关于整函数超级的进一步结果

丁杰,戚建明,朱泰英

(1.太原理工大学数学学院,山西太原030024;2.上海电机学院数理教学部上海201306)

关于整函数超级的进一步结果

丁杰1,戚建明2,朱泰英2

(1.太原理工大学数学学院,山西太原030024;2.上海电机学院数理教学部上海201306)

运用正规族理论研究了整函数与其高阶导数分担无穷级函数增长级与超级的相关结果.从亚纯函数超级大于零而使球面导数无界的角度出发,然后综合运用Pang-Zaclman引理,数学归纳法和Nevanlinna理论等方法证明了该结果,推广和改进了已有的结果.

亚纯函数;正规族;增长级;超级

1 引言与主要结果

设C为整个复平面.设D为C上的一区域并且F为D上的一族亚纯函数.如果F在D上正规,以Montel的定义,当且仅当任给{fn}⊂F,有一子序列{fnj}在D上按球面距离局部一致收敛于一亚纯函数或者∞(见文献[1-2]).

设f(z)和g(z)为复平面C上的两个非常数的亚纯函数并且设P(z)为一函数或者一有穷复数.如果f(z)−P(z)=0能推出g(z)−P(z)=0,记f(z)=P(z)⇒g(z)=P(z).如果f(z)=P(z)⇒g(z)=P(z)且g(z)=P(z)⇒f(z)=P(z),记f(z)=P(z)⇔g(z)=P(z)并且称f(z)和g(z)分担P(z)IM(不计重数).如果f(z)−P(z)和g(z)−P(z)有相同的零点和相同的重数,记f(z)=P(z)⇋g(z)=P(z),并且称f(z)和g(z)分担P(z)CM(计重数)(参见文献[3]).另外,用符号ρ(f),σ(f)分别记函数f(z)的级和超级,这里

另外假定读者熟悉Nevanlinna理论的标准记号.

1982年,文献[4]研究了微分方程的解并且得到如下的结果:

定理A设A(z)为一次数为n的非常数的多项式,并且设=0两个线性无关的解.则至少f1和f2中的某一个的零点收敛指数为

此后,微分方程解的级和超级成为很多学者研究的热点问题[5-6].

2008年,文献[7]得到了如下结果:

定理B设Q1和Q2为两个非零多项式,并且设P为一多项式.如果f是下面方程的一非常数解:

则σ(f)=n,这里n记为P的次数.

众所周知微分方程与亚纯函数分担值问题密切相关,因此在亚纯函数分担值的问题下研究亚纯函数级与超级的关系应该是比较有趣的问题.

2009年,文献[8]得到如下结果:

定理C设f为一非常数的亚纯函数,有有穷多个极点,并且设Q1,Q2(̸=Q1)为两多项式.如果

f(z)=Q1⇒f′(z)=Q1且f(z)=Q2⇒f′(z)=Q2,

则f是有穷级.

从定理C看出f和f′分担有穷级函数.自然的问可否分担无穷级函数?

最近,文献[9]研究了如上的问题得到了如下结果:

定理D设Q1̸=0和Q2为两个不同的多项式,设f,γ为两个整函数.如果

f(z)=α(z)⇒f′(z)=α(z)且f(z)=β(z)⇒f′(z)=β(z),

这里α=Q1eγ,β=Q2eγ,并且α−α′或者β−α′有至多有限多个零点,则σ(f)≤σ(α)=ρ(γ).

在定理D中,可否研究更高阶的导数f(k)?

研究这个问题并得到如下结果:

定理1.1设Q1̸=0和Q2为两个不同的多项式,设f,γ为两个整函数.如果

f(z)=α(z)⇒f(k)(z)=α(z)且f(z)=β(z)⇒f′(z)=β(z),

且f−α的零点重数至少为k(k为一大于等于2的自然数),这里α=Q1eγ,β=Q2eγ,则σ(f)≤σ(α)=ρ(γ).

2 引理

为了证明本文的结果,需要如下引理.

著名的Pang-Zalcman引理是研究正规族的一个重要的工具,

引理2.1[10-11]设F为单位圆盘△上的一族亚纯函数并且对每一个f∈F,所有零点的重数至少是k.假定存在一数A≥1满足当任意的f∈F的零点z处有|f(k)(z)|≤A.如果F不在∆上正规,则对0≤α≤k,存在:

1.一数r∈(0,1);2.一列复数zn,|zn|

注2.1在引理2.1中,特别地,g的级至多是2.而且取wn和ρn,有

这里,M是一与n无关的常数,一般情形,

是球形导数.对0≤α

引理2.2[9]设f为一超级为σ(f)>0的亚纯函数.则对于任何σ>0,则存在一序列zn→∞(n→∞),满足

3 定理的证明

证明记α=Q1eγ,因此σ(α)=ρ(γ).因此仅需得到σ(f)≤ρ(γ).运用反证法,假定σ(f)=d>c=ρ(γ).取H=f−α.则

(I)

H(z)=0⇒H(k)(z)=α(z)−α(k)(z);

(II)

H(z)=β(z)−α(z)⇒H′(z)=β(z)−α′(z).

记P=β−α有至多有限多个零点,则存在一正数r,满足F在D={z:|z|>r}上无极点.

当n→∞时,wn→∞,不失一般性,假定对所有的n有|wn|≥r+1.定义:则每个Fn都在D1上解析且当n→∞时,F♯n(0)→∞n→∞.由Marty′s定则得到(Fn)n不在z=0处正规.

因此,运用引理2.1,选择一合适的子序列(Fn)n,假定存在序列(zn)n和(ρn)n,并且, |zn|

这里M为一正数.

由(1)式有

记P=α−β=Qeγ,这里Q=Q1−Q2是一非零多项式,

从级的定义看出:

从(4)式和(5)式,得到

当n充分大时,有

运用数学归纳法,上面已经证明(7)式对k=1成立,假设当k=s时,(7)式成立,即令

成立.下证结论对k=s+1成立.

从(8)式有

类似于(4)式和(5)式,得到

由此即得(8)式成立.

断言

(1)g(ζ)=0⇒g(k)(ζ)=0且

(2)g(ζ)=1⇒g′(ζ)=0.

假定g(ζ0)=0,则由Hurwitz′s定理这里存在ζn,ζn→ζ0,有(对n充分大)

由假设(I),有

经简单计算得到

这里P(Q,γ)是关于的微分多项式,类似于(4)式,有

则

因此

(1)得证.类似地,可以证明(2).证明了断言.由断言(1)知道g(ζ)的零点重数至少是k+1,由断言(2)知道g(ζ)−1的零点重数至少是2.

运用Nevanlinna第二基本定理,得到

矛盾.

因此σ(f)≤ρ(γ).定理1.1的证明完成了.

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Further results about hyper order of entire functions

Ding Jie1,Qi Jianming2,Zhu Taiying2

(1.Department of Mathematics,Taiyuan University of Technology,Taiyuan030024,China;2.Department of Mathematics and Physics,Shanghai Dianji University,Shanghai201306,China)

In this paper,by means of the normal family theory,we study the growth order and hyper order of some entire functions that share in fi nite order functions with their derivative of higher order.We start from the hyper order whose greater than zero,it leads to spherical derivative unbounded,using the Pang-Zaclman Lemma, mathematical induction and Nevanlinna theory,we prove our result.This result improves and generalizes the obtained results.

meromorphic function,normal family,growth order,hyper order

O174.5

A

1008-5513(2014)01-0021-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.004

2013-12-11.

山西省回国留学人员科研资助项目(2013-045);国家自然科学基金天元青年基金(11326083);

上海市教育委员会科研创新项目(14YZ164);上海市教育委员会青年教师培养资助计划(ZZSDJ12020);上海电机学院重点培育学科(13XKJC01).

丁杰(1986-),博士,讲师,研究方向:复分析.

2010 MSC:30D35