分析错例 找准起点

罗燕

学生作业中错例的产生与学生的个体差异有关。从学生的基础与现状、学习心理和非智力因素三方面展开分析，探寻错例产生的缘由，挖掘错例中蕴含的教学价值，有意识、有目的地改进教学，能极大地降低同类错例的发生概率。对此，笔者在分析错例的基础上，展开了实践探索，以期找准课堂教学的切入点。

一、分析错例，揭示学生原有观念和思维方式

学生原有的知识经验是新知识的生长点，教学要引导学生从原有的知识经验中生长出新的知识。因此，研究学生原有的观念和思维方式，分析其对学习活动和掌握新知识会造成的影响，是实现概念转变的前提。换而言之，教师在教学前应该充分了解学生会怎样想、为什么会这样想。

例如，人教版四年级上册第五单元“除数是两位数的除法”，在一位教师备课笔记上记录的学生错例中，有三则错例引起了笔者的关注和思考，具体如下：

笔者针对三则错例，对学生进行了深度访谈，发现每则错例都有对应的一个“独特”想法。整理如下：

错例1：92除以30，从最高位除起，先看被除数的前一位，因为前一位是9，表示9个10，也就是90，90除以30商是3，除到了十位，商写在十位上，个位的2不够除了，商0。

错例2：我估计92里面有3个30，所以商3，余数是2；因为是用被除数十位上的9去除以除数十位上的3，所以商写十位上。

错例3：30乘3的积是90，只要在十位的下面写上9就表示90；以前在学习两位数乘两位数时，用十位上的数去乘第一个因数，所得的积个位的“0”是省略的（如右图）。

从学生的访谈结果分析，错例的形成是由于学生原有知识结构中对笔算除法的片面理解，影响了学生对新知的同化。在学生已有的知识结构中，影响学生同化“除数是两位数除法”笔算方法的因素有以下几点。

1.学生已经学会了“除数是一位数除法”的笔算，除数是两位数除法与它的本质区别是需要把除数（如错例中的30）作为整体试商，而在学生头脑中，已学的笔算都是单个数字的运算，换而言之，是按数位的顺序（加、减、乘从低位，除法从高位）一位一位往下算，错例1由此产生。

2.在教学“除数是一位数除法”笔算时，将方法概括为“先看被除数的最高位，如果最高位不够除，再看前两位……”这种不恰当的提法是错例2产生的深层因素。学生在学习“除数是两位数”的笔算除法时，产生了“先看最高位”的负迁移，不利于和“除数是多位数”的笔算方法进行沟通。

3.“错例3”的竖式在有些教师看来可能是“错误的”“不规范的”“需要改进的”，但学生联系笔算乘法“可省略乘积中的0”，能讲清楚“怎么算”“怎么想”“怎么写”，思维是符合逻辑的。此例，需要纠正的只是“不规范”的书写格式。

从人教版教材编排的顺序来分析，学生从学习（三年级下）“三位数除以一位数的笔算”起，竖式计算才有了存在的价值。在进行笔算除法时，主要有下列三步：运算顺序的确定（从什么位算起）、分步运算结果的定位（含商、乘积）和运算最终结果的形成。学生在学习除数是两位数笔算除法时，是将被除数有机分散成若干个“两（三）位数除以两位数”，试商 “几百（或几十）里面含有多少个几十”再复合叠加，学生在复合叠加时产生了除的顺序和商的顺序等新困惑，尤其是要将除数看成整体试商。由此可见，错例产生的原因是新知与学生原有计算方式不完全相符，需要对新知经“修正”“重组”后再“同化”。

二、呈现引导性材料，链接原有认知结构与新知

在教学新知的过程中，为促进学生有效学习和目标达成，向学生呈现一组链接原有认知结构的学习材料，为新知的学习提供概念上的固定点。这里的“固定点”指学生原有认知结构和要学习的新知之间所具有的某种潜在的适合性或本质属性的一致性。

【教学片段一】

（一）复习

1.笔算：375÷9 92÷3

2.反馈设问。

（1）口述计算过程。

（2）除数都是一位数，而被除数位数不同，为什么商都是两位数？

生：375除以9，百位不够除，看前两位，商的最高位在十位；92除以3，十位够除，商的最高位也在十位。

……

师：除数是一位数的除法，先看被除数的前一位，不够除再看被除数前两位。

（二）谈话导入

师：老师在书店看到了一套书，很喜欢，想买下来。一看单价是30元一本，一摸口袋，摸出了9□元。大家帮我想一想，我这些钱最多可以买几本？

生：最多买3本。（异口同声）

师：说说你们是怎么想的？

生：1本30元，3本90元，4本要120元，而老师的钱是90元多一点，只能买到3本。

生：我把“9□”估成90，90除以30等于3。

生：老师带的钱是“9□”元，比100元少，而100里面最多有3个30。

片段一的教学从学生的原有认知起点出发（除数是一位数的除法、除数是整十数的口算、除数是两位整十数的估算），激活旧知，充分铺垫。通过对买书情境的适当改编，引导学生关注“九十几里面最多有多少个三十”，在思考时把除数30看成一个整体。通过这一教学过程，教师可以有效避免了“92÷30=30……2”这种错例的产生，并使新知学习建构在已有的认知结构基础上。

三、激发认知冲突，实现概念转变的契机

学习过程是学生主动建构与科学概念一致的新概念的过程，这种建构是他人无法代替的。当学生用相异构想的概念来解决实际问题而产生矛盾时，即原有概念与科学概念之间发生了“冲突”，而原有的概念无力解决“冲突”时，学生才会自愿放弃旧的概念。

【教学片段二】

（一）情境串联，引入主题

1. 师（在“□”中填上2）：原来老师带的是92元，那么请你帮老师算一算到底能买几本？还剩几元呢？endprint

2.交流反馈。

生：买3本，多2元。[板书：92÷30=3（本）……2（元）]

生：“□”里不管填几，商都是3本，填几余数就是几。

生：“□”里的数改变余数，不改变商。

（二）话题讨论，完善竖式

师：除了口算和估算，我们还可以用竖式计算。（板书：）

师：商3写在什么数位上？

生：商3应该写在个位上，因为表示3个30。

生：商3应该写在十位上，因为是用十位上的9除以十位上的3，除到十位，商写十位上。

生：不同意他的想法，是用92除以30，已经除到了个位。商写在个位上。

师：究竟是用92除以30，还是用9除以3？

生：是把30看成一个整体计算的，是用92除以30。

生：那就应该除到92的个位，把3商在个位上。

片段二的教学，围绕“商3写在什么数位上？”展开积极的辨析，延续用除数整体试商的方法，引发学生的认知冲突，引导学生走出误区。因为教师已经对学生在此知识点上可能发生的错误有了充分的准备，所以能合理利用学生在课堂上生成的错误，恰到好处地抓住这一看似“偶然”实则“必然”的契机，继而通过学生讨论辨析帮助学生理解算理、理清思路，从而调整、扩充和优化原有认知结构，顺应新知，建立起新旧知识稳固的联结和认知结构。

四、借助几何直观，纠正相异构想

建构主义重视旧经验在构建新知识过程中的作用，而很多相异构想的形成，恰恰是因为学生缺乏建构新知识所必需的感性经验。这时，如果教师还是仅按知识的逻辑进行教学，学生则往往难以真正理解，充其量会觉得“似乎有些道理”，可自己原来的认识也是“有道理”的，于是兼收并蓄，在记住书上结论的同时也保留了原来的“合理内核”，形成了一种模糊混乱的认知结构。教学实践证明，为学生提供必要的感性材料，是纠正相异构想的关键之一，可以促进学生自主解除相异构想，达到事半功倍的教学效果。

【教学片段三】

师：在小棒图上找一找、圈一圈，说说算式中的“90”和“2”分别代表什么。

生：一捆小棒有10根，可以把3捆圈起来，表示30。

生：一共圈3个30，还多2根。

生：90表示3个30的积，2表示余数，也就是剩下2根。

师生板演完整竖式，理解竖式各部分表示的意义。

小结方法：除数是两位数的笔算除法，除的时候先看被除数的前两位。

五、设计对比练习，重组学生认知结构

人的一般认知发展，包括认知能力的发展和认知水平的提高，在很大程度上得益于深刻的反思。设计对比练习的目的不仅是巩固知识，更重要的是通过“超链接”让学生进行对比，主动寻求知识之间潜在的“连结”，使学生把知识连点成线结网，重组学生的认知结构，并提高数学素养。

【教学片段四】

结合小棒图，比较92÷30=3……2（包含除）与92÷3=30……2（等分除）两个算式（见下图），讨论以下话题：

商3的位置为什么不同？

生：竖式1是先用十位上的9除以3，9在十位上，所以商在十位。

生：竖式2是看92里面有多少个30，有3个，所以商个位。

师：对小棒图进行分析，3和30各代表什么？

生：3代表分的份数，30代表每份的根数。

结合小棒图说说两个乘积为什么分别是“9”和“90”？

生：9表示有9个十，也就是9捆。

生：90表示一共圈了90根，也就是3个30根。

……

在片段三和片段四的教学中，通过对比“92÷30=3……2”与“92÷3=30……2”两个竖式，借助小棒图圈一圈、说一说，利用直观的表象理清两个竖式里的各个数据与小棒图的关系，让学生更好地理解竖式1“为什么商是30，而且要把3写在十位上，乘积为什么是9，而不是90”，竖式2“为什么商是3，而且要写在个位上，乘积为什么是90，而不是9”。通过新旧知识的比较沟通，使新知顺利同化到已有知识的结构中去。

有了这些研究做基础，开发错例的教学就显得容易多了。错例展示了学生答题时的真实想法，便于教师找出“出错”的节点，对错例进行归因分析，为教学提供了准确的切入点，为教学设计找到了新的基点。

（浙江省湖州市月河小学 313000）endprint

2.交流反馈。

生：买3本，多2元。[板书：92÷30=3（本）……2（元）]

生：“□”里不管填几，商都是3本，填几余数就是几。

生：“□”里的数改变余数，不改变商。

（二）话题讨论，完善竖式

师：除了口算和估算，我们还可以用竖式计算。（板书：）

师：商3写在什么数位上？

生：商3应该写在个位上，因为表示3个30。

生：商3应该写在十位上，因为是用十位上的9除以十位上的3，除到十位，商写十位上。

生：不同意他的想法，是用92除以30，已经除到了个位。商写在个位上。

师：究竟是用92除以30，还是用9除以3？

生：是把30看成一个整体计算的，是用92除以30。

生：那就应该除到92的个位，把3商在个位上。

片段二的教学，围绕“商3写在什么数位上？”展开积极的辨析，延续用除数整体试商的方法，引发学生的认知冲突，引导学生走出误区。因为教师已经对学生在此知识点上可能发生的错误有了充分的准备，所以能合理利用学生在课堂上生成的错误，恰到好处地抓住这一看似“偶然”实则“必然”的契机，继而通过学生讨论辨析帮助学生理解算理、理清思路，从而调整、扩充和优化原有认知结构，顺应新知，建立起新旧知识稳固的联结和认知结构。

四、借助几何直观，纠正相异构想

建构主义重视旧经验在构建新知识过程中的作用，而很多相异构想的形成，恰恰是因为学生缺乏建构新知识所必需的感性经验。这时，如果教师还是仅按知识的逻辑进行教学，学生则往往难以真正理解，充其量会觉得“似乎有些道理”，可自己原来的认识也是“有道理”的，于是兼收并蓄，在记住书上结论的同时也保留了原来的“合理内核”，形成了一种模糊混乱的认知结构。教学实践证明，为学生提供必要的感性材料，是纠正相异构想的关键之一，可以促进学生自主解除相异构想，达到事半功倍的教学效果。

【教学片段三】

师：在小棒图上找一找、圈一圈，说说算式中的“90”和“2”分别代表什么。

生：一捆小棒有10根，可以把3捆圈起来，表示30。

生：一共圈3个30，还多2根。

生：90表示3个30的积，2表示余数，也就是剩下2根。

师生板演完整竖式，理解竖式各部分表示的意义。

小结方法：除数是两位数的笔算除法，除的时候先看被除数的前两位。

五、设计对比练习，重组学生认知结构

人的一般认知发展，包括认知能力的发展和认知水平的提高，在很大程度上得益于深刻的反思。设计对比练习的目的不仅是巩固知识，更重要的是通过“超链接”让学生进行对比，主动寻求知识之间潜在的“连结”，使学生把知识连点成线结网，重组学生的认知结构，并提高数学素养。

【教学片段四】

结合小棒图，比较92÷30=3……2（包含除）与92÷3=30……2（等分除）两个算式（见下图），讨论以下话题：

商3的位置为什么不同？

生：竖式1是先用十位上的9除以3，9在十位上，所以商在十位。

生：竖式2是看92里面有多少个30，有3个，所以商个位。

师：对小棒图进行分析，3和30各代表什么？

生：3代表分的份数，30代表每份的根数。

结合小棒图说说两个乘积为什么分别是“9”和“90”？

生：9表示有9个十，也就是9捆。

生：90表示一共圈了90根，也就是3个30根。

……

在片段三和片段四的教学中，通过对比“92÷30=3……2”与“92÷3=30……2”两个竖式，借助小棒图圈一圈、说一说，利用直观的表象理清两个竖式里的各个数据与小棒图的关系，让学生更好地理解竖式1“为什么商是30，而且要把3写在十位上，乘积为什么是9，而不是90”，竖式2“为什么商是3，而且要写在个位上，乘积为什么是90，而不是9”。通过新旧知识的比较沟通，使新知顺利同化到已有知识的结构中去。

有了这些研究做基础，开发错例的教学就显得容易多了。错例展示了学生答题时的真实想法，便于教师找出“出错”的节点，对错例进行归因分析，为教学提供了准确的切入点，为教学设计找到了新的基点。

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2.交流反馈。

生：买3本，多2元。[板书：92÷30=3（本）……2（元）]

生：“□”里不管填几，商都是3本，填几余数就是几。

生：“□”里的数改变余数，不改变商。

（二）话题讨论，完善竖式

师：除了口算和估算，我们还可以用竖式计算。（板书：）

师：商3写在什么数位上？

生：商3应该写在个位上，因为表示3个30。

生：商3应该写在十位上，因为是用十位上的9除以十位上的3，除到十位，商写十位上。

生：不同意他的想法，是用92除以30，已经除到了个位。商写在个位上。

师：究竟是用92除以30，还是用9除以3？

生：是把30看成一个整体计算的，是用92除以30。

生：那就应该除到92的个位，把3商在个位上。

片段二的教学，围绕“商3写在什么数位上？”展开积极的辨析，延续用除数整体试商的方法，引发学生的认知冲突，引导学生走出误区。因为教师已经对学生在此知识点上可能发生的错误有了充分的准备，所以能合理利用学生在课堂上生成的错误，恰到好处地抓住这一看似“偶然”实则“必然”的契机，继而通过学生讨论辨析帮助学生理解算理、理清思路，从而调整、扩充和优化原有认知结构，顺应新知，建立起新旧知识稳固的联结和认知结构。

四、借助几何直观，纠正相异构想

建构主义重视旧经验在构建新知识过程中的作用，而很多相异构想的形成，恰恰是因为学生缺乏建构新知识所必需的感性经验。这时，如果教师还是仅按知识的逻辑进行教学，学生则往往难以真正理解，充其量会觉得“似乎有些道理”，可自己原来的认识也是“有道理”的，于是兼收并蓄，在记住书上结论的同时也保留了原来的“合理内核”，形成了一种模糊混乱的认知结构。教学实践证明，为学生提供必要的感性材料，是纠正相异构想的关键之一，可以促进学生自主解除相异构想，达到事半功倍的教学效果。

【教学片段三】

师：在小棒图上找一找、圈一圈，说说算式中的“90”和“2”分别代表什么。

生：一捆小棒有10根，可以把3捆圈起来，表示30。

生：一共圈3个30，还多2根。

生：90表示3个30的积，2表示余数，也就是剩下2根。

师生板演完整竖式，理解竖式各部分表示的意义。

小结方法：除数是两位数的笔算除法，除的时候先看被除数的前两位。

五、设计对比练习，重组学生认知结构

人的一般认知发展，包括认知能力的发展和认知水平的提高，在很大程度上得益于深刻的反思。设计对比练习的目的不仅是巩固知识，更重要的是通过“超链接”让学生进行对比，主动寻求知识之间潜在的“连结”，使学生把知识连点成线结网，重组学生的认知结构，并提高数学素养。

【教学片段四】

结合小棒图，比较92÷30=3……2（包含除）与92÷3=30……2（等分除）两个算式（见下图），讨论以下话题：

商3的位置为什么不同？

生：竖式1是先用十位上的9除以3，9在十位上，所以商在十位。

生：竖式2是看92里面有多少个30，有3个，所以商个位。

师：对小棒图进行分析，3和30各代表什么？

生：3代表分的份数，30代表每份的根数。

结合小棒图说说两个乘积为什么分别是“9”和“90”？

生：9表示有9个十，也就是9捆。

生：90表示一共圈了90根，也就是3个30根。

……

在片段三和片段四的教学中，通过对比“92÷30=3……2”与“92÷3=30……2”两个竖式，借助小棒图圈一圈、说一说，利用直观的表象理清两个竖式里的各个数据与小棒图的关系，让学生更好地理解竖式1“为什么商是30，而且要把3写在十位上，乘积为什么是9，而不是90”，竖式2“为什么商是3，而且要写在个位上，乘积为什么是90，而不是9”。通过新旧知识的比较沟通，使新知顺利同化到已有知识的结构中去。

有了这些研究做基础，开发错例的教学就显得容易多了。错例展示了学生答题时的真实想法，便于教师找出“出错”的节点，对错例进行归因分析，为教学提供了准确的切入点，为教学设计找到了新的基点。

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