ln2，-∞）时，f ′（x）＞0；当x∈（-2，-ln2）时，f ′（x）＜0.

故f（x）在（-∞，-2），（-ln2，-∞）单调递增，在（-2，-ln2）单调递减.

点评：可导函数f（x）在（a，b）上是单增（或单减）函数的充要条件是：对于任意x∈（a，b），都有f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0），且f ′（x）在（a，b）的任意子区间上都不恒为零．在高中阶段主要出现的是有一个或多个（有限个）使f ′（x）=0的点x的情况．本小题主要考查了学生应用导数研究函数单调性的方法以及分类讨论及转化与化归的数学思想．

3.利用导数证明不等式

利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，将不等式的部分或者全部投射到函数上.直接或等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数.通过导数运算判断出函数的单调性或利用导数运算来求出函数的最值，将不等式的证明转化成函数问题．

例3.（2013年辽宁卷理21）已知f（x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax+■+1+2x cosx．当x∈［0，1］时.

求证：1-x≤f（x）≤■．

【解析】要证x∈［0，1］时，（1+x）e-2x≥1-x，只需证明（1+x）e-x≥（1+x）ex

设h（x）=（1+x）e-x-（1-x）e-x，则h′（x）=x（ex-e-x），当x∈［0，1］时，h′（x）＞0.

因此h（x）在［0，1］上是增函数，故h（x）≥h（0）=0

所以f（x）≥1-x，x∈［0，1］.

要证x∈［0，1］时，（1+x）e-2x≤■，只需证ex≥x+1．

设k（x）=ex-x-1，则k′（x）=ex-1，当x∈［0，1］时，k′（x）≥0.

因此k（x）在［0，1］上是增函数，故k（x）≥k（0）=0

所以f（x）≤■，x∈［0，1］．

综上，1-x≤f（x）≤■．

点评：导数法证明不等式，先作差，再构造函数，通过导数研究函数的单调性，求出最值即可解决问题．

二、2014年高考导数命题展望

1.考查形式

选择题、填空题、解答题等各种题型都会考查，选择题、填空题一般难度不大，解答题有一定难度.

2.2014年高考可能涉及导数综合题

以导数为数学工具考查．定积分是新课标教材新增的内容，由于定积分在实际问题中非常广泛，预测2014年高考呈现以下几个特点：

（1）注意基本概念、基本性质、基本公式的考查及简单的应用；高考中本讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本概念及简单运算，属于中低档题.

（2）定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好地转化为数学模型.

编辑 韩 晓