Weibull 分布恒定应力加速寿命试验的Bayes估计

毕然,武东

(1.爱荷华州立大学统计系,爱荷华州艾姆斯50011;2.安徽农业大学理学院,安徽合肥230036)

Weibull 分布恒定应力加速寿命试验的Bayes估计

毕然1,武东2

(1.爱荷华州立大学统计系,爱荷华州艾姆斯50011;2.安徽农业大学理学院,安徽合肥230036)

对定时和定数截尾样本情形CE模型下Weibull分布场合恒定应力加速寿命试验进行了Bayes统计分析,利用Laplace方法给出了该模型的近似Bayes估计.最后通过模拟实例表明该Bayes估计是有效的.

CE模型;Weibull分布;恒定应力加速寿命试验;Bayes估计;Laplace方法

1 引言

在评定高可靠性、长寿命产品的可靠性时,常采用加速寿命试验[1-2].加速寿命试验按照施加应力方式的不同主要分为三种类型:恒定应力加速寿命试验,步进应力加速寿命试验和序进应力加速寿命试验(简称恒加试验、步加试验和序加试验).恒加试验是先选一组加速应力水平,然后将一定数量的样品分为若干组,每组在一个加速应力水平下进行寿命试验,直到各组均有一定数量的产品发生失效为止.为了缩短寿命试验时间,通常对各应力水平下寿命试验采用定数截尾和定时截尾.恒加试验相对于其它两种加速寿命试验具有以下优点[3]:试验方法简单,试验设备要求不高;试验理论较为成熟,试验容易取得成功;试验中得到的信息最多,试验结果较为准确.

在Weibull分布恒定应力加速寿命试验的统计分析方面.文献[4]给出了Weibull分布基于恒加寿命试验的近似无偏估计和近似区间估计.文献[5]利用逆矩估计方法给出了Weibull分布场合具有非常数形状参数恒加试验的点估计和区间估计.文献[6]对Weibull分布场合恒加寿命试验的参数估计进行了讨论,在文献[4]的基础上得到了更优的参数估计方法.但以上方法均没有考虑到未知参数的先验信息,文献[7]对Weibull分布场合恒定应力加速寿命试验进行了Bayes分析,但仅考虑了形状参数的先验取离散均匀分布.文献[8]对Weibull分布的形状参数考虑了均匀分布给出了Weibull分布恒加试验的Bayes估计.文献[9-10]采用最小二乘估计和最大似然估计对Weibull分布恒加试验进行了参数估计,并对真空荧光显示器(vacuum fl uorescent display,VFD)的寿命进行了预测和可靠性寿命评估.

但上述方法均没考虑到产品在正常应力水平下的先验信息.本文讨论了CE模型下定时和定数截尾两种情形Weibull分布场合恒定应力加速寿命试验的Bayes分析.使用加速系数将产品寿命换算为正常应力水平下的寿命,从而能有效使用正常应力下产品的先验信息.在Bayes分析中,对后验分布参数进行了重参数化,并利用Laplace方法进行了Bayes估计的近似.最后,利用蒙特卡罗方法对定数截尾情形Weibull分布恒加试验阿仑尼斯模型进行了仿真,通过仿真得到该Bayes估计是有效而实用的.

2 基本假设与试验安排

假设1在正常应力水平S0和加速应力水平S1

其中mi>0和ηi分别称为应力水平Si下的形状参数和特征寿命,i=1,···,k.

假设2[2]在各种应力水平下产品的失效机理相同,由于Weibull分布的形状参数反映了失效机理,因此,此假定等价于:

假设3产品的特征寿命ηi与加速应力水平Si满足下列加速模型,即

其中a,b为参数,ϕ(Si)是应力Si的已知减函数.当应力Si是温度时,

此时模型为阿伦尼斯模型;当应力Si是电压时,ϕ(Si)=lnSi;此时模型为逆幂律模型.

上述三个基本假设都是在一定的物理背景下建立起来的,在实际应用中一般可以用专业知识,工程经验和统计检验等方法来判断是否成立.

定时和定数截尾情形Weibull分布恒加试验的具体安排如下:

(1)确定正常应力水平S0和k个加速应力水平S1,S2,···,Sk,这些应力水平一般应满足如下关系:

(2)取n个产品分为k组,在加速应力水平Si下有ni个产品进行定数或定时截尾恒加试验,设在加速应力水平Si下产品的失效时间为:

在定时截尾试验场合,τi为加速应力水平Si下预先给定的试验中止时间,ri为在加速应力水平Si下时间τi之前产品的失效数;在定数截尾试验场合,ri为预先给定的中止试验的样本数.

3 Bayes估计

由假设3,知

其中

为产品在应力S1和S0之间的加速系数[2].

为了方便,现在记

为了获得参数的Bayes估计,先研究一下Weibull分布恒加试验参数的先验分布.根据工程经验得到加速系数c的取值范围为1≤c1

m为Weibull分布的形状参数,根据专家经验,可以设定m为区间[m1,m2]上的均匀分布,即

产品在应力水平S0下,m已知时,取ηm的自然共轭分布为逆Gamma分布,其概率密度为:

其中η>0,α>0,β>0,α和β为超参数.当α=β=0时,为无信息先验.

定理3.1现对n个寿命服从Weibull分布的产品按上述试验安排进行试验得到数据(3),参数η,m,c的先验取上述分布,并对参数按(7)式进行重参数化,即

记θ=(λ,µ,m),θ的参数空间为:

若g(θ)为待估参数,则在平方损失下,g(θ)的基于Laplace公式[11]的近似Bayes估计为:

其中

证明对于(3)式的数据,可以得到似然函数为:

至此,得到m,η,c的联合后验密度为:

对参数η,c,m按(7)式进行重参数化,该变换的Jacobi行列式为:

从而得到θ的联合密度为

在平方损失下,g(θ)的Bayes估计(后验均值)为:

由于上式两个积分之比无显示表达,可以利用Laplace公式得到g(θ)的近似Bayes估计,即

分别取g(θ)为λ,µ,m,利用定理3.1可分别得到三个参数的Bayes估计.下面仅给出λ的Bayes估计,其它可类似讨论.取g(θ)=λ,则得到L的Hessian矩阵为:

式中

L∗的Hessian矩阵为:

式中

对于L和L∗的极大值

可采用带约束条件的非线性规划算法进行求解.

4 仿真例子

以上已经得到Weibull分布恒加试验的λ,µ,m的Bayes估计,现用Monte Carlo方法进行模拟.步骤如下:

(1)正常应力水平S0=313K(表示绝对温度),选取应力为

S1=358K,S2=398K,S3=448K,

加速方程为

形状参数m=1.5.此时正常应力水平S0下的特征寿命η=2422.24,而加速系数c=1.8265.

(2)产生ni个服从U(0,1)分布的相互独立的随机变量Ui1,···,Uini,令

(3)利用本文方法可得到λ,µ,m的Bayes估计,η的取无信息先验,c的先验取U(1,5),m的先验取U(1,3).利用(10)式的变换可得到η,c,m的Bayes估计ˆη,ˆc,ˆm.

(4)重复上述模拟100次,然后计算Bayes估计的均值和相对均方误差.

表1给出了Weibull分布恒加试验的基于Laplace方法的近似Bayes估计的均值和相对均方误差(简写为均方误差).模拟结果表明:

其一,在各种情形下,相对均方误差均较小,说明该Bayes估计的效果均较好;

其二,随着试验产品数量和失效数的增加,相对均方误差有下降趋势,说明Bayes估计随着产品数据和失效数的增加效果更好,因为在Bayes估计中获得的产品信息也随之增加.

其三,该方法的最大优点是避免了大量的数值积分,从而获得高效的Bayes估计.

表1 Bayes估计的均值和相对均方误差

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Bayesian estimation of constant stress accelerated life testing with Weibull distribution

Bi Ran1,Wu Dong2

(1.Department of Statistics,Iowa State University,Ames50011,USA; 2.The Science Institute of Anhui Agricultural University,Hefei230036,China)

In this paper,we propose Bayesian statistical analysis of Weibull distribution with Type-I and Type-II censored sample of constant stress accelerated life testing under CE model.Bayesian estimation of this model is obtained using Laplace method.Finally,we demonstrate through simulation example that the Bayesian estimation is efficient method.

CE model,Weibull distribution,constant stress accelerated life testing,Bayesian estimation, Laplace method

O213.2

A

1008-5513(2014)01-0093-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.014

2010-11-09.

国家社科基金青年项目(12CGL041);安徽农业大学学科建设项目(XKXWD2013021).

毕然(1990-),硕士生,研究方向：应用统计.

武东(1976-),硕士,副教授,研究方向:应用统计.

2010 MSC:62N05