直观模型，带给学生的是什么？

孙佳威+付春红

一、设计理念

“两位数乘两位数的笔算乘法”属于“数与代数”这一领域中“数的运算”这个板块。对于这个板块的内容，《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确指出要培养学生的运算能力。运算能力主要指能够根据法则和运算律进行正确运算的能力，培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理、简洁的运算途径解决问题。由此可以看出，运算能力的培养决不仅仅是算法的掌握，更需要对算理的理解与运用。

数学教学的复杂性在于怎样满足不同发展水平的儿童的学习需要，适应儿童个体认知发展反复循环的阶段（直观与抽象反复循环、交替进行）。因此，在数学计算教学中，我们有必要为学生提供便于观察、转化的直观模型，引导学生借助不同语言的相互转换理解抽象的算理，从而使抽象的算理具体化、形象化，帮助学生在沟通转化中掌握算法。在此过程中，转化和数形结合的思想也必将形象地植入学生的头脑，最终为学生运算能力的培养铺路搭桥。

二、教学背景分析

（一）教材分析

1.对教材的整体分析。

人教版教材在计算教学的编排中是怎样帮助学生理解算理、掌握算法的呢？我们可以做以下的梳理：①百以内加减法：借助小棒模型；②万以内加减法：没有借助直观模型；③多位数乘、除以一位数：借助小棒模型；④多位数乘两位数：没有借助直观模型（多位数乘一位数的计算，虽然没有直接呈现小棒，但是通过粉笔图的呈现，依然显示出了与小棒图相同的结构，目的依然是要借助直观模型理解算理）；⑤多位数除以两位数：借助直观模型到不借助直观模型；⑥小数乘、除法：借助人民币和长度单位作为模型；⑦分数乘、除法：借助面积模型。

随着年级及知识的增长，学生的抽象、迁移能力也越来越强。教材的编写关注到了这一点，对于容易理解的内容，教材就提倡运用知识的迁移、转化来进行计算的学习。对于较难理解的内容，教材就提倡借助直观模型来进行计算的学习。

2.对本课内容的理解。

与以往计算教学相同的是：注重理解算理和掌握算法。但是，“两位数乘两位数的笔算乘法”这节课对算理的理解没有借助直观模型，只是试图通过口算与竖式的沟通，让学生把旧知转化为新知来理解算理，掌握算法。

本节课前位知识和后续内容的学习，大多使用直观模型帮助学生理解算理，本节课不使用直观模型的教学内容，是基于对学生能力的考量，但是其他版本教材中类似内容的编排还是强调了直观模型的使用。

（二）学情分析

调研目的：人教版教材不再呈现直观模型，对于算理的理解、算法的掌握完全借助于知识的转化和迁移来完成，但这样的教学过程是否符合学生的认知规律呢？口算与竖式的简单沟通能否为学生理解算理提供形象的支撑？省去了以操作辅助形象理解的环节，在“真”节约时间的背后，是否有“真”增效？这些都成了我们的疑惑。正值学校校本教研，同年级组的两位教师采用同课异构的方式进行了教学，课下我们针对两个班的学生进行了调研，并对调研数据进行了对比分析。

数据来源一：遵循教材呈现方式进行教学。

调研对象：三（1）班34人。

调研问题一：请你试着计算14×12。

调研结果： 学习了一节课，还有59%的学生没有充分掌握算法。这说明缺少形象支撑的教学，仅仅依靠沟通竖式与口算的联系，来理解算理、掌握算法是非常浅薄的，因为大部分学生不仅算理不明，算法也是混乱的。

调研问题二：这道题是让你进行乘法计算，你为什么还要加呀？

调研对象： 会做的人只有14人，其中只有2人能明确说明这样计算的道理，其他12个人虽然能够正确计算，但却不明白算理。这也同样说明凭借口算与竖式计算过程进行转化的方法来理解算理、形成算法，是缺少实效性的教学。

数据来源二：尝试使用直观模型进行的教学。

调研对象：三（2）班37人。

调研问题一：请你试着计算14×12，并借助旁边的点子图说明你的想法。

调研结果：从他们的表达方式上看，有94.5%的学生不仅知道怎样进行计算，而且非常清楚地知道为什么这样算。虽然有2人计算结果是错误的，但是通过观察发现他们的错误原因一个是因为马虎出错，另一人是因为计算方法混乱造成错误。

调研问题二：这道题是让你进行乘法计算，你为什么还要加呀？

学生回答如下：100%的学生明确地说出了道理。因为他们把计算的每一步与点子图建立了联系，清晰地分辨出了前面的“分”和后面的“合”，乘法分配律这个计算的道理已经清晰地蕴含在学生并不流畅的语言当中。

数据对比一：在第一种方式下只有5.8%的学生能够明确说出算理；在第二种方式下，100%的学生明确算理。

数据对比二：在第一种方式下，只有41%的人熟练掌握了算法；在第二种方式下，计算的正确率达到了94.5%。

两种不同的学习方式，两次不同的数据，形成了鲜明的对比。可见直观模型在计算教学中的重要性。三年级学生的运算能力远没有我们想象的那么强。他们的学习仍要借助直观的支撑，尤其是在算理的理解上。只有坚实地走好现在的每一小步，才能在运算能力的发展上迈出一大步。

因此，在教学中要借助直观模型，把抽象的算理形象化，从而帮助学生理解算理、掌握算法。以直观形象为支撑，帮助学生理解“乘法分配律“在计算过程中的运用，并借助图形语言的形象作用，帮助学生牢固掌握计算方法，与此同时，渗透迁移、转化的思想，从而为学生运算能力的培养添砖加瓦。

三、教学目标

1.在观察、操作的活动过程中，借助直观模型帮助学生理解两位数乘两位数的算理，在迁移、转化的过程中掌握计算方法。

2.在探究与交流过程中，培养学生观察、概括、沟通、转化知识的能力，从而初步培养学生的运算能力。endprint

3.在理解笔算算理的基础上感受迁移、转化的数学思想对知识学习的重要性。

四、教学过程

（一）出示信息，引入计算教学的研究

1.出示信息： 植树节，同学们参加植树活动，一共植树多少棵？

2.仔细观察，你知道了什么？

3.要想知道“一共有多少棵树”，怎么办？（23×12 12×23）

4.计算可以帮我们解决这个问题，你怎么想到用乘法计算啊？

小结：每行有23棵树，就是一个23，有这样的12行，就是有12个23。

（设计意图：在现实生活情境中研究计算问题，能够使学生深刻感受到学习计算的价值。同时，借助直观的树林图，帮助学生再次回顾乘法的意义。为理解拆成几个几的学习奠定基础。）

（二）借助直观模型，理解算理，掌握算法

第一层次：理解算理。

1.出示研究问题：23×12得多少？同学们可以画一画、写一写自己的想法，也可以借助手中的学具圈一圈自己的想法，并把想法用算式表达出来。

2.反馈学生的想法：说说你们是怎么想的？

（1）反馈用口算解决的方法。

[方法一]分-乘：如23×3×4

监控：他是怎样解决问题的？

评价：能够把算式转化为学习过的两位数乘一位数的形式，解决问题。

[方法二]分-乘-合

第一类：拆成任意两数，如：23×3=69 23×9=

207 69+207=276

监控：谁听清楚了他的3和9是怎么来的？为什么后面还要加起来？这个学生也是拆，把新知识转化为旧知识，他的计算和前面的有什么不一样？

第二类：拆成整十数和一位数，如：23×10=230 23×2=46 230+46=276

监控：这个也是拆成两个数以后再加，又和前面的同学有什么不一样？

归纳方法：同学们借助点子图不仅说清了自己口算的过程和方法，而且说明了计算的道理。这几种方法有什么相同的地方？

小结：没错，他们都借助旧知识，尝试利用“拆”的办法把新知识转化为旧知识来解决问题，这种方法在数学学习中很重要。

（设计意图：借助直观模型，理解不同算法的道理，与此同时渗透转化的思想。）

（2）反馈用竖式计算的办法。

预设：

重点问题监控：

①结合上图说说你的算式是什么意思？

②算式中的每个数在图中的什么位置，谁读懂了，能来指指吗？

③算式中的“+”在图中的哪儿呢？它的任务是什么？

3.沟通联系。

（1）就这个过程，你能否在前面见到的方法中找到它的“影子”？

（2）仔细观察，你能把相应的算式和点子图用线连起来吗？

（3）观察这3种表达方式，它们有着共同的过程，你发现了吗？

小结：通过分的方式把12分成10和2，分别去乘23，最后把积加起来，就是最后的结果。（板书：分—乘—合）

（设计意图：借助直观模型，帮助学生理解乘法分配律在乘法竖式中的运用过程，通过图形与符号的沟通和转化，使学生充分理解两位数乘两位数的笔算道理，初步感受笔算的过程和方法，渗透转化和数形结合的思想。）

第二层次：初步感知计算方法。

1.出示：你能说说你的计算过程是怎样的吗？

问题监控：

（1）先算的是什么？怎么算的？又算的是什么？怎么算的？

（2）3写在哪位上？为什么？2呢？

（3）最后一步干什么？

2.谁能完整地说说计算过程。

3.出示右边竖式：

他怎么和大家说的不太一样？你觉得 这样行吗？

小结：为了书写的简洁，十位上的数

乘23，数位对齐后，0可以省略。

第三层次：巩固算理，抽象算法。

1.求一共有多少棵树，我们列出了12×23，除了可以分12，还可以分哪个数？

你能先在点子图上分一分，再尝试列竖式计算吗？

2.展示学生的算式及图。

预设图一 预设图二

（1）对照图说一说每一步计算与图的关系是什么。

（2）谁能完整地说说计算过程？

3.出示学生的错例。

预设1： 预设2：

监控：

（1）你能结合上面的点子图说说他们错在哪里吗？

（2）应该怎样改正？

4.尝试计算32×22。

小结：结合上面几道题的计算，说一说，你是怎样计算两位数乘两位数的？（学生叙述方法，教师用红色笔和蓝色笔标出箭头）

（三）巩固练习，拓展延伸

1.练习计算：22×34 42×21

2.快速判断第二个因数是多少？

3.全课总结：这节课我们学习

了两位数乘两位数的笔算乘法，通过点子图，我们不仅学会了计算的方法，更了解了这样计算的道理，这对于我们今后的学习将起到重要的作用。

五、教学效果评价设计

把意思相同的算式和图连起来。

（设计意图：通过让学生把竖式计算过程与点子图连线的方式，再次检验学生对于算理的理解及算法的掌握。）

六、教学设计特色说明

（一）充分借助点子图，帮助学生理解算理，掌握算法

在进行学情分析的过程中，发现直观模型对于学生理解算理的作用，因此在进行教学设计时，突破了教材的局限，首先把情景图变为树林图，目的就是帮助学生轻松地把生活问题转换成点子图，并充分利用点子图，帮助学生理解算理，掌握算法。在这个过程中，点子图这个直观模型成为了学生理解算理的桥梁，更成为学生思维受阻时思考的媒介、解决问题的工具，从而为学生后续的计算学习奠定了基础。

（二）借助直观模型，渗透转化和数形结合的思想

两位数乘两位数的计算算理就是“乘法分配律”，基于这个算理基础上的计算方法就是“分—乘—合”，这样的一个过程，把旧知识就转化为了新知识，这种转化思想的渗透，因为直观模型的介入显得更加可以触摸。与此同时，这个过程也是一个数形结合的过程，正因为对算理的理解辅以了图形语言的支撑，数形结合的思想也就蕴含于其中。对这些思想和方法的感悟都将成为学生运算能力发展的重要基石。

（北京市朝阳区教育教学研究中心 100028

北京市朝阳区望京南湖东园小学 100102）endprint

3.在理解笔算算理的基础上感受迁移、转化的数学思想对知识学习的重要性。

四、教学过程

（一）出示信息，引入计算教学的研究

1.出示信息： 植树节，同学们参加植树活动，一共植树多少棵？

2.仔细观察，你知道了什么？

3.要想知道“一共有多少棵树”，怎么办？（23×12 12×23）

4.计算可以帮我们解决这个问题，你怎么想到用乘法计算啊？

小结：每行有23棵树，就是一个23，有这样的12行，就是有12个23。

（设计意图：在现实生活情境中研究计算问题，能够使学生深刻感受到学习计算的价值。同时，借助直观的树林图，帮助学生再次回顾乘法的意义。为理解拆成几个几的学习奠定基础。）

（二）借助直观模型，理解算理，掌握算法

第一层次：理解算理。

1.出示研究问题：23×12得多少？同学们可以画一画、写一写自己的想法，也可以借助手中的学具圈一圈自己的想法，并把想法用算式表达出来。

2.反馈学生的想法：说说你们是怎么想的？

（1）反馈用口算解决的方法。

[方法一]分-乘：如23×3×4

监控：他是怎样解决问题的？

评价：能够把算式转化为学习过的两位数乘一位数的形式，解决问题。

[方法二]分-乘-合

第一类：拆成任意两数，如：23×3=69 23×9=

207 69+207=276

监控：谁听清楚了他的3和9是怎么来的？为什么后面还要加起来？这个学生也是拆，把新知识转化为旧知识，他的计算和前面的有什么不一样？

第二类：拆成整十数和一位数，如：23×10=230 23×2=46 230+46=276

监控：这个也是拆成两个数以后再加，又和前面的同学有什么不一样？

归纳方法：同学们借助点子图不仅说清了自己口算的过程和方法，而且说明了计算的道理。这几种方法有什么相同的地方？

小结：没错，他们都借助旧知识，尝试利用“拆”的办法把新知识转化为旧知识来解决问题，这种方法在数学学习中很重要。

（设计意图：借助直观模型，理解不同算法的道理，与此同时渗透转化的思想。）

（2）反馈用竖式计算的办法。

预设：

重点问题监控：

①结合上图说说你的算式是什么意思？

②算式中的每个数在图中的什么位置，谁读懂了，能来指指吗？

③算式中的“+”在图中的哪儿呢？它的任务是什么？

3.沟通联系。

（1）就这个过程，你能否在前面见到的方法中找到它的“影子”？

（2）仔细观察，你能把相应的算式和点子图用线连起来吗？

（3）观察这3种表达方式，它们有着共同的过程，你发现了吗？

小结：通过分的方式把12分成10和2，分别去乘23，最后把积加起来，就是最后的结果。（板书：分—乘—合）

（设计意图：借助直观模型，帮助学生理解乘法分配律在乘法竖式中的运用过程，通过图形与符号的沟通和转化，使学生充分理解两位数乘两位数的笔算道理，初步感受笔算的过程和方法，渗透转化和数形结合的思想。）

第二层次：初步感知计算方法。

1.出示：你能说说你的计算过程是怎样的吗？

问题监控：

（1）先算的是什么？怎么算的？又算的是什么？怎么算的？

（2）3写在哪位上？为什么？2呢？

（3）最后一步干什么？

2.谁能完整地说说计算过程。

3.出示右边竖式：

他怎么和大家说的不太一样？你觉得 这样行吗？

小结：为了书写的简洁，十位上的数

乘23，数位对齐后，0可以省略。

第三层次：巩固算理，抽象算法。

1.求一共有多少棵树，我们列出了12×23，除了可以分12，还可以分哪个数？

你能先在点子图上分一分，再尝试列竖式计算吗？

2.展示学生的算式及图。

预设图一 预设图二

（1）对照图说一说每一步计算与图的关系是什么。

（2）谁能完整地说说计算过程？

3.出示学生的错例。

预设1： 预设2：

监控：

（1）你能结合上面的点子图说说他们错在哪里吗？

（2）应该怎样改正？

4.尝试计算32×22。

小结：结合上面几道题的计算，说一说，你是怎样计算两位数乘两位数的？（学生叙述方法，教师用红色笔和蓝色笔标出箭头）

（三）巩固练习，拓展延伸

1.练习计算：22×34 42×21

2.快速判断第二个因数是多少？

3.全课总结：这节课我们学习

了两位数乘两位数的笔算乘法，通过点子图，我们不仅学会了计算的方法，更了解了这样计算的道理，这对于我们今后的学习将起到重要的作用。

五、教学效果评价设计

把意思相同的算式和图连起来。

（设计意图：通过让学生把竖式计算过程与点子图连线的方式，再次检验学生对于算理的理解及算法的掌握。）

六、教学设计特色说明

（一）充分借助点子图，帮助学生理解算理，掌握算法

在进行学情分析的过程中，发现直观模型对于学生理解算理的作用，因此在进行教学设计时，突破了教材的局限，首先把情景图变为树林图，目的就是帮助学生轻松地把生活问题转换成点子图，并充分利用点子图，帮助学生理解算理，掌握算法。在这个过程中，点子图这个直观模型成为了学生理解算理的桥梁，更成为学生思维受阻时思考的媒介、解决问题的工具，从而为学生后续的计算学习奠定了基础。

（二）借助直观模型，渗透转化和数形结合的思想

两位数乘两位数的计算算理就是“乘法分配律”，基于这个算理基础上的计算方法就是“分—乘—合”，这样的一个过程，把旧知识就转化为了新知识，这种转化思想的渗透，因为直观模型的介入显得更加可以触摸。与此同时，这个过程也是一个数形结合的过程，正因为对算理的理解辅以了图形语言的支撑，数形结合的思想也就蕴含于其中。对这些思想和方法的感悟都将成为学生运算能力发展的重要基石。

（北京市朝阳区教育教学研究中心 100028

北京市朝阳区望京南湖东园小学 100102）endprint

3.在理解笔算算理的基础上感受迁移、转化的数学思想对知识学习的重要性。

四、教学过程

（一）出示信息，引入计算教学的研究

1.出示信息： 植树节，同学们参加植树活动，一共植树多少棵？

2.仔细观察，你知道了什么？

3.要想知道“一共有多少棵树”，怎么办？（23×12 12×23）

4.计算可以帮我们解决这个问题，你怎么想到用乘法计算啊？

小结：每行有23棵树，就是一个23，有这样的12行，就是有12个23。

（设计意图：在现实生活情境中研究计算问题，能够使学生深刻感受到学习计算的价值。同时，借助直观的树林图，帮助学生再次回顾乘法的意义。为理解拆成几个几的学习奠定基础。）

（二）借助直观模型，理解算理，掌握算法

第一层次：理解算理。

1.出示研究问题：23×12得多少？同学们可以画一画、写一写自己的想法，也可以借助手中的学具圈一圈自己的想法，并把想法用算式表达出来。

2.反馈学生的想法：说说你们是怎么想的？

（1）反馈用口算解决的方法。

[方法一]分-乘：如23×3×4

监控：他是怎样解决问题的？

评价：能够把算式转化为学习过的两位数乘一位数的形式，解决问题。

[方法二]分-乘-合

第一类：拆成任意两数，如：23×3=69 23×9=

207 69+207=276

监控：谁听清楚了他的3和9是怎么来的？为什么后面还要加起来？这个学生也是拆，把新知识转化为旧知识，他的计算和前面的有什么不一样？

第二类：拆成整十数和一位数，如：23×10=230 23×2=46 230+46=276

监控：这个也是拆成两个数以后再加，又和前面的同学有什么不一样？

归纳方法：同学们借助点子图不仅说清了自己口算的过程和方法，而且说明了计算的道理。这几种方法有什么相同的地方？

小结：没错，他们都借助旧知识，尝试利用“拆”的办法把新知识转化为旧知识来解决问题，这种方法在数学学习中很重要。

（设计意图：借助直观模型，理解不同算法的道理，与此同时渗透转化的思想。）

（2）反馈用竖式计算的办法。

预设：

重点问题监控：

①结合上图说说你的算式是什么意思？

②算式中的每个数在图中的什么位置，谁读懂了，能来指指吗？

③算式中的“+”在图中的哪儿呢？它的任务是什么？

3.沟通联系。

（1）就这个过程，你能否在前面见到的方法中找到它的“影子”？

（2）仔细观察，你能把相应的算式和点子图用线连起来吗？

（3）观察这3种表达方式，它们有着共同的过程，你发现了吗？

小结：通过分的方式把12分成10和2，分别去乘23，最后把积加起来，就是最后的结果。（板书：分—乘—合）

（设计意图：借助直观模型，帮助学生理解乘法分配律在乘法竖式中的运用过程，通过图形与符号的沟通和转化，使学生充分理解两位数乘两位数的笔算道理，初步感受笔算的过程和方法，渗透转化和数形结合的思想。）

第二层次：初步感知计算方法。

1.出示：你能说说你的计算过程是怎样的吗？

问题监控：

（1）先算的是什么？怎么算的？又算的是什么？怎么算的？

（2）3写在哪位上？为什么？2呢？

（3）最后一步干什么？

2.谁能完整地说说计算过程。

3.出示右边竖式：

他怎么和大家说的不太一样？你觉得 这样行吗？

小结：为了书写的简洁，十位上的数

乘23，数位对齐后，0可以省略。

第三层次：巩固算理，抽象算法。

1.求一共有多少棵树，我们列出了12×23，除了可以分12，还可以分哪个数？

你能先在点子图上分一分，再尝试列竖式计算吗？

2.展示学生的算式及图。

预设图一 预设图二

（1）对照图说一说每一步计算与图的关系是什么。

（2）谁能完整地说说计算过程？

3.出示学生的错例。

预设1： 预设2：

监控：

（1）你能结合上面的点子图说说他们错在哪里吗？

（2）应该怎样改正？

4.尝试计算32×22。

小结：结合上面几道题的计算，说一说，你是怎样计算两位数乘两位数的？（学生叙述方法，教师用红色笔和蓝色笔标出箭头）

（三）巩固练习，拓展延伸

1.练习计算：22×34 42×21

2.快速判断第二个因数是多少？

3.全课总结：这节课我们学习

了两位数乘两位数的笔算乘法，通过点子图，我们不仅学会了计算的方法，更了解了这样计算的道理，这对于我们今后的学习将起到重要的作用。

五、教学效果评价设计

把意思相同的算式和图连起来。

（设计意图：通过让学生把竖式计算过程与点子图连线的方式，再次检验学生对于算理的理解及算法的掌握。）

六、教学设计特色说明

（一）充分借助点子图，帮助学生理解算理，掌握算法

在进行学情分析的过程中，发现直观模型对于学生理解算理的作用，因此在进行教学设计时，突破了教材的局限，首先把情景图变为树林图，目的就是帮助学生轻松地把生活问题转换成点子图，并充分利用点子图，帮助学生理解算理，掌握算法。在这个过程中，点子图这个直观模型成为了学生理解算理的桥梁，更成为学生思维受阻时思考的媒介、解决问题的工具，从而为学生后续的计算学习奠定了基础。

（二）借助直观模型，渗透转化和数形结合的思想

两位数乘两位数的计算算理就是“乘法分配律”，基于这个算理基础上的计算方法就是“分—乘—合”，这样的一个过程，把旧知识就转化为了新知识，这种转化思想的渗透，因为直观模型的介入显得更加可以触摸。与此同时，这个过程也是一个数形结合的过程，正因为对算理的理解辅以了图形语言的支撑，数形结合的思想也就蕴含于其中。对这些思想和方法的感悟都将成为学生运算能力发展的重要基石。

（北京市朝阳区教育教学研究中心 100028

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