初中数学开放型习题的编制与教学实践研究

陈丽

摘 要： 对于初中数学学科来说，其开放型习题的编制与教学研究是至关重要的，是近几年中考命题的热点之一。为了培养学生数学能力，必须学会以客观的视角审视其发展中的不足之处。本文就初中数学开放型习题编制中的不足，对其开放型习题的特征、功能、编制原则、开放型习题编制的常见策略及对初中数学开放型习题常见教学策略进行探讨。

关键词： 初中数学教学 开放型习题 编制 教学实践

“数学”是一门能够锻炼学生学习能力，培养学生素质的学科。随着我国教育的不断改革，对初中数学的开放型习题的编制和教学都有了新的要求。让数学开放型习题不断推进学校对学生的素质教育，成为培养学生自主创新能力的有效途径。那么在教材还没有提供足够的开放型习题之前，如何得到更多更好的开放型习题是教师在教学过程中碰到的一个实际问题。

数学开放型习题编制的可行性方案很多。笔者认为无论是改造陈题还是自编创新题，编制数学开放题都要围绕使用开放型习题的目的进行，开放型习题应当随着使用目的和对象的变化而改变，作为常规问题的补充。适合学生研究性学习的开放型习题应具备起点低、入口宽、可拓展性强的特点。下面我谈谈看法与体会。

一、开放型习题的特征

所谓开放型习题，是指那些条件不完整、结论不确定的试题，其显著的特征是答案的多样性和多层性。它的表现形式主要有三种：条件的开放、结论的开放、解题方法的开放。我认为开放型习题综合性强，解题方法灵活多变，结果往往具有开放性，因而对思维的灵活性、发散性有较高的要求，能够有效考查学生的数学能力和创新能力。因此它是近几年中考命题的热点之一。我们可以通过观察、比较、分析、综合甚至猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、模拟、联想构建模型等推理手段，得出正确的结论。

二、开放型习题的功能

美国加利福尼亚州教育部于1989年指出了开放型习题的五个功能：为学生提供了自己进行思考并用他们自己的数学观表达的机会，这和他们的数学发展是一致的；要求构建他们自己的反映，而不是选择一个简单的答案；允许学生表达他们对问题的深层次理解，这在多项选择中是无法做到的；鼓励学生用不同的方法解决问题，反过来提示老师用不同的方法解释数学概念；开放型习题的模式是数学课堂教学的基本成分。

笔者经过教学试验和理论研究，认为数学开放题有以下作用：所提的问题常常是不确定的和一般性的，其背景情况也是用一般词语描述的，主体必须收集其他必要的信息，才能着手解答；没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索；在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般、更有概括性的结论；常常通过实际问题的提出，主体必须用数学语言将其数学化，也就是建立数学模型；能激起多数学生的好奇心，每一个学生都可以参与解答过程，而不管他属于何种程度和水平；教师难以用注入式进行教学，学生能自然地主动参与，教师在解题过程中的角色是示范者、启发者、鼓励者、合作者。

三、开放型习题编制的基本原则

1.科学性原则。

试题作为帮助学生提高能力、巩固知识的工具，受到了广泛关注，然而，对于一份合格的试题来说，其科学性的编制是非常重要的，这在一定程度上可以提高所编制的试题质量，所以在编制开放性试题的时候，相关的编制人员要做到：

（1）把握好出题的范围

由于试题的目的是让学生更好地巩固数学课本中的知识，因此出题人一定要正确审视试题的地位，在出题过程中不能以自我为中心。出题人一定要结合学生所学数学课本中的内容，把数学课本中的要求作为出题的基本依据，使试题的内容能够正确体现数学教学中的核心内容。

（2）保证试题的准确度

作为学生重点选择的辅导材料，初中数学开放型习题的编制人员一定要有强烈的责任感，保证试题质量。在出题过程中，一定要专心，避免错误的出现，比如语言表达的歧义，错别字的出现，或者题目条件不完整。为了有效避免这一现象的出现，应该加强其中的监督环节，或者制定相关的措施，提高编写人员的责任感，在撰写过程中仔细认真。

2.开放性原则。

由于中国教育事业的不断发展，初中数学开放型习题的编制人员在实践中渐渐发现传统的试题模式已经不再适用于当前学生的学习，因此将试题逐渐向开放型出题方向靠拢。由于初中开放型试题具有答案不唯一的特点，在一定程度上可以提高学生学习数学的自主创新能力，帮助学生不断陷入深深思考中，不断寻求新的解决问题的途径。那么在编制题目的过程中，必然要以开放型习题为主。在习题编写过程中，遵循开放性的原则是很重要的。

3.适切性原则。

由于学生在学习过程中水平并不是一样的，因此对于初中数学开放型习题的编制人员来说，一定要充分考虑学生的学习特点，对开放型习题进行一个难易梯度的分布排版。这样一来，学生就感觉题目具有一定的趣味性，从而更主动地深入思考问题，运用发散性思维，寻找不同的解题思路，遵循适度、贴切的编制原则可以有效帮助学生更好地学习初中数学知识。

四、开放型习题编制的策略

1.从封闭题出发引申出开放题。

我们平时所用习题大多具有完备的条件和确定的答案，故被称为封闭题——常规题，在原有封闭性问题基础上，使学生的思维向纵深发展，发散开去，能够启发学生有独创性的理解，就有可能形成开放题。在研究性学习中首先呈现给学生封闭题，解答完之后，进一步引导学生进行探究，如探究更一般的结论，探究更多的情形，或探究该结论成立的其他条件，等等。如对于八下《5.1多边形1》中四边形内角和定理的教学，我首先让学生在一张纸上任意画一个四边形，剪下它的四个角，把它们拼在一起（四个角的顶点重合）。或让学生利用拼图的方法（如图），通过实验、观察、猜想得到：四边形的内角和为360°。

2.以某一典型例、习题为背景编制开放题。

以某一典型例、习题为背景编制开放题可以加深学生对例、习题的理解，提高学生分析问题、解决问题的能力。以八年级数学下册课本P39例3为原形可编制如下的开放题：有一块边长为a的正方形铁皮，计划制成一个有盖的长方体铁盒，使得盒盖与相对的盒底都是正方形。如图（1）、（2）给出了两种不同的裁剪方案（其中实线是剪开的线迹，虚线是折叠的线迹，阴影部分是余斜），问哪一种方案制成的铁盒体积更大些？说明理由。（接缝的地方忽略不计）

这是以杨辉三角形类似的性质为知识依托编制出的开放题，学生在解答该题的过程中出现了许多有创见的方法，显示出开放题在培养学生思维的灵活性、发散性和深刻性方面具有独特的优势，可以使学生树立学好数学的信心。

4.以某一数学概念、定理、公理为依据，编制开放题。

在美国国家科学教育标准中，探究也指学习过程。它是一种积极的学习过程——“学生去做的事，而不是为他们做好的事”。换句话说，就是让学生自己思考怎么做甚至做什么，而不是让学生接受教师思考好的现成的结论。数学中的定理、公理等是数学学习的重要内容，围绕定理、公理等我们可以设计适当的开放性问题，让学生进行探究，通过自己的努力发现一般规律，体验研究的乐趣。如在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是？摇 ？摇。

我们以平行四边形的判定为依托编制数学开放题，通过上述开放问题的研究，师生合作交流，共同探究发现了平行四边形的判定定理。从而让学生经历了数学“再创造”的过程，培养了学生的探究能力。

5.以体现或重现某一数学研究方法而编制开放题。

数学家的研究方法蕴涵深刻的数学思想，在数学研究性学习中让学生亲身体验数学家的某些研究，做小科学家，点燃埋藏在学生心灵深处的智慧火种。以此为着眼点编制开放题，其教育价值更是不言而喻的。

在概率论发展史上，对频率稳定性的研究占有一定的篇幅，在学生学习概率统计内容时，让学生设计验证频率稳定性的试验，亲自体验概率的统计含义，了解概率统计对随机现象统计规律进行归纳研究的方法。如编制开放题“硬币落地问题”：全班38人每人掷硬币10次的游戏，问：每个人正面朝上的概率及全班同学正面朝上的概率。

这样的问题从理论上可以保证答案的无限性，解题者可以尽情地发挥聪明才智，探究问题中蕴含的内在规律，用于教学是极好的问题材料。从考生的解答中我们看到思维的多向性，如果在研究性学习中使用并允许学生相互讨论、相互补充，解答将会更多更精彩。

6.以实际问题为背景，体现数学的应用价值编制开放题。

以实际问题为背景，编制出设计类型的开放题，用于研究性学习，可以培养学生的创新精神和实践能力。如第17届国际数学教育心理会议的公开课问题：“在一块矩形地块上，欲辟出一部分作为花坛，要使花坛的面积为矩形面积的一半，请给出你的设计。”这是一道公认的开放题，花圃的图案形状没有规定性的要求，解题者可以进行丰富想象，充分展示几何图形的应用，这种以实际问题为背景编制的开放题往往有趣而富有吸引力。

将数学开放题作为数学学习的一种载体，首先必须有适合的问题。在教育教学实践中，只要我们能够大胆创新，勇于探索，不落窠臼，数学开放题将会不断涌现，必将促使充满活力和创造力的学生积极参与，也必将成为研究性学习的重要载体。

五、开放型习题常见教学策略

由于初中数学开放型习题是初中数学教育的一种新的教学题型，在中考中备受欢迎，因此受到了社会的广泛关注。在日常教育教学中，如果授课老师能够将开放型习题带入课堂，那么不仅会提高学生学习数学的趣味性，而且会不断地激发学生学习数学的热情，提高学生的思维能力、创新能力、探究能力。

1.改革数学课堂，参与上变被动为主动。

（1）激趣：让学生乐于接受开放题

兴趣是最好的老师，只有学生对开放性的数学题型感兴趣，才能够投身于数学学习过程中。由于开放性的题型并没有固定的答案，需要学生充分地发散思维，进行多种方式的解答，因此，首先要让学生对数学开放习题有一个正确的认识。初中数学老师可以在上课之前筛选一些具有开放性的题目，上课的时候将题目展示给学生，让学生独立思考之后，进行小组合作学习。在讨论交流的过程中，每个学生把自己的解题思路讲给组内人员听，小组长记录，之后老师让各组代表上讲台前阐释本组的答案，让其他小组的人员进行补充及评价。实践证明，这样的授课方式会极大地激发学生解答数学开放性问题的兴趣和热情。当然，在此过程中，初中数学老师一定要多鼓励学生，不要急于断定学生在解答过程中的错误，给学生学习的勇气和信心。这样，学生就会在学习中保持积极乐观的学习态度，从而乐于探究数学开放性题。

（2）铺阶：让学生主动探究开放题

由于不同年级的学生接受题目难度的程度不同，因此不同年级的数学教学老师一定要把握好“循序渐进”的教学原则。

八年级的学生对开放型习题有了一定的了解，老师在教学过程中应该逐渐给学生增加难度，增加新类型的开放型习题。如在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个什么条件（填上你认为正确的一个答案即可）。这类题目可以发散学生的思维，思考题目的各种可能性，从而激发学生的探索欲。但是由于这类题目在七年级就有所涉及，因此学生可能感觉不到新颖，因此数学教师要紧紧抓住学生喜欢自我挑战的心理，添加一些比较新颖又有一定难度的题目。

2.改变题型结构，形式上变单一为多样。

参考文献：

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