关于不定积分的一个应用

吴丽华

【摘 要】本文借助不定积分的定义与计算，从另外一个角度给出了一些三角及反三角恒等式的证明。

【关键词】不定积分 三角恒等式 反三角恒等式

不定积分是《高等数学》、《微积分》等课程中微积分学的基本内容之一，让学生理解和掌握不定积分的概念及其计算是教学的重点。教材中介绍了一系列的计算不定积分的方法，如凑微分、换元法、分部积分法等等。学生在实际计算时，往往会采用不同的方法来处理，这有可能会得到不同形式的结果，此时学生就会产生疑问，不知道到底哪种结果是对的？事实上，只要方法得当，计算无误，不定积分的结果在表示形式上不同是存在的。其实，学生只要抓住不定积分的定义及同一函数的任两个原函数相差一个常数，明白不同的方法导致的不同结果本质上是暗示了某些恒等式的存在，这就不难理解了。

本文将针对几个具体的不定积分，采用不同的方法，从中得到一些常见的三角，尤其是反三角恒等式。

一、不定積分

定义1：若定义在区间上的函数及可导函数满足下列关系：对任一都有

或

则称为在区间上的一个原函数。

定理1：（1）如果一个函数有一个原函数，那么就有无限多个原函数；

（2）如果

且

则 （为某个常数），

即的任两个原函数只差一个常数。

证明：（1）若，则对任意常数有

上式说明，若是的一个原函数，则对任意常数，都是的原函数。

（2）由， 可得

，

于是

（某个为常数），

即

（为某个常数）.

定义2：在区间上的，函数的全体原函数，称为在区间上的不定积分，记作。

由定义2知，若，则。再由定理1易得如下结论。

定理2：若

且

则，某个为常数。

证明：由 及可知

，

于是由定理1的第二个结论即得所证。

二、三角恒等式

下面通过几个具体的例子，结合不定积分的相关结论，证明一些三角恒等式。

例1：证明（1）；

（2）

证明： （1）

（2）

（3）

联立（1）（2）（3）式，由定理2得

（4）

在（4）式中令得

将代入（4）式即得所证。

例2：证明

证明：

由定理2有

在上式中令得于是等式得证。

例3：证明当时，

（1）；

（2）；

（3）。

证明：当时，

由定理2知

上式中均令得

于是当时，（1）（2）（3）式得证。又当时，等式显然成立。故结论得证。

注：类似可证

例4：证明（1）

（2）；

（3）；

（4）。

证明：

于是有

（5）

（6）

在（5）（6）式中分别令和，

得，，，

综上等式成立。

注：类似可证

结束语：一般来说，对于常见的三角恒等式，学生都能记得住，但是对简单的反三角恒等式却记不住。文中通过简单的不定积分的计算，推导出一些三角和反三角恒等式，帮助学生加深对三角，特别是反三角恒等式的理解和记忆。

【参考文献】

[1]同济大学数学系. 高等数学第六版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]吴传生.经济数学-微积分.北京：高等教育出版社，2009.