结合Top－hat变换改善同态滤波的方法

张欣，杜天宇

（河北大学 电子信息工程学院，河北 保定 071002）

光照条件，包括光源的方向、明暗和色彩等都会对采集到的图像产生很大影响，有效克服光照影响是图像处理中不可缺少的环节，也是计算机视觉中尚未有效解决的技术难点之一［1－3］.同态滤波是把频率过滤和灰度变换结合起来的一种图像处理方法，其优点是兼顾了图像的频域和空域，使滤波后的图像既消除了光照不均匀的影响而又不损失图像的细节；缺点是最优滤波参数需要大量实验才能确定，当成像条件发生变化时，选定的最优参数又达不到理想的效果.形态学中开运算能平滑图像的轮廓，消除尺寸较小的亮细节.Top－hat变换定义为图像与图像开运算之差，可以消除背景［4］，突出细节，缺点是会降低图像整体的灰度，以致降低图像的对比度.综上所述，考虑到同态滤波和Top－hat变换的优势与不足，以及两者都可以解决图像背景不匀均、突出细节等共同点，两者结合使用，这样不仅同态滤波提升对比度的优势可以很好地弥补Tophat变换降低对比度的不足，同时Top－hat变换消除背景的作用又有效降低了同态滤波对参数的依赖性，还可以使图像细节更加突出.

本文选取航拍遥感图像为实验对象.使用不同的同态滤波参数处理图像，进行对比，各自经过结构元素相同的Top－hat变换后，再进行对比，根据Matlab仿真的几种客观评价结果，验证了即使同态滤波参数选取有所偏差，再经Top－hat变换改善后，也能得到理想的结果.

1 算法原理

1.1 同态滤波

用f（x，y）二维函数形式表示图像，其值是非零有限的，0＜f（x，y）＜∞.可由2个分量表示：i（x，y）表示入射光（低频分量），r（x，y）表示反射光（高频分量），f（x，y）＝i（x，y）r（x，y）.同态滤波的流程如图1所示.改善同态滤波的主要方法为采用改进的二阶巴特沃斯滤波器［5－8］来优化滤波函数H（u，v），虽然此方法可改善滤波效果，但是对滤波参数的要求同样苛刻，参数选择有所偏差，滤波效果同样不佳.本文选用常规的改进型高斯滤波函数，避免滤波函数的优化对同态滤波的影响，来验证本文中方法的作用.滤波函数为

图像的入射分量i（u，v）通常表示空间域缓慢变化的背景，而反射分量r（u，v）往往表示细节，特别在不同物体的连接部分.这些特性导致图像对数的傅里叶变换后的低频成分与照度相联系，高频成分与反射相联系.所以同态滤波器的传递函数在高频部分应大于1，低频部分应小于1，即rH＞1，rL＜1，这样可以减小低频和增强高频，使得图像整体灰度范围压缩，而对比度增强.其中D（u，v）表示截止频率，D0为u0，v0为0时的D（u，v）的值.D0的选择则与i（x，y）和r（x，y）有关，需要大量实践比较选择合适的值.c为锐化系数，影响rL到rH过渡段的斜率，c越大，斜率越大，反之斜率越小.其中D0，rH，rL，c等4个参数需要尽可能设置最优，否则滤波效果就会不理想.

图1 同态滤波流程Fig.1 Flow chat of Homomorphic filtering

1.2 Top－hat变换

开运算可去除较小的细节，同时相对保持整体的灰度级和较大的明亮区域不变，产生对整个图像背景的合理估计，故Top－hat变换可消除背景，突出细节.令f 表示灰度图像，S 为结构元素.对于灰度图像而言，S（x，y）是二维函数，其定义域指明了结构元素的形状，函数值指明了结构元素的高度信息.本文使用平坦（高度为0）的结构元素，这种结构元素只由0和1组成，为1的区域指明了运算涉及的范围［9］.

灰度开运算

Top－hat变换

2 实验及对比分析

2.1 同态滤波参数选取

同态滤波参数选取的方法一般是：首先根据参考值选取滤波参数，其次根据客观实验数据评价所选参数，再根据D0，rH，rL，c的作用调整所选参数，反复上述步骤，经过几次或多次调整，最后得到合适的滤波参数.根据文献［10］略作调整，选取D0，rH，rL，c不尽相同的5组数据如表1所示.

表1 同态滤波参数Tab.1 Homomorphic filtering parameters

按照表1所列参数经同态滤波后图像效果如图2所示.

图2 采用不同滤波参数经同态滤波后的图像Fig.2 Image by homomorphic filtering with different parameters

图2a为原图，对比各图发现：D0偏小，则有些入射分量无法衰减，同时rH＞1，这些分量还会加强，不能很好地解决图像背景不均匀的问题，由图像三维可视化效果图4c可以很直观的说明图2c这一现象.D0偏大，背景衰减严重，图像对比度不高.c值偏小，会使背景衰减严重，不能很好地提升图像的对比度，如图2d所示.c值偏大，会使图像变得不够平滑.当rH，rL较高时，入射分量衰减小，反射分量提升大，图像的整体灰度较高，如图2b，c所示.当rH，rL较低时，入射分量衰减大，反射分量提升小，图像的整体灰度较低，如图2e，f所示.图像成像时，其入射分量的灰度值要比反射分量的灰度值高，背景衰减小的图像要比背景衰减大的图像灰度值高，故图2c比图2b灰度值高，图2e比图2f灰度值高.图2各图的效果验证了同态滤波参数选择对滤波效果的决定作用，而且同态滤波各参数相互影响作用，想要找到一个理想的平衡点，有效地解决图像背景不均匀的问题，开销很大.由于Top－hat变换和同态滤波都有平滑背景、突出细节的作用，而且Top－hat变换的参数选择要比同态滤波简便.因此，在进行1次同态滤波的基础上再进行1次Top－hat变换，这样既能改善同态滤波的效果，又能降低同态滤波对参数的依赖性.

2.2 Top－hat变换结构元素选取

由形态学运算原理可知，结构元素S的选择，是腐蚀和膨胀操作的关键因素，其形状、大小和方向直接影响处理结果.若结构元素选值较小，其尺寸小于想要突出的细节，则Top－hat变换后细节不能很好的突出，且会出现类似结构元素的噪声，若结构元素选值较大，其尺寸大于或与背景尺寸相当，则Top－hat变换后不能有效地消除背景.观察原图，图中想要突出的细节为方形的房屋，且排列成一定的角度.在实验中发现，圆形结构元素可以很好地包含大小相近、形状和角度各异的细节，故实验中选择高度为0，半径为40像素的圆形结构元素，对图2各图像进行Top－hat变换，结果如图3所示.

图3 Top－hat变换后的图像Fig.3 Image by Top－hat transformation

对比图3b－f，可以看到，尽管同态滤波参数选择不尽相同，但再经过Top－hat变换后，效果却很相近，细节比只使用同态滤波更为突出.对原图直接进行Top－hat变换的效果如图3a所示，较低的对比度说明仅对图像进行Top－hat变换处理，不如本文方法效果好.

3 图像质量的客观评价

使用图像三维可视化效果、均值、标准差、信息熵、图像对比度值客观评价处理后的图像，进一步验证本文方法的有效性.

3.1 图像三维可视化效果

以表1中第2组数据为例给出本文方法各阶段图像的三维可视化效果图.横轴表示图像各像素点，纵轴表示各像素点对应的灰度值.观察图4a可以发现，原图的峰谷差小表示对比度不高，谷不位于一个平面上表示背景不均匀.图4b是非理想参数下同态滤波的图像效果，峰谷差增加表示对比度提高，但是谷仍不平坦，说明背景不均匀问题没有得到有效解决.图4c表示经Top－hat变换改进后的同态滤波图像效果，图像的峰谷差与图4b图持平，谷基本在一个平面上，这样不仅解决了背景不匀均的问题，也使对比度得到了增加.

图4 三维可视化效果Fig.4 Three dimensional visualization effect of image

3.2 图像的均值、标准差、信息熵、对比度

图像的均值m 主要反映了图像像素的集中趋势.图像像素的标准差std 主要反映了图像灰度相对于灰度均值的离散程度，反映了图像的细节信息，该值越大，渐变层次就越多，细节表现越丰富.熵I［g（x，y）］是信息量的度量，图像的熵越大，信息量越大，图像细节越丰富［11－12］.

一般情况下，图像对比度值CT 大的图像要比小的图像具有更高的清晰度.对比度的计算公式为

其中，δ（i，j）＝│i－j│即相邻像素间灰度差的绝对值；Pδ（i，j）是灰度差绝对值为δ的像素点分布概率（像素相邻可以是四邻域或八邻域），本文按照四邻域计算［13］.

表2 各图的均值、标准差、信息熵、对比度Tab.2 Mean value，standard deviation，entropy and contrast value of each image

表2中图3b－f是采用本文方法处理图像的计算结果，较之传统的同态滤波和Top－hat变换，信息熵逐步提高，比原图增加了46%，更有效地表现了图像丰富的细节；标准差是原图的5～6倍，图像的层次感更强、细节更加突出；对比度是原图的8～10倍，说明图像更加清晰；均值明显减小，说明入射分量得到有效衰减，图像背景不均匀的问题得到改善.

4 结论

使用Top－hat变换改善同态滤波，弱化了同态滤波中参数选择不当的影响，降低了解决图像背景不均匀问题的难度.本文中的方法仍需要选择一个合适的结构元素，细节特征的大小、形状、方向不尽相同，如何准确选取Top－hat变换的结构元素，能否根据图像信息自适应选择理想的结构元素是本文下一步工作重心所在.

［1］ YUAN Qiping，YANG Xiaoping，GAO Lijuan，et al.Color image single－channel encryption based on tricolor grating theory［J］.Optoelectronics Letters，2009，5（2）：147－149.

［2］ HANMANDLU M，JHA D.An optimal fuzzy system for color image enhancement［J］.IEEE Transactions on Image Processing，2006，15（10）：2956－2966.

［3］ 梁晓辉，游志胜.自适应的彩色图像光照补偿新方法［J］.光电工程，2006，33（2）：94－97.LIANG Xiaohui，YOU Zhisheng.Self－adaptive illumination compensation method for color images［J］.Opto－Electronic Engineering，2006，33（2）：94－97.

［4］ 陈箫枫，潘保昌，郑胜林，等.用顶帽变换估计并消除图像背景［J］.微计算机信息，2008，24（3－3）：310－311.CHEN Xiaofeng，PAN Baochang，ZHENG Shenglin，et al.Estimate and eliminate background of image with Top－hat transformation［J］.Microcomputer Information，2008，24（3－3）：310－311.

［5］ 沈文水，周新志.基于同态滤波的遥感薄云去除算法［J］.强激光与粒子束，2010，1：45－48.

［6］ 张金泉，杨进华，王晓坤.图像烟雾弱化方法研究［J］.中国图象图形学报，2010，15（12）：1733－1737.ZHANG Jinquan，YANG Jinhua，WANG Xiaokun.Research on the weakening of smoke in images［J］.Journal of Image and Graphics，2010，15（12）：1733－1737.

［7］ 朱锡芳，吴峰，陶纯堪.基于小波阈值理论的光学图像去云处理新算法［J］.光子学报，2009，38（12）：3312－3317.

［8］ VOICU L I，MYLER H R，WEEKS A R.Practical considerations on color image enhancement using homomorphic filtering［J］.Journal of Electronic Imaging，1997，6（1）：108－113.

［9］ 张铮，倪红霞，苑春苗，等.精通Matlab数字图像处理与识别［M］.北京：人民邮电出版社，2013：244－250.

［10］ GONZALEZ RC，WOODS R E.数字图像处理［M］.阮秋琦，阮宇智，译.2版.北京：电子工出版社，2007：152－154.GONZALEZ RC，WOODS R E.Digital Image Processing［M］.RUAN Qiuqi，RUAN Yuzhi，translated.2nd ed.Beijing：China Machine Press，2007：152－154.

［11］ 范有臣，李迎春，韩意，等.提升小波的同态滤波在图像烟雾弱化中的应用［J］.中国图象图形学报，2012，17（5）：635－640.FAN Youchen，LI Yingchun，HAN Yi，et al.Weakening of smoke for homomorphic filtering［J］.Journal of Image and Graphics，2012，17（5）：635－640.

［12］ 韩丽娜.基于统计特性的路面图像光照不均匀校正算法［J］.科学技术与工程，2013，13（26）：7875－7879.HAN Lina.The algorithm of correcting uneven illumination pavement image based on statistical properties［J］.Science Technology and Engineering，2013，13（26）：7875－7879.

［13］ 李庆忠，葛中峰.基于水下光照不匀均成像模型的图像清晰化算法［J］.光电子· 激光，2011，22（12）：1862－1866.LI Qingzhong，GE Zhongfeng.A visibility improving algorithm based on underwater imaging model with non－uniform illumination［J］.Journal of Optoelectronics·Laser，2011，22（12）：1862－1866.