培养学生“几何直观能力”的实践研究

北京市西城区(南区)小学数学研究团队

编者语

几何直观”是《义务教育数学课程标准（2011年版）》新增加的4个核心概念之一，虽然教师对它有一定的了解，但如何对它进行透彻的解读及有效的教学实践，这仍然是教师比较关注和乐于探讨的问题。为此，本刊特刊登一组相关文章，供大家讨论。

自《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）颁布以后，其中的10个核心概念成为了课程内容的核心与主线，而对这些核心概念的深入理解与把握，有利于教师体会教学内容的本质，把握课程内容的线索，抓住教学中的关键。“几何直观”是其中新增加的4个核心概念之一，教师们对它既熟悉又陌生，为了对它能有透彻的解读，我们以“几何直观”的研究为切入点，以点带面，进行了深入的研读与教学实践。

一、解读“几何直观”

（一）什么是“几何直观”

如果单从字面上理解，顾名思义，几何就是图形，直观就是直接的观察。那么几何直观是不是就是这样的呢？在《课标（2011年版）》中指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

通过对《课标（2011年版）》的研读与分析，可以认识到直观不仅仅是指直接的观察，更重要的是依托看到或想到的图形进行深入的思考、分析，甚至可以帮助我们解决问题。同时，在学生数学学习中发挥着重要的作用。

荷兰数学教育家弗莱登塔尔对几何直观有过这样的表述：几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。可见几何直观可以帮助我们很好地把握问题的本质。

孔凡哲和史宁中教授在《关于几何直观的含义与表现形式》一文中指出：几何直观是借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。两位教授对于几何直观的认识让我们豁然开朗，几何直观不仅是辅助学生进行学习的有效手段，更是一种运用图形认识事物、分析解决问题的能力。

（二）“几何直观”是否等同于“数形结合”

经过一段时间的理论学习，结合对教材内容的理解、课堂教学的实践和思考，我们认识到：数形结合包含“由形到数”和“由数到形”两个方面，小学阶段的数形结合主要是“由形到数”，但几何直观不仅仅是“由形到数”，还有由形到其他领域的问题，因此，两者既有相互交融之处，又有各自不同之点。

在与数学名师、数学专家思想交流、碰撞的过程中，我们重新审视了“几何直观”对教与学的意义。教学中可以 “让看得见的东西来帮忙”，充分发挥实物图、小棒图、计数器、点子图、方格图、示意图、集合图、数轴等的直观作用，帮助学生学习抽象的数学知识。研究“几何直观”的最终目的是使小学生具有几何直观的能力，让学生学会用多种图形、数学符号等直观事物理解知识，分析解决问题并进行数学思考。

二、教学实践“几何直观”

有了对几何直观内涵的深入理解，就为后续的实践研究奠定了良好的基础。

（一）梳理几何直观教学内容

教材是落实数学课程标准、实现教学计划的重要载体，而且它是学科知识体系的浓缩和再现。对于一线教师来说教材又是我们进行课堂教学的一个重要依据。

第一阶段：整体分析阶段。

在这一阶段结合四大内容领域，梳理教材中有关“几何直观”的内容。进而认识到在不同内容领域的学习中其实都可以发挥“几何直观”的作用，都可以帮助我们培养学生的“几何直观”能力。

第二阶段：细化内容阶段。

在这一阶段将1～12册教材进行了逐一、细致的分析和梳理，这样“几何直观”便落实到了课时教学中。同时，也可以发现教材中有的“几何直观”素材呈现得恰到好处，有些则可以进行深度加工，创造性地使用教材。对此，教师可以深深地感受到梳理教材的价值所在。

（二）提升几何直观的教学意识

通过教材梳理，教师可以看到“图形直观”在教材中出现的频率比较多，在我们的教学中也起着非常重要的作用。因此，我们就重点围绕图形直观来与大家交流分享。

1. 以形助形

以方格图为例，在《教育大辞典（数学卷）》中提到“解决不规则图形求面积的问题，可以应用‘方格法”。这里提到的“方格法”所应用的数学工具就是我们熟悉的方格图。方格图中的每个小方格都是同样的正方形，也就是统一了单位，可以帮助学生更好地发现几何图形的特征。

例如，“周长”和“面积”是学生容易混淆的两个概念，为了帮助学生梳理知识点，教师设计了如下练习环节。

环节一：“考眼力”。

图形不断地变一变，周长与面积各自又发生了怎样的变化？

整体回顾变化的过程，学生在观察辨析中逐步体会：在图形周长不变的情况下，面积会发生的变化。

环节二：出示三个长方形，学生无法确定谁的面积最大。此时方格图成为学生解题的重要工具，把三个长方形请到方格图中，学生一下子判断出长方形的面积都是12平方厘米。同时学生发现，虽然面积相同，但长和宽不一样，周长也不一样。

在这一环节中，方格图提供给学生简单的“数据提示”，帮助学生在计算的基础上建立“形”的表象。方格图还发挥了“测量标准”的重要作用，学生通过数一数，不仅准确找到图形的面积、周长是多少，而且发现藏在面积背后的面积单位，周长背后的长度单位。

再如，在“垂直与平行”一课的教学中，面对学生对于倾斜的两条直线之间的平行关系不太理解，常有凭借感觉来判断或绘图的现象。于是教师有了这样的借助方格图来开展教学的环节设计。

环节一：从熟悉的情况中入手，初步认识。endprint

请学生思考：两条直线是怎样的关系？

环节二：在变化的表象中对比，揭示本质。

请学生思考：情况变化了，图中两条直线还互相平行吗？

这样，利用方格图帮助学生抛开了“长度”“方向”等非本质因素，让他们对两条直线的平行关系有了更清晰的认识。

环节三：在画图的过程中提升，丰富理解。

请学生操作：你能画出与下面这条直线有平行关系的直线吗？

由于是倾斜的两条直线，其位置关系是否平行，与倾斜角度有关，学生不容易理解，利用方格图截取一个长方形，学生直观地看到了斜线在方格图中的固定位置，将这个长方形进行平移与另一长方形内的斜线重合后，学生更加接受两条直线倾斜角度一样的事实，更加认可两条直线是平行的位置关系。

以上两个教学案例，都是借助方格图这种几何直观的形式，帮助学生探索、分析相关的图形，看到其背后的数学核心本质，理解核心概念，这个过程就是用形的直观帮助学生理解把握形的本质。

2. 以形助数

在小学阶段，“数的认识”贯穿于整个教学之中。在“数的认识”教学中，我们也经常运用“数轴”来帮助学生更好地理解数的概念。

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。数轴在教材中、课堂上已经是学生司空见惯的老朋友了，虽然他们可能并不知道它的名称、准确含义及其三要素，但是对于直观的数轴，学生看得懂，画得出，甚至是用得好。数轴这种特定几何图形在数与代数领域淋漓尽致地发挥出了几何直观的作用。而且，同方格纸一样，数轴也是学生在数学学习中的一种重要工具。

数轴能让各式各样的“数”有序地排列起来。学生会看到随着单位“1”不断缩小，单位长度表示的数就越来越大；随着单位“1”的放大，单位长度表示的数就越来越小。这样学生找到了自然数、分数和小数在数轴上与密密麻麻的点“一一对应”。这样通过改变单位长度，就能简明、直观地表示出所要研究的数，引导学生初步感受单位长度的意义，进而初步形成数轴模型。

而后，学生又在数轴上可以直观地看到反方向存在的数以及无限不循环小数，让数轴上“密密麻麻”的点变得“密得不能再密了”，也就是我们数学上所说的“连续”。

正是数轴的这种直观的用点来表示数的方式，使数有了直观的背景，更便于学生感知数的顺序、比较数的大小、了解数的分类。数轴除了能让各式各样的“数”有序地排列起来，还能让有关数的“概念”一目了然。

例如，什么是改写？什么是近似数？我们也可以从数轴上找到答案。

甲、乙两个数，将甲数用四舍五入法省略“万”后面的尾数约是6万，将乙数改写成以“万”为单位的数是6万。甲数和乙数比大小，（ ）。

A. 甲数=乙数 B. 甲数>乙数

C. 甲数<乙数 D. 无法确定

学生在考虑这样抽象的概念性问题时很容易陷入片面的认知。如何解决这个问题呢？我们请出数轴这个老朋友来帮忙。

借助数轴，学生可以看出：大于等于55000小于65000这个范围中的数都约等于6万，所以甲数不能确定。而乙数改写成以万做单位的数是6万，乙数只能是60000，在数轴上它的位置是固定的。

这个例子让我们看到：借助数轴特有的直观性，可以让学生更加清晰地理解改写和近似数的概念本质。

再如，教学中还可以借助数轴帮助学生理解近似数的精确度。

（ ） ≈ 2 ；（ ） ≈ 2.0

针对这个题目，学生提出了不同的观点，有人认为“≈2.0”和“≈2”是一样的，因为2和2.0大小相等；有人则认为不一样，但说不清道理。这时，我们再请出数轴来帮忙。

此时，学生惊讶地发现，精确到十分位要比精确到个位取值范围小，所以2.0比2表示的精确度更高。

在研究“数”的过程中，数轴赋予了“数”直观的背景，使抽象的数概念形象化，便于学生的理解。

3.以形助关系

图形直观除了刚才介绍的以形助形、以形助数，还有以形助关系的作用。下面就主要结合线段图和矩形图来谈谈我们的思考和实践。

线段图是揭示小学数学应用题及其他复杂数量关系的基本的、自然的手段。它不仅能将数量关系直观地描绘出来，还能很容易地发现未知问题，具有直观化、简单化的特点。

例如，

像这道分数应用题，通常教师引导学生画线段图的目的是利用量率对应关系来解答。线段图能更直观地反映出用线段表示份数的作用。

此题在图中可以看出，余下的12吨正好是1份，和烧了的4份合起来是5份，所以直接用12×5=60（吨）就能解决问题。这种解题思路就很好地体现了借助图形进行思考的手段，用形想数、数形结合，借助直观的线段图展现隐蔽的数量关系，化分数问题为整数问题，跳过了一些步骤，更加简洁、快速地获得答案。

从这个例子可以看出，线段图作为一种数学图形语言为数学思维活动提供了直观模型， 变抽象为具体， 以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的。

矩形图和线段图一样，在非几何领域的学习中也发挥着异曲同工之效。

例如，学习乘法分配律时，我们常用计算长方形面积引入，有的学生看到的是两个长方形，于是分别求面积再求和，有的学生看到的则是一个大长方形，就先求长再求面积，方法不同面积相等。

教学中三个数据可以不断变换，图形的大小也随之变化，但不变的是两种方法之间的关系，有助于学生进行推理，进而理解算理抽象出乘法分配律。

对于字母公式学生也许记不住，但这个矩形图却深深地印在学生的头脑中，为解决相关问题提供了直观模型。

从这些教学中的例子可以看出，不论线段图还是矩形图都是以直观的形态体现出一种抽象的关系，也就是我们所说的以形助关系，帮助学生获得解决问题的思路与途径。endprint

4.以形助分析

图形直观还可以辅助学生分析问题，思考数据本身的含义。

例如，“掷一掷”这节课的一个研究重点是“两个骰子一起掷‘和是几”。

在学生已经发现这些“和”出现的可能性不相等的基础上，继续研究“可能性大小”的问题。教师设计了这样一个环节：首先通过连线帮助学生找到36种搭配结果，并展示在一个个小正方形中，然后转化成11种和，再通过对直观数据的观察，将所有相同的和出现的次数进行整理，最后巧妙隐去小正方形中的数据形成一幅条形统计图。

这一系列演示不仅将一个一个零散的“和”变成一组相关的统计数据，而且最终形成的这些高高低低的条形图，既反映了“和”出现的范围，更直观反映出“和”出现可能性的大小，便于学生观察、比较和进一步分析问题。

三、研究“几何直观”的目标

我们研究的目标就是让学生运用几何直观，学会数学的思考。让学生形成运用几何直观解决问题的意识，培养学生运用几何直观的能力。

（一）培养几何直观意识——让示意图来帮忙

在课堂教学中，注重结合相应的教学内容，在培养学生利用几何直观描述与分析问题的意识与能力上下功夫，因为只有能用自己喜欢的方式准确表达出题目的意思，理解了数量之间的关系，学生才能够正确地解决问题。

例如，小鸭说我家上面有3层，下面有2层，小鸡说我家在小鸭家楼上。问小鸡和小鸭家分别住几楼，它们这栋楼一共有几层？

在解决这一问题时，教师引导学生用自己喜欢的图形符号分别表示小鸭、小鸡和楼层，先让学生按照小鸭和小鸡的话画出示意图，再结合上下位置思考并解决问题。

从学生画的图中可以发现，有的图画得非常有价值，本题呈现的楼层中有两个小动物，所以，学生选取了两种符号与其他楼层进行区分，这是学生对数学信息的正确解读。用两种特殊符号表示参照物，这是学生对数学信息的加工解读。这样的示意图不仅直观展现了题意，还把思考的过程变成可操作的材料，简洁、快速地获得答案，解决了学生当时还不能用文字和计算解决的问题，学生画的示意图真的是“画出了名堂”。

教师帮助学生养成画图的习惯是非常重要的，能画图时尽量画，将简单有趣的涂鸦行为运用到数学学习上，其实是将相对抽象的思考对象“图形化”，让看得见的东西来帮忙，进而帮助学生分析理解抽象问题。

（二）形成几何直观的能力——让数学变得简单

学生形成了几何直观的意识之后，接下来的培养目标就是让学生形成几何直观的能力。几何直观不仅仅使学生看到了什么，更重要的是要促使学生通过看到的图形联想到了什么？能否将复杂的数学问题简单化？这是数学非常重要而有价值的思维方式。

例如，学校要给颁奖台的前面涂漆，需要涂漆部分的面积是多少平方厘米？

部分学生能够观察到数据的特点，再根据图形的特征，通过分一分、画一画、移一移的活动让静态的图形动起来，把不规则的图形变成了长是150厘米，宽是40厘米的规则长方形。可见，这些学生能够在运用几何直观读懂题目的基础上进行思考，巧妙地把较难的数学问题变得简单，形成了自觉运用几何直观的能力。

很多重要的数学内容、概念，例如数、度量、函数……都具有双重性，既有数的特征，又有形的特征，只有从两个方面认识它们，运用几何直观，才能很好地理解它们，掌握它们的本质意义，让这些内容变得生动、形象起来。同时，借助几何直观，使学生收获的不仅是数学知识，更重要的是提高学生自觉运用几何直观的意识和能力。endprint

4.以形助分析

图形直观还可以辅助学生分析问题，思考数据本身的含义。

例如，“掷一掷”这节课的一个研究重点是“两个骰子一起掷‘和是几”。

在学生已经发现这些“和”出现的可能性不相等的基础上，继续研究“可能性大小”的问题。教师设计了这样一个环节：首先通过连线帮助学生找到36种搭配结果，并展示在一个个小正方形中，然后转化成11种和，再通过对直观数据的观察，将所有相同的和出现的次数进行整理，最后巧妙隐去小正方形中的数据形成一幅条形统计图。

这一系列演示不仅将一个一个零散的“和”变成一组相关的统计数据，而且最终形成的这些高高低低的条形图，既反映了“和”出现的范围，更直观反映出“和”出现可能性的大小，便于学生观察、比较和进一步分析问题。

三、研究“几何直观”的目标

我们研究的目标就是让学生运用几何直观，学会数学的思考。让学生形成运用几何直观解决问题的意识，培养学生运用几何直观的能力。

（一）培养几何直观意识——让示意图来帮忙

在课堂教学中，注重结合相应的教学内容，在培养学生利用几何直观描述与分析问题的意识与能力上下功夫，因为只有能用自己喜欢的方式准确表达出题目的意思，理解了数量之间的关系，学生才能够正确地解决问题。

例如，小鸭说我家上面有3层，下面有2层，小鸡说我家在小鸭家楼上。问小鸡和小鸭家分别住几楼，它们这栋楼一共有几层？

在解决这一问题时，教师引导学生用自己喜欢的图形符号分别表示小鸭、小鸡和楼层，先让学生按照小鸭和小鸡的话画出示意图，再结合上下位置思考并解决问题。

从学生画的图中可以发现，有的图画得非常有价值，本题呈现的楼层中有两个小动物，所以，学生选取了两种符号与其他楼层进行区分，这是学生对数学信息的正确解读。用两种特殊符号表示参照物，这是学生对数学信息的加工解读。这样的示意图不仅直观展现了题意，还把思考的过程变成可操作的材料，简洁、快速地获得答案，解决了学生当时还不能用文字和计算解决的问题，学生画的示意图真的是“画出了名堂”。

教师帮助学生养成画图的习惯是非常重要的，能画图时尽量画，将简单有趣的涂鸦行为运用到数学学习上，其实是将相对抽象的思考对象“图形化”，让看得见的东西来帮忙，进而帮助学生分析理解抽象问题。

（二）形成几何直观的能力——让数学变得简单

学生形成了几何直观的意识之后，接下来的培养目标就是让学生形成几何直观的能力。几何直观不仅仅使学生看到了什么，更重要的是要促使学生通过看到的图形联想到了什么？能否将复杂的数学问题简单化？这是数学非常重要而有价值的思维方式。

例如，学校要给颁奖台的前面涂漆，需要涂漆部分的面积是多少平方厘米？

部分学生能够观察到数据的特点，再根据图形的特征，通过分一分、画一画、移一移的活动让静态的图形动起来，把不规则的图形变成了长是150厘米，宽是40厘米的规则长方形。可见，这些学生能够在运用几何直观读懂题目的基础上进行思考，巧妙地把较难的数学问题变得简单，形成了自觉运用几何直观的能力。

很多重要的数学内容、概念，例如数、度量、函数……都具有双重性，既有数的特征，又有形的特征，只有从两个方面认识它们，运用几何直观，才能很好地理解它们，掌握它们的本质意义，让这些内容变得生动、形象起来。同时，借助几何直观，使学生收获的不仅是数学知识，更重要的是提高学生自觉运用几何直观的意识和能力。endprint

4.以形助分析

图形直观还可以辅助学生分析问题，思考数据本身的含义。

例如，“掷一掷”这节课的一个研究重点是“两个骰子一起掷‘和是几”。

在学生已经发现这些“和”出现的可能性不相等的基础上，继续研究“可能性大小”的问题。教师设计了这样一个环节：首先通过连线帮助学生找到36种搭配结果，并展示在一个个小正方形中，然后转化成11种和，再通过对直观数据的观察，将所有相同的和出现的次数进行整理，最后巧妙隐去小正方形中的数据形成一幅条形统计图。

这一系列演示不仅将一个一个零散的“和”变成一组相关的统计数据，而且最终形成的这些高高低低的条形图，既反映了“和”出现的范围，更直观反映出“和”出现可能性的大小，便于学生观察、比较和进一步分析问题。

三、研究“几何直观”的目标

我们研究的目标就是让学生运用几何直观，学会数学的思考。让学生形成运用几何直观解决问题的意识，培养学生运用几何直观的能力。

（一）培养几何直观意识——让示意图来帮忙

在课堂教学中，注重结合相应的教学内容，在培养学生利用几何直观描述与分析问题的意识与能力上下功夫，因为只有能用自己喜欢的方式准确表达出题目的意思，理解了数量之间的关系，学生才能够正确地解决问题。

例如，小鸭说我家上面有3层，下面有2层，小鸡说我家在小鸭家楼上。问小鸡和小鸭家分别住几楼，它们这栋楼一共有几层？

在解决这一问题时，教师引导学生用自己喜欢的图形符号分别表示小鸭、小鸡和楼层，先让学生按照小鸭和小鸡的话画出示意图，再结合上下位置思考并解决问题。

从学生画的图中可以发现，有的图画得非常有价值，本题呈现的楼层中有两个小动物，所以，学生选取了两种符号与其他楼层进行区分，这是学生对数学信息的正确解读。用两种特殊符号表示参照物，这是学生对数学信息的加工解读。这样的示意图不仅直观展现了题意，还把思考的过程变成可操作的材料，简洁、快速地获得答案，解决了学生当时还不能用文字和计算解决的问题，学生画的示意图真的是“画出了名堂”。

教师帮助学生养成画图的习惯是非常重要的，能画图时尽量画，将简单有趣的涂鸦行为运用到数学学习上，其实是将相对抽象的思考对象“图形化”，让看得见的东西来帮忙，进而帮助学生分析理解抽象问题。

（二）形成几何直观的能力——让数学变得简单

学生形成了几何直观的意识之后，接下来的培养目标就是让学生形成几何直观的能力。几何直观不仅仅使学生看到了什么，更重要的是要促使学生通过看到的图形联想到了什么？能否将复杂的数学问题简单化？这是数学非常重要而有价值的思维方式。

例如，学校要给颁奖台的前面涂漆，需要涂漆部分的面积是多少平方厘米？

部分学生能够观察到数据的特点，再根据图形的特征，通过分一分、画一画、移一移的活动让静态的图形动起来，把不规则的图形变成了长是150厘米，宽是40厘米的规则长方形。可见，这些学生能够在运用几何直观读懂题目的基础上进行思考，巧妙地把较难的数学问题变得简单，形成了自觉运用几何直观的能力。

很多重要的数学内容、概念，例如数、度量、函数……都具有双重性，既有数的特征，又有形的特征，只有从两个方面认识它们，运用几何直观，才能很好地理解它们，掌握它们的本质意义，让这些内容变得生动、形象起来。同时，借助几何直观，使学生收获的不仅是数学知识，更重要的是提高学生自觉运用几何直观的意识和能力。endprint