“不等式及其解集”课堂教学探讨——基于“问题解决与学习评价”模式的教学研究

☉江苏省如皋市外国语学校 石飞虹

笔者曾有幸参加过全市青年教师比武大赛，针对教材“不等式及其解集”的教学内容，以“问题解决与学习评价”的教学模式构建生本课堂，促进教学目标的有效生成.本文拟从教学内容与目标解读、教学过程实录与目标达成分析、教学反思与课后思考等方面进行深入分析，以期课堂教学达到良好效果.

一、教学内容与目标解读

1.教学内容及其解读

本节教材选自人教版《义务教育教科书》七年级下册第九章第一节“不等式及其解集”.其学习内容主要包括：（1）不等式的概念；（2）不等式的解及解集的概念；（3）尝试用验证的方法解不等式；（4）在数轴上表示不等式的解集.由于本节课是本章学习的起始课，同时也是初中阶段不等式学习的起始课.学生在小学已经学习过有关数量的大于、小于、不等于的不等关系，会用符号“＞”、“＜”、“≠”表示有关数量关系，但用不等式这样的数学模型表示生活中的不等关系还没有学过.所以在小学的基础上进一步学习不等式是十分必要的.

教材在章前图的情境创设上，贴近生活实际，借助“商场购物消费”的话题，提出问题“当两家商场推出不同的优惠方案时，到哪家商场购物花费少？”让学生倍感亲切、真实.在学习内容的设计上，教材选用了一个具体行程的问题，结合问题中的不等关系，将实际问题转化为数学问题（其中蕴含了符号化、模型化的思想）——不等式，然后类比方程（等式），对不等式进行讨论，引出不等式及其解集的概念.在这一过程中体现列不等式蕴含的建模思想，在不等式概念的形成中渗透符号意识和化归思想.在理解不等式解集几何表示中突出数形结合思想.

2.教学重点、难点分析

基于以上分析，本节课的重点是正确理解不等式、不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上.在知识点的层面上是三个基本概念（不等式、不等式的解和解集），在思维层面上则是数学思想的渗透（类比、建模、符号意识、数形结合）.难点是正确理解不等式解集的意义.

3.教学目标及解读

（1）教学目标：

①了解不等式以及解（解集）的概念，会把不等式的解集正确地表示到数轴上.

②经历“把实际问题抽象为不等式”的过程，通过类比等式的对应知识，探索不等式的概念和解，体会不等式与等式的异同，初步掌握类比的思想方法.体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型，培养学生的建模意识.

③通过对不等式概念及其解集等有关概念的探索，培养学生的知识迁移能力和建模意识，加强同学之间的合作交流意识.

⑵目标解读：

教学中采用“从现实背景中提出问题；组织学生进入研究阶段；帮助学生进行独立或合作研究的过程；展示成果、分析评价问题解决过程；总结问题解决过程，形成知识迁移”这一教学模式完成本课的学习.通过学习努力达成：

①了解教材中关于不等式概念的两种说法，一是“用符号‘＞’、‘＜’表示大小关系的式子，叫做不等式”；二是“用符号‘≠’表示不等关系的式子也是不等式”.明白这里的“符号”指“＜”、“＞”或“≠”（关于“≤”和“≥”号本课暂不提出）.

②使学生知道使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，这样的解有无数个，含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，认识到不等式的解集包括了不等式的全体的解.

③了解不等式的解集的表示方法有两种：一是用式子形式（如x＞2），即用最简形式的不等式（x＞a或x＜a）；另一种是用数轴，标出数轴上的某一区间.其中的点对应的数值都是不等式的解.这两种形式分别是用“数”和“形”表示不等式的解集.“会把不等式的解集正确地表示到数轴上”就是要求学生会“找界点”、“定方向”.

通过对不等式概念及其解集等有关概念的探索，培养学生的知识迁移能力和建模意识，加强同学之间的使用与交流.在这一过程中实现师生合作交流，构建生本课堂，回归教学本源.

④通过经历“把实际问题抽象为数学模型——不等式”的过程中学会用类比等式的对应知识，理性思考探索不等式的概念和解，体会不等式与等式的异同，初步掌握类比的思想方法，感悟不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效的数学模型.

二、教学过程实录与达成目标分析

结合学情特点、教材体系、课题理念等实际，确定本节课的教与学的方式是：创设情境，问题导入——新课（问题探究和解决）——练习（巩固新知识）——反馈（对解决问题过程的再现）——测试（检验教学目标的落实）.

1.创设情境，问题导入

师（导语）：同学们，在上一章中，我们学习了二元一次方程组，它和我们以前学过的一元一次方程一样都是用等量关系来刻画实际生活中的一些数量关系，进而解决生活中的一些数学问题.请同学们观察以下情境，思考情境中提出的问题.

情境1：如图1（投影展示），天平左盘放2个红球，右盘放1个5g砝码，天平倾斜.设每个红球的质量为xg.

图1

（1）如何用含x的代数式表示天平左盘中两个红球的总质量？

（2）观察图1，你发现了什么关系？你能说明这是什么关系吗？

（3）如何用数学符号来表示天平左右两边代数式的数量关系？

教师引导学生认真读题，弄清题意，同桌交流解决.

师（提问）：你们能解出情境1中的三个问题吗？

生1：⑴天平左盘中两个红球的总质量为2x；

生2：我发现天平左边托盘较重，这是一种不等关系，即左边大于右边.

生3：用数学符号来表示为：2x＞5.

师：同学们回答得不错，情境1描述了现实生活中的数量有大小之分的不等关系.本章就来研究现实生活中数量的这些不等关系.列出相应的数学式子——不等式（组），类比等式和方程，讨论不等式的性质和解法，感受不等式在研究不等关系问题中的重要作用.（板书）课题：“不等式及其解集”.

达成分析：从“天平”问题情境引入本课课题，既尊重教材又不拘泥于教材，有效地达到了学生都初步从感性上建立起现实生活中数量有大小之分这一不等关系，成功地将学生引入学习新知识的过程之中.有效的教学一定要从学生已经知道了什么开始.

2.问题导航，感知概念

问题1：每年5月的第二个星期日是母亲节，母亲节是一个感谢母亲的节日，母亲们在这一天通常会收到礼物.忘忧草（又叫萱草花，如图2）被称作母亲的花.在母亲节的这一天，我班的张三同学按八折买了2束忘忧草作为母亲节礼品，共付了16元钱.

图2

（1）设每束忘忧草的标价为x元，可列出方程：_____.

（2）付费超过16元呢？你知道每束忘忧草的标价是多少元吗？

（3）如果付费少于16元呢？

学生小组合作学习一会后教师提问.

师：请一学生板书问题1的结果.

师：题目中的几个关键词“八折”、“超过”、“少于”的含意是什么？

达成分析：问题1在本课中起导入新课作用，考虑学生实际情况（分析应用题能力尚欠缺）和课本中问题的难度，所以设置这个问题串，降低难度.这样编排体现知识呈现的序列性，从易到难，使得学生“列不等式”的能力实现螺旋式上升.通过实例，让学生认识到不等关系在生活中的存在；通过问题的解答，让学生了解不等式的概念，体会不等式是解决实际问题的有效工具，同时渗透了感恩教育.从课堂中的实际效果看，教师的这一设想基本达到.

师：观察式子（1）、（2）、（3），它们表示的是什么关系？有何区别？

生：第（1）个式子表示的是相等关系，第（2）和（3）表示的是不等关系.

师：式子（1）、（2）、（3）分别叫什么？

生：式子（1）是含有未知数的等式，叫方程，式子（2）、（3）是不等式.

师：同学们能否给不等式也下一个定义？

生：能，像（2）和（3）这样用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式.

师：不等式还有其他表示法吗？

师：非常好.那么我们知道的不等式表示数量之间的什么关系呢？

生：一是表示大小关系，如5＞3，-1＜0；二是表示不等关系，如-5≠5.

达成分析：采用学生熟悉的生活情境作为导入内容，然后层层推进，步步设问，环环相扣，直至推出不等式的概念及概念理解中应注意的地方.这样实现了让学生从已有的数学经验出发，从生活中建构数学模型，为后面利用“不等式”这一模型解决生活中实际问题做好铺垫，体现了数学生活化、生活数学化.

师：请同学们尝试完成下面一组问题.并将你的结果在黑板上板书出来和大家分享.

幻灯演示：尝试练习，应用新知：用适当的式子表示下列问题中的数量关系.

（1）-3小于2；

（2）y的2倍大于8；

（3）某数a与2的差小于－1；

生（板书）：（1）-3＜2；（2）2x＞8；（3）a-2＜-1.

师：讲评（略）.

达成分析：巩固练习的作用是让学生用不等式来刻画题中3个简单的数量关系，巩固上面所学的知识，进一步培养学生列不等式能力.学生得出答案并不难，该环节教师深入到学生的解题过程中，观察指导学生的解题思路，注意让学生独立完成，讲评时听学生的评价，使学生再次感知不等式的概念.

师：观察上面的不等式，除你表示出的有关数量关系外，你还有什么发现？

生（思考后）：有些不等式不含未知数，如-3＜2；有些不等式含有未知数，如2x＞8，a-2＜-1.

师：太好了.下面我们就类似研究方程的方法来研究含有未知数的这类不等式.

（1）你能从下列数中找出使不等式成立（或符合条件）的数值吗？这些使不等式成立的值叫什么？

0 5 10 15 20 25

（2）不等式还有其他解吗？若有，有多少？这些解应满足什么条件？

（3）不等式的所有解叫什么？

（4）怎样在数轴上表示不等式的解集？

教师出示问题，学生独立思考并解答，并引导学生共同评价，得出结果.

师（提问）：你找出使不等式成立的数值是哪些？

生：我找出使不等式成立的数值有0、5.

师：你是怎样确定的？

师：与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫什么？

众生：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.

生（思考后回答）：1，2，3，4，－1，－2，－3……无数个.

师（强调）：不等式与方程的区别是不等式的解不止一个.

师：这些解应满足什么条件？能不能用一个比较简捷的式子表示呢？

生2（思考后回答）：x＜10.

师：不等式的这些所有解叫什么？

生：不等式的解集.

师（板书）：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.

师：求不等式的解集的过程叫做解不等式（怎样解不等式，我们将在后面学习）.

达成分析：此环节学生积极按“观察特点——猜想结论——验证猜想”的思路先让学生先行讨论，教师深入小组，仔细倾听学生意见，参与学生讨论，最后师生共同探究.教师根据学生思考情况，做适当地引导、讲解、强调，最后再给出不等式解集定义.

问题3：直接说出下列不等式的解集，并在数轴上表示出来.

（1）2x＜8；（2）x-2＞0.

组织学生有针对性的讨论，讨论要点：

①确定不等式的解集.

②在数轴上确定表示不等式的解集相对应的点.

③参考课文122页的图示9.1-1，理解确定表示不等式解集的射线方向和表示不等式解集的范围？

④理解课文122页框内叙述：“在表示不等式的解集相应的点上画空心圆圈”的含意.

学生按讨论要点进行小组活动，教师巡视并重点关注：学生讨论是否根据讨论要点进行；讨论中学生是否积极展示自己的想法，叙述是否有条理，语言是否准确；学生是否能熟练画出数轴，会用数轴表示解集.

师：多媒体展示学生学习结果，并归纳关于不等式2x＜8的解集.

文字语言：小于4的数；数学式子：x＜4.

数轴表示如图3.

图3

师（概括）：用数轴表示不等式解集的步骤是：

第一步，建立适当的数轴；

第二步，找点：确定表示不等式的解集的相应的点（折射线端点）；

第三步，定向（大于向右，小于向左）；

第四步，当不等号为“＜”或“＞”时，射线端点用圆圈表示.

达成分析：通过问题3组织学生有针对性地讨论，调动学生的学习兴趣，每位学生都动起来，边算、边答、边画、边交流，在数学活动中获取成功的体验机会，主要达成以下几点：

一是较好地完成了本环节主要任务：突出重点和突破难点.通过对学生已有的数学知识进行拓展延伸，解释不等式的解，然后递进到不等式的解集，最后发展到解集的两种表述方法，符合知识发生发展形成过程.

二是实现了学习中正向迁移的作用.虽然解不等式不是本节课教学目标，但问题3的第（1）问的设计意图是想在方程的解与同它对应的不等式的解之间建立一种联系，这样设计充分发挥学习心理学中正向迁移的作用，借助已有的方程知识，可以为学习不等式提供一条学习之路.

三是渗透了数学思想.通过解决问题3，得出不等式的解，再引导学生观察解的特点，探索出解集的两种表示方法（符号表示、数轴表示），培养了学生用估算方法求解集的技能，观察能力和数感，并且渗透了数形结合数学思想.

3.课堂达成，学习评价

课堂练习（投影展示）：

（1）已知下列各数，请将是不等式3x＞5的解的数填到图4的椭圆中.

－4，－2.5，0，1，2，3，4.8，8.

（2）不等式3x＞5的解集是：_________.

（3）在数轴上表示不等式3x＞5的解集，正确的是（ ）.

图4

（4）某班同学经调查发现，1个易拉罐瓶可卖0.1元，1名山区贫困生一学期住校生活费用大约是500元.该班同学计划资助两名山区贫困生一学期生活费用，他们已从自已的零花钱中集资了450元，不足部分准备靠回收易拉罐所得，那么他们一年至少要回收多少个易拉罐？

学生独立练习后同桌互动交流、评价，教师讲评过程略.

达成分析：运用本节所学的知识，解决实际问题，使学生经历将实际问题转化为数学问题，再加以解决的过程，实现对所学知识的巩固和深化.通过对学生熟悉的生活背景进行处理，让学生体会数学生活化，能将实际问题转化为数学问题加以解决，培养学生应用意识.

4.课堂小结，布置作业

问题4：你对不等式及解集有何认识？通过学习有什么感想？

生（甲）：不等式和方程或方程组一样，都是解决实际问题的数学模型.

生（乙）：通过和方程的类比来学习不等式的相关知识.

师：非常好，两位同学都回答得很好，希望同学们做好课后作业，及时巩固，希望你们学习愉快！

作业：教科书 习题9.1 第1、2、3题.

达成分析：通过学习自我反思、交流，引导学生自主完成对本节知识技能和思想方法的小结，多数学生养成“反思”的好习惯，并训练了学生的语言表述能力，不断积累数学活动经验.

三、教学反思与课后思考

本节课，是一节数学概念课，主要体现如下几点：

1.通过问题导学，不等式及解集的概念在问题解决的过程中直白生成

问题是知识和能力的生长点，教学过程也是学生的认知过程.遵循学生的认知规律，有意识、有计划、有条理地设计一些引人入胜的问题，让学生始终处在积极的思维状态.只有学生积极地参与教学活动才能收到良好的效果，才能不知不觉中接受了新知识，分散了难点.本课采用情境启发、问题解决、实例探究、及时评价的教学方法，揭示了知识的发生和形成过程.这种教学方法以“问题解决”为基础，先“提出问题”，后“讲评点拨”，让学生在克服困难与障碍的过程中充分发挥自己的观察力、想像力和思维力，再加上多媒体的运用，使不等式及解集的概念在缓慢的问题解决的过程中直白生成.

2.通过互动交流，不等式及解集的概念在缓慢的探索质疑中踏实生成

让学生主动参与、合作交流，并通过计算、验证、思考，初步体会不等式与方程的区别和联系，突出知识之间的内在联系，即不等式与方程一样，都是反映客观事物变化规律及其关系的模型.教学过程中注重展现知识的来龙去脉，引导学生的思维活动，给学生一条观察事物（情景）、提出问题、分析问题、解决问题的线索，以增强学生的数学活动经验，类比已经学过的方程知识，引导学生自己去探索、发现、甄别，从而得出不等式及解集的意义，使不等式及解集的概念在互动交流，探索质疑中踏实生成.

3.通过激情生趣，不等式及解集的概念在缓慢的讨论思辨中灵动生成

本课设置了现实的问题情境，如天平和母亲节礼品“忘忧草”，讨论思辨这些问题，在课堂教学实施中寻找最适合学生思维水平的最佳出发点，切入点！将数学教学视为一种活动、一种过程、一种支撑注重活动过程的数学教学新型课堂，这种新型课堂可以使学生体会到现实生活中存在着大量的不等关系，不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它也是刻画现实世界中量与量之间关系的有效模型，使不等式及解集的概念在缓慢的讨论思辨中灵动生成.