ZY环

周 颖，李德才，魏俊潮＊

（1．扬州大学数学科学学院，江苏 扬州225002；2．扬州职业大学，江苏 扬州225009）

本文中R 表示有单位元的结合环，E（R），N（R），Z（R）分别表示R 的幂等元集合、幂零元集合及R 的中心．设R 为一个环，若对任意a∈R，存在b∈R，使得a＝aba，则称R 为von Neumann正则环［1］；若对任意a∈R，存在b∈R，使得a＝ba2，则称R 为强正则环［2］；若N（R）⊆Z（R），则称R 为CN环［3］．显然，交换环、约化环都是CN 环；关于CN 环的研究可参见文献［4－5］．若E（R）⊆Z（R），则称R 为Abel环．显然CN 环是Abel环．若对a，b∈R，当ab＝1时，必有ba＝1，则称R 为直接有限环［6］．易知Abel环是直接有限环；若N（R）＝0，则称R 为约化环［7］；若对任意a∈R，当aRa＝0时必有a＝0，则称R 为半素环．显然约化环是半素环．若ab＝0时必有aRb⊆N（R），则称R 为nil－semicommutative环［8－9］．

设R 是一个环，若对任意x∈N（R），y∈R，总有x2y2＝xy2x，则称R 为ZY 环．易见CN 环总是ZY 环，从而交换环及约化环是ZY 环．但反过来不一定成立．例如：设易见，则有A2B2＝AB2A＝0，所以R 为ZY 环．取，由于所以CD≠DC，C∉Z（R），从而N（R）⊄Z（R），R 不是CN 环，因此R 既不是交换环也不是约化环．本文研究ZY环的一些性质，推广有关约化环及CN 环的若干结果．

命题1设R 为CN 环，则是ZY 环．

因为a∈Z（R），所以ab21a＝a2b21；又由于b1a∈N（R）⊆Z（R），所以ab2（b1a）＝b1aab2＝b1a2b2＝a2b1b2．同理可证ab21b＝abb21，ab1b2a＝a2b2b1，bb21a＝bab21，从而A2B2＝AB2A，因此V2（R）为ZY 环．

定理2设R 是ZY 环且a∈R，若a2＝0，则aRaRa＝0．

证明 因为R 为ZY 环且a2＝0，所以对任意x∈R，总有

任取y∈R，用x＋ya代替（1）式中的x，得ayaxa＝0，由x，y 的任意性知aRaRa＝0．

由定理2可知有下面的推论．

推论3R 为约化环当且仅当R 为ZY 的半素环．

定理4设R 为ZY 环且a∈aRa，则存在c∈R，使得a＝ca2．

证明 设a＝aba，其中b∈R．记e＝ba，则有a＝ae且e2＝e；记h＝a－ea，则有he＝h，eh＝0，h2＝0，即h∈N（R）．因为R 为ZY 环，所以对任意x∈R，有

用x＋b代替（2）式中的x，得hbxh＋hxbh＝0，特别取x＝e，则有hbh＝0．因为bh＝b（a－ea）＝babea＝e－bea，所以0＝hbh＝h（e－bea）＝h－hbea，从而h＝hbea，即a－ea＝hbea，因此a＝ea＋hbea＝（1＋hb）ea＝（1＋hb）ba2．若取c＝（1＋hb）b∈R，则a＝ca2．

众所周知，一个环R 是强正则环当且仅当R 为约化的正则环，所以推论3和定理4暗示了下面的推论．

推论5R 为强正则环当且仅当R 为ZY 的正则环．

推论6设R 为ZY 环，则R 为直接有限环．

证明 设a，b∈R，满足ab＝1，则a＝1a＝aba．由定理4知存在c∈R，使得a＝ca2，于是1＝ab＝ca2b＝（ca）（ab）＝（ca）1＝ca，因此b＝1b＝（ca）b＝c（ab）＝c，ba＝ca＝1，从而R 为直接有限环．

定理7设R 为ZY 环，则对任意的e∈E（R），a∈R，有（1－e）aeR（1－e）ae＝0．

证明 记h＝（1－e）ae，则he＝h，eh＝0，所以h2＝heh＝0．类似于定理4的证明知hRh＝0，从而（1－e）aeR（1－e）ae＝0．

设R 是一个环，如果N（R）＝0，或者N（R）包含一个非零理想，则称R 为NCI环［10］．例如，CN 环是NCI环．

推论8设R 是ZY 环，则R 为Abel环或为NCI环．

证明 如果R 不是Abel环，则存在e∈E（R），使得eR（1－e）≠0，从而存在a∈R，使得ea（1－e）≠0．由于设R 是ZY 环，所以由定理7知ea（1－e）Rea（1－e）＝0，从而Rea（1－e）R 是包含在N（R）中的非零理想，因此R 为NCI环．

定理9设R 为ZY 环且e∈E（R），则对R 的任意极大左理想M，或者e∈M 或者1－e∈M．

证明 若e∉M，则Re＋M＝R．记1＝ae＋m，其中a∈R，m∈M．由于1－e＝（1－e）ae＋（1－e）m，由定理7知（1－e）aeR（1－e）aeR＝0，所以（1－e）aeR 为幂零右理想，从而（1－e）ae∈J（R）⊆M，因此1－e∈M．

推论10设R 为ZY 环，则对任意e∈E（R）及R 的任意极大左理想M，有Me⊆M．

证明 若Me⊄M，则M＋Me＝R，所以有n＋me＝1，其中n，m∈M．因为e∉M，由定理9知1－e∈M，故有m（1－e）∈M；又因m∈M，故me∈M．由于n＋me∈M，所以1∈M，矛盾，从而Me⊆M．

推论11设R 为ZY 环，则对任意的x∈R，e∈E（R），有Rx＋R（xe－1）＝R．

证明 若Rx＋R（xe－1）≠R，则有R 的极大左理想M，使得Rx＋R（xe－1）⊆M．因为xe－1∈M，而1∉M，所以xe∉M，即e∉M．由定理9知1－e∈M，故x－xe＝x（1－e）∈M．由于x∈M，所以xe∈M，矛盾，因此Rx＋R（xe－1）＝R．

定理12若R 为一个环，满足对任意x∈N（R），y∈R，总有（xy）2＝xy2x，则R 为ZY 环．

证明 任取a∈N（R），x∈R，由题设有（ax）2＝ax2a，从而

用1＋x 代替（3）式中的x，得

由（3）和（4）式知a［a，x］＝0，即

用x2代替（5）式中的x，则a2x2＝ax2a，所以R 为ZY 环．

定理13ZY 环为nil－semicommutative环．

证明 设R 为ZY 环且a，b∈R 满足ab＝0．由于（ba）2＝0，所以对任意x∈R，有

任取y∈R，用x＋ya代替（6）式中的x，得bayaxba＝0，所以baRaRba＝0；于是对任意的r∈R，有（bar）3＝ba（rb）arbar＝0，（arb）4＝ar（bar）3b＝0，即aRb⊆N（R），故R 为nil－semicommutative环．

注14Nil－semicommutative环未必是ZY 环．例如：设取A＝则 有所 以A2B2≠AB2A，即R 不是ZY 环．设，则cidi＝0，i＝1，4，6．对任意的由于Z2为交换环，故cixidi＝0，i＝1，4，6，从而则有（CFD）3＝0，即CFD∈N（R），于是CRD⊆N（R），因此R 为nil－semi－commutative环．

定理15设R 为ZY 环且e∈E（R），若ReR＝R，则e＝1．

证明 由于ReR＝R，所以1＝∑aiebi，ai，bi∈R．由定理7知（1－e）aieR（1－e）aie＝0，所以（1－e）aie∈J（R），从而1－e＝（1－e）·1＝∑n

i＝1（1－e）aiebi∈J（R），因此1＝e．

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