谈数学解题的途径

薄三德

数学习题类型繁多、技巧灵活，不可能总结出一套普遍适用的解题法则，可它毕竟还是存在着某些规律，现就中学数学中常见的解题方法做一归纳。

1.用观察法解题

解任何数学题的第一步都是审题。而有些题目经全面观察之后，就可发现其特点，一旦抓住了这些特点，就可以使问题大大简化或纳入一种熟悉的模式，再不必去做繁杂的计算或论证。

例1：解方程（2+3+2-3）x=

6。

分析：我们注意到（2+3+

2-3）2=6，所以就想到了两边同时

平方的解法。这样就避免了采用两边取对数解题所带来的困难。

解：原方程两边平方，得[（2+3

+2-3）2]x=62，即6x=62，所以x=2。

2.将已知的条件变形以利于解题

在有些题目中，给定的条件不便于直接应用，而当留意到结论时将已知条件做某种变形后，就会使问题迎刃而解。

例2：设x2+x+1=0，求x14+x-14的值。

分析：方程x2+x+1=0无实根，估计求出x后再计算x14也不容易。但容易看出

（x-1）（x2+x+1）=x3-1=0，即x3=1，应用这一条件去计算或者容易一些。

解：x14+x-14=（x3）4x2+（x3）-5+x=x2+x=-1.

3.将结论或欲求解的对象变形以便于解题

有些题目从表面上看来，似乎难以一下子用上已知条件，而当把结论或欲求解的对象做适当变形后，就可以明显看到结论或欲求的对象与已知条件之间的关系，从而使问题获解。分析法就属于此类。

例3：如果A、B都是锐角且（1+tan A）（1+tan B）=2，全角求证：A+B=

π4。

分析：联系到已知条件，发现需将结论变形，证明tan（A+B）=1即可。

证明：tan（A+B）=tan A+tan B1-tan Atan B，

由（1+tan A）（1+tan B）=2，求得tan A=

1-tan B1+tan B，代入上式即得tan（A+B）=

1。证毕。

4.把已知条件和结论或欲求解的对象都进行变形

有些题目既不容易从已知条件推证到结论，也不容易从结论倒推至已知条件。但却可以把两者都进行变形，变至一个共同相关的形势，使之发生联系，促成问题解决。

例4：已知x≠0，x+1x=1，证明：x4+1x4=-1。

分析：由x+1x=1中解出再去证明，估计比较繁琐。已知条件相当于x2-x+1=0，而所求证者可变为x8+x4+1=0。然后加以证明。

证明：通过已知条件得x2-x+1=0，欲证x4+1x4=-1，只需证x8+x4+1=0。

而x8+x4+1=（x8+2x4+1）-x4=（x4+1）2-x4=（x4+x2+1）（x4-x2+1）=

[（x4+2x2+1）-x2]（x4-x2+1）=（x2-x+1）（x2+x+1）（x4-x2+1）=0。证毕。

5.用“一般”指导“特殊”

按理来说，当问题在一般情形下的解答已经掌握，那么，特殊情形下的解答就应该是很容易的了。然而有时一个问题摆在面前，若不注意观察和思考，并不容易发现它是什么定理或公式的特殊情形，致使头绪茫然，无从下笔。如果经过分析发现是某一般原理的特殊情形，问题就迎刃而解了。

例5：求（x+3y）（3x+y）（x+y）2展开式中各项系数之和。

分析：实际将式子展开后再把各项系数相加，计算量较大。如果相乘的因式再多一些，这一方法将会遇到很大的困难。设想已将原式展开，系数是A、B、…E，而A+B+…+E只不过是当取值为1时原式的一个特殊值。

解：所求系数之和是（1+3）（3+1）（1+1）2=64。

6.从“特殊”中发现“一般”

当一个问题无从下手时，我们不妨先考察一下这个问题的特殊情况。当特殊情况获得了解决办法时，往往会对一般情况下的解决有所启示。一般属于特殊之中，这种做法是符合认识过程的。

例6：七人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人要相邻，该有多少种排法？

分析：甲、乙、丙三人要相邻，不妨先把甲、乙、丙作为一个人来考虑，就是先不考虑他们三人的站位顺序，把这种特殊情况解决后再考虑一般情况。

解：若不计甲、乙、丙三人的站位顺序，即相当于五人照相共有5！=120种排法。而甲、乙、丙三人又有3！=6种排法，所以共有120×6=720种排法。

一个问题摆在面前，不一定非要把它认定为代数问题、几何问题或三角问题，这里没有严格的界限，有时也是分不清的。几何问题不必限定用纯几何的办法去解决，代数问题不必非要用代数方法解决不可。要从实际出发采用简便可行的解法，把所学过的知识作为一个大的系统，各部分之间的配合就可以产生新的功能。endprint

数学习题类型繁多、技巧灵活，不可能总结出一套普遍适用的解题法则，可它毕竟还是存在着某些规律，现就中学数学中常见的解题方法做一归纳。

1.用观察法解题

解任何数学题的第一步都是审题。而有些题目经全面观察之后，就可发现其特点，一旦抓住了这些特点，就可以使问题大大简化或纳入一种熟悉的模式，再不必去做繁杂的计算或论证。

例1：解方程（2+3+2-3）x=

6。

分析：我们注意到（2+3+

2-3）2=6，所以就想到了两边同时

平方的解法。这样就避免了采用两边取对数解题所带来的困难。

解：原方程两边平方，得[（2+3

+2-3）2]x=62，即6x=62，所以x=2。

2.将已知的条件变形以利于解题

在有些题目中，给定的条件不便于直接应用，而当留意到结论时将已知条件做某种变形后，就会使问题迎刃而解。

例2：设x2+x+1=0，求x14+x-14的值。

分析：方程x2+x+1=0无实根，估计求出x后再计算x14也不容易。但容易看出

（x-1）（x2+x+1）=x3-1=0，即x3=1，应用这一条件去计算或者容易一些。

解：x14+x-14=（x3）4x2+（x3）-5+x=x2+x=-1.

3.将结论或欲求解的对象变形以便于解题

有些题目从表面上看来，似乎难以一下子用上已知条件，而当把结论或欲求解的对象做适当变形后，就可以明显看到结论或欲求的对象与已知条件之间的关系，从而使问题获解。分析法就属于此类。

例3：如果A、B都是锐角且（1+tan A）（1+tan B）=2，全角求证：A+B=

π4。

分析：联系到已知条件，发现需将结论变形，证明tan（A+B）=1即可。

证明：tan（A+B）=tan A+tan B1-tan Atan B，

由（1+tan A）（1+tan B）=2，求得tan A=

1-tan B1+tan B，代入上式即得tan（A+B）=

1。证毕。

4.把已知条件和结论或欲求解的对象都进行变形

有些题目既不容易从已知条件推证到结论，也不容易从结论倒推至已知条件。但却可以把两者都进行变形，变至一个共同相关的形势，使之发生联系，促成问题解决。

例4：已知x≠0，x+1x=1，证明：x4+1x4=-1。

分析：由x+1x=1中解出再去证明，估计比较繁琐。已知条件相当于x2-x+1=0，而所求证者可变为x8+x4+1=0。然后加以证明。

证明：通过已知条件得x2-x+1=0，欲证x4+1x4=-1，只需证x8+x4+1=0。

而x8+x4+1=（x8+2x4+1）-x4=（x4+1）2-x4=（x4+x2+1）（x4-x2+1）=

[（x4+2x2+1）-x2]（x4-x2+1）=（x2-x+1）（x2+x+1）（x4-x2+1）=0。证毕。

5.用“一般”指导“特殊”

按理来说，当问题在一般情形下的解答已经掌握，那么，特殊情形下的解答就应该是很容易的了。然而有时一个问题摆在面前，若不注意观察和思考，并不容易发现它是什么定理或公式的特殊情形，致使头绪茫然，无从下笔。如果经过分析发现是某一般原理的特殊情形，问题就迎刃而解了。

例5：求（x+3y）（3x+y）（x+y）2展开式中各项系数之和。

分析：实际将式子展开后再把各项系数相加，计算量较大。如果相乘的因式再多一些，这一方法将会遇到很大的困难。设想已将原式展开，系数是A、B、…E，而A+B+…+E只不过是当取值为1时原式的一个特殊值。

解：所求系数之和是（1+3）（3+1）（1+1）2=64。

6.从“特殊”中发现“一般”

当一个问题无从下手时，我们不妨先考察一下这个问题的特殊情况。当特殊情况获得了解决办法时，往往会对一般情况下的解决有所启示。一般属于特殊之中，这种做法是符合认识过程的。

例6：七人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人要相邻，该有多少种排法？

分析：甲、乙、丙三人要相邻，不妨先把甲、乙、丙作为一个人来考虑，就是先不考虑他们三人的站位顺序，把这种特殊情况解决后再考虑一般情况。

解：若不计甲、乙、丙三人的站位顺序，即相当于五人照相共有5！=120种排法。而甲、乙、丙三人又有3！=6种排法，所以共有120×6=720种排法。

一个问题摆在面前，不一定非要把它认定为代数问题、几何问题或三角问题，这里没有严格的界限，有时也是分不清的。几何问题不必限定用纯几何的办法去解决，代数问题不必非要用代数方法解决不可。要从实际出发采用简便可行的解法，把所学过的知识作为一个大的系统，各部分之间的配合就可以产生新的功能。endprint

数学习题类型繁多、技巧灵活，不可能总结出一套普遍适用的解题法则，可它毕竟还是存在着某些规律，现就中学数学中常见的解题方法做一归纳。

1.用观察法解题

解任何数学题的第一步都是审题。而有些题目经全面观察之后，就可发现其特点，一旦抓住了这些特点，就可以使问题大大简化或纳入一种熟悉的模式，再不必去做繁杂的计算或论证。

例1：解方程（2+3+2-3）x=

6。

分析：我们注意到（2+3+

2-3）2=6，所以就想到了两边同时

平方的解法。这样就避免了采用两边取对数解题所带来的困难。

解：原方程两边平方，得[（2+3

+2-3）2]x=62，即6x=62，所以x=2。

2.将已知的条件变形以利于解题

在有些题目中，给定的条件不便于直接应用，而当留意到结论时将已知条件做某种变形后，就会使问题迎刃而解。

例2：设x2+x+1=0，求x14+x-14的值。

分析：方程x2+x+1=0无实根，估计求出x后再计算x14也不容易。但容易看出

（x-1）（x2+x+1）=x3-1=0，即x3=1，应用这一条件去计算或者容易一些。

解：x14+x-14=（x3）4x2+（x3）-5+x=x2+x=-1.

3.将结论或欲求解的对象变形以便于解题

有些题目从表面上看来，似乎难以一下子用上已知条件，而当把结论或欲求解的对象做适当变形后，就可以明显看到结论或欲求的对象与已知条件之间的关系，从而使问题获解。分析法就属于此类。

例3：如果A、B都是锐角且（1+tan A）（1+tan B）=2，全角求证：A+B=

π4。

分析：联系到已知条件，发现需将结论变形，证明tan（A+B）=1即可。

证明：tan（A+B）=tan A+tan B1-tan Atan B，

由（1+tan A）（1+tan B）=2，求得tan A=

1-tan B1+tan B，代入上式即得tan（A+B）=

1。证毕。

4.把已知条件和结论或欲求解的对象都进行变形

有些题目既不容易从已知条件推证到结论，也不容易从结论倒推至已知条件。但却可以把两者都进行变形，变至一个共同相关的形势，使之发生联系，促成问题解决。

例4：已知x≠0，x+1x=1，证明：x4+1x4=-1。

分析：由x+1x=1中解出再去证明，估计比较繁琐。已知条件相当于x2-x+1=0，而所求证者可变为x8+x4+1=0。然后加以证明。

证明：通过已知条件得x2-x+1=0，欲证x4+1x4=-1，只需证x8+x4+1=0。

而x8+x4+1=（x8+2x4+1）-x4=（x4+1）2-x4=（x4+x2+1）（x4-x2+1）=

[（x4+2x2+1）-x2]（x4-x2+1）=（x2-x+1）（x2+x+1）（x4-x2+1）=0。证毕。

5.用“一般”指导“特殊”

按理来说，当问题在一般情形下的解答已经掌握，那么，特殊情形下的解答就应该是很容易的了。然而有时一个问题摆在面前，若不注意观察和思考，并不容易发现它是什么定理或公式的特殊情形，致使头绪茫然，无从下笔。如果经过分析发现是某一般原理的特殊情形，问题就迎刃而解了。

例5：求（x+3y）（3x+y）（x+y）2展开式中各项系数之和。

分析：实际将式子展开后再把各项系数相加，计算量较大。如果相乘的因式再多一些，这一方法将会遇到很大的困难。设想已将原式展开，系数是A、B、…E，而A+B+…+E只不过是当取值为1时原式的一个特殊值。

解：所求系数之和是（1+3）（3+1）（1+1）2=64。

6.从“特殊”中发现“一般”

当一个问题无从下手时，我们不妨先考察一下这个问题的特殊情况。当特殊情况获得了解决办法时，往往会对一般情况下的解决有所启示。一般属于特殊之中，这种做法是符合认识过程的。

例6：七人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人要相邻，该有多少种排法？

分析：甲、乙、丙三人要相邻，不妨先把甲、乙、丙作为一个人来考虑，就是先不考虑他们三人的站位顺序，把这种特殊情况解决后再考虑一般情况。

解：若不计甲、乙、丙三人的站位顺序，即相当于五人照相共有5！=120种排法。而甲、乙、丙三人又有3！=6种排法，所以共有120×6=720种排法。

一个问题摆在面前，不一定非要把它认定为代数问题、几何问题或三角问题，这里没有严格的界限，有时也是分不清的。几何问题不必限定用纯几何的办法去解决，代数问题不必非要用代数方法解决不可。要从实际出发采用简便可行的解法，把所学过的知识作为一个大的系统，各部分之间的配合就可以产生新的功能。endprint