单位圆在诱导公式教学中的应用

高志国

可以说，单位圆是三角函数部分知识的核心与精髓，没有单位圆，就没有三角函数的一切。诱导公式是其集中体现之一，在实际教学中我们发现很多学生总是机械性的，不加以理解的去记忆背诵这些公式，结果会导致在实际应用中经常出现错误。事实上，诱导公式虽然表现形式上为四组或是六组，但其实质只是终边具有一定特殊对称位置关系的角的三角函数之间的关系的体现，真可谓是实至名归。

先引导学生在平面直角坐标系中画出与角α终边具有一定特殊对称关系的其他角的终边，并指出相对应的角用 α 如何表示，然后指出各个交点的坐标，便可以轻松自然地得出各组的诱导公式了。

设任意角α的终边与单位圆的交点为P1（x，y），则由任意角的三角函数的定义有：sinα=y，cosα=x。此时交点也可以表示为P1（cosα，sinα）。

据此定义可以继续得出：其他角α依次关于x轴，对称的角与单位圆的三个交点P2、P3、P4的坐标分别为：P2[cos（-α），sin

（-α）]；P3[cos（？仔+α），sin（？仔+α）]；P4[cos（？仔-α），sin（？仔-α）]。于是，比较P2、P3、P4各点与P1（x，y）的坐标关系，很自然地得出四组诱导公式：

（1）終边相同的角的三角函数关系：sin（α+2k？仔）=sinα，cos

（α+2k？仔）=cosα（k？缀z）。

（2）终边关于x轴对称的角的三角函数关系：sin（-α）=-sinα，

cos（-α）=-cosα。

（3）终边关于原点对称的角的三角函数关系：sin（？仔-α）=

-sinα，cos（？仔-α）=-cosα。

（4）终边关于对称的角的三角函数关系：sin（？仔-α）=sinα，cos（？仔-α）=-cosα。

同理，由于■-α与α终边关于直线y=x对称，且P5[cos（■-α），sin（■-α）]，得出另外两组公式：？

（5）终边关于y=x对称的角的三角函数关系：sin（■-α）=cosα，

cos（■-α）=sinα。

接着，以-α代入公式（5），便可以得出另一组公式（6）sin（■+α）=cosα，cos（■+α）=-sinα。

至此，各组诱导公式就这样非常之自然地全部出现了！但不管是四组或是六组，与其说称之为公式倒不如说是数学朴实自然之美的体现。

（辽宁省瓦房店第八高级中学）