幂零-中心化方法的一个应用

卢勇,高玉斌

(中北大学理学院,山西太原030051)

幂零-中心化方法的一个应用

卢勇,高玉斌

(中北大学理学院,山西太原030051)

试图丰富谱任意符号模式矩阵类.给出了一个新的含有2n个非零元的符号模式矩阵,并运用幂零-中心化方法与幂零-雅可比方法分别研究了该模式的所有母模式是谱任意的.进一步证明了该模式是极小谱任意的.最后比较了两种证明方法的联系与区别.

幂零-中心化;符号模式矩阵;幂零矩阵;谱任意

1 引言

符号模式矩阵定性理论是组合数学研究领域中的一个重要分支.最早研究符号模式矩阵理论是在经济学中.它不仅在数学学科中有着重要的作用,同时,它的一系列研究成果也广泛的应用于经济学、计算机科学、生物学等领域.

元素取自于集合{+,−,0}的一类特殊矩阵叫做符号模式矩阵.B的符号模式矩阵是指给定一个实矩阵B(bij),以bij的符号(记为sgnB)为元素所构成的矩阵.设A是一个n阶符号模式,定义A的定性矩阵类为:设L=(lij)和A=(aij)是两个n阶符号模式,如果当lij̸=0时,aij=lij,则A为L的母模式;反之当aij̸=0时,lij=aij,则A为L的子模式.

设A是一个n阶符号模式,若存在某个正整数k及一个实矩阵B∈Q(A),使得Bk=0,则称A是蕴含幂零的,且称B为指数为k的幂零矩阵.设f(λ)为任意给定的一个首一n次实系数多项式,若在A的定性矩阵类中都能找到一个实矩阵B,使B的特征多项式为f(λ),则称A为谱任意符号模式.A为极小谱任意符号模式是指:若A为谱任意,但A的任意一个真子模式都不是谱任意的.

文献[1]中最早提出了符号模式的谱任意问题,文中作者用幂零-雅可比方法证明了所给符号模式及其所有母模式都是谱任意的.随后文献[2-6]继续加深了对谱任意的研究.符号模式谱任意性质的判定方法主要有两种,一种是构造法,其中文献[5]巧妙的运用了构造法证明了一类奇数阶符号模式矩阵为谱任意的:另一种是幂零-雅可比方法.那么,是否存在其它的判定方法以使得所给符号模式为谱任意的?最近,文献[7-8]给出了一种新的判定方法(即幂零-中心化方法)来证明符号模式及其母模式的是谱任意的.文献[9]给出了两个新的极小谱任意符号模式,并结合了两种方法进行证明.

本文中出现的E◦F为矩阵E和F的Hadamard乘积.即H=E◦F,hij=eijfij,其中{hij∈H,eij∈E,fij∈F,i,j=1,2,···,n}.

2 预备知识

引理1[2]一个n阶符号模式A,假设在A的定性矩阵类中存在某个幂零矩阵B,其中B中至少有n个非零元,记为bi1j1,···,binjn,设X为用变量x1,···,xn替换bi1j1,···,binjn所得到的矩阵.如果X的特征多项式系数关于变量x1,···,xn的雅可比行列式:在幂零点(x1,···,xn)=(bi1j1,···,binjn)处不等于零,那么A的任意一个母模式都是谱任意的.

引理2[78]设A为n阶符号模式矩阵,A中一个幂零实现且指数为n的实矩阵C.如果在C的中心里满足条件M◦CT=0的矩阵M只有零矩阵,那么符号模式矩阵A及其每一个母模式都是谱任意的.

本文讨论下面n阶符号模式A=(aij)n×n(n≥6),

下面将用幂零-雅可比与幂零-中心化方法来证明A是极小谱任意模式.

3 主要结果

定理1当n≥6时,A的所有母模式都是谱任意的.

证明任取实矩阵B∈Q(A),设B有如下形式:

由于幂零-中心化方法需要先找到A的一个幂零矩阵,所以,本文给出两种证明方法.

首先用幂零-雅可比方法来证明A为谱任意的.然后运用幂零-中心化方法结合幂零-雅可比方法中得到的幂零矩阵来证明A为谱任意的.

方法1幂零-雅可比方法.

设

则

将上式第i行的λ倍加到第i+1行,i=1,2,···,n−4,然后再按第3,5,···,n−4,n−3列依次展开得:

因此,

故当ai=−1(i=1,2,···,n−5),an−3=an−2=an−1=时,有α1=α2=···=αn=0.所以符号模式A是蕴含幂零的.又

由引理1知A及其所有母模式都是谱任意的.

方法2幂零-中心化方法

由上面幂零-雅可比的证明过程可知,当ai=−1(i=1,2,···,n−5),段落 true="1">an−3时,C为A的一个幂零实现,且指数为n.设存在矩阵M=(mij)属于C的中心(即满足MC=CM),且下证M只能是零矩阵.设

则由M◦CT=0可得m1i=0(i=1,2,···,n−3,n),mi,i−1=0(i=2,3,···,n), mn−2,n−2=0,m2,n=0,m4,n−1=0.又由于MC=CM,所以MC的第一、二行与CM的第一、二行元素对应相等,故m2,i=0(i=1,2,···,n−3).同时

所以M的第一、二行元素都为零.依此类推可得mij=0(i,j=3,···,n),因此M=0.即满足MC=CM且M◦CT=0的矩阵M仅有零矩阵.故由引理2可得,A及其所有母模式都是谱任意的.

通过上述证明过程可以看出,幂零-中心化方法与幂零-雅可比方法之间存在着联系与区别.首先它们都需要找到一个幂零矩阵,然后幂零-雅可比方法是判断幂零点处的雅可比行列式是否为零,而幂零-中心化方法是在幂零矩阵的中心中满足Hadamard乘积的矩阵是否为零矩阵.这两种方法都是常用的方法.

定理2A是极小谱任意的.

证明设是A的一个真子模式,且H是谱任意的.

综合上面讨论知定理得证.

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An application for the nilpotent-centralizer method

Lu Yong,Gao Yubin

(School of Science,North University of China,Taiyuan030051,China)

In this paper,in order to enrich the classes of spectrally arbitrary patterns,we present a new sign pattern with 2n nonzero entries.Then applying the nilpotent-centralizer method and the nilpotent-jacobian method,we respectively obtain that all the suppatterns of the given sign pattern are spectrally arbitrary. Furthermore,we prove that the given sign pattern is minimally spectrally arbitrary.Finally,the connection and di ff erence of the two introduced methods are comparied.

nilpotent-centralizer,sign pattern matrix,nilpotent matrix,spectrally arbitrary pattern

O157

A

1008-5513(2014)01-0105-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.016

2013-11-06.

国家自然科学基金(11071227);山西省回国留学人员科研资助项目(12-070).

卢勇(1989-),硕士生,研究方向：组合数学.

高玉斌(1962-),教授,研究方向：组合数学与图论.

2010 MSC:15A18,15A48