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例析在二次函数解题中常见的错误

2014-06-23王学丽

中学数学杂志(初中版) 2014年3期
关键词:对称轴交点开口

王学丽

二次函数的问题在中考时是必涉及的内容,同学们在解答中常出现这样或那样的错误,造成失分,为帮助同学们复习好本部分内容,考出好成绩,今将同学们在解答这方面的问题时出现的错误类型归纳如下.

1 不能正确把握题意,导致考虑问题不全面

例1 已知关于x的函数y=(m-4)x2+2(m+2)x+m+1的图象与x轴总有交点,求m的取值范围.

误解 由题意知Δ=4(m+2)2-4(m-4)(m+1)=28m+32>0,解得m>-87.

分析 上述解法的错误在于没有正确把握题意,误把函数y=(m-4)x2+2(m+2)x+m+1当作二次函数来解.由于函数y=(m-4)x2+2(m+2)x+m+1表达式中m的值不确定,题意又没有明确指出该函数一定是二次函数,所以应考虑m-4=0的情况.当m-4=0,即m=4时,函数y=(m-4)x2+2(m+2)x+m+1变成y=12x+5,其图象是一条直线,它与x轴有一个交点;当m-4≠0时,函数是二次函数,其图象与x轴有交点,可能有一个交点,也可能有两个交点,所以Δ>0.故原解法不严谨,缺乏对二次项的系数进行讨论,只考虑了其中的一个方面,从而导致错误.

正解 当m-4=0时,函数y=(m-4)x2+2(m+2)x+m+1=12x+5与x轴有交点.

当m-4≠0时,Δ=4(m+2)2-4(m-4)(m+1)=28m+32≥0,

解得m≥-87.即当m≥-87时,抛物线与x轴有交点.

综合以上两种情况可知,当m≥-87时,此函数的图象与x轴有交点.

2 记不准抛物线顶点坐标及对称轴而导致错误

例2 y=2x2+8x-2的顶点坐标是 .

误解 y=2x2+8x-2=2(x+2)2-10.所以顶点坐标是(2,-10).

分析 求顶点的方法可用配方法、公式法或先根据公式确定顶点的横坐标-b2a,再代入y=ax2+bx+c求出纵坐标.在用配方法把y=ax2+bx+c写成y=a[JB((]x+b2a〖JB))〗2+4ac-b24a后,其顶点坐标为[JB((]-b2a,4ac-b24a〖JB))〗,这里请同学们千万不要记错了符号.

正解 y=2x2+8x-2=2(x+2)2-10.所以顶点坐标是(-2,-10).

例3 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示,对称轴是x=1,则下列结论中正确的是( )

分析 本题为综合题,有一定难度,综合考查了二次函数的数形结合以及分析问题的能力.解答错误的原因在于没搞清楚抛物线开口方向与解析式子中a的关系.解答本题最好的方法是用排除法.首先对二次函数对应的图象作出判断,分类讨论:

(1)若二次函数的图象为第一个图,则由开口向上知a>0,对称轴为y轴知b=0,与y轴相交于于负半轴,则a2+b=a2<0,而这是不可能的,故可排除第一个图;

(2)若二次函数的图象为第二个图,由抛物线的开口向下,知a<0,对称轴为y轴知b=0,则把两交点(-2,0)、(2,0)代入解析式求得a=0(设去)或a=-4,从图上可以看出抛物线顶点的纵坐标小于3,而a2=16>3,故排除第二个图;

(3)若二次函数的图象为第三个图,由抛物线的开口向下,知a<0,对称轴在y轴右侧知b>0.则交点(-1,0)代入解析式得a-b+a2+b=0,即a2+a=0,解得a=0(设去)或a=-1.故第三个图适合;

(4)若二次函数的图象为第四个图,由抛物线的开口向上知a>0,对称轴在y轴左侧知b>0.而抛物线经过原点有a2+b=0,这与a>0,b>0相矛盾,故也排除第四个图.

正解 A.

4 不能正确的平移抛物线endprint

二次函数的问题在中考时是必涉及的内容,同学们在解答中常出现这样或那样的错误,造成失分,为帮助同学们复习好本部分内容,考出好成绩,今将同学们在解答这方面的问题时出现的错误类型归纳如下.

1 不能正确把握题意,导致考虑问题不全面

例1 已知关于x的函数y=(m-4)x2+2(m+2)x+m+1的图象与x轴总有交点,求m的取值范围.

误解 由题意知Δ=4(m+2)2-4(m-4)(m+1)=28m+32>0,解得m>-87.

分析 上述解法的错误在于没有正确把握题意,误把函数y=(m-4)x2+2(m+2)x+m+1当作二次函数来解.由于函数y=(m-4)x2+2(m+2)x+m+1表达式中m的值不确定,题意又没有明确指出该函数一定是二次函数,所以应考虑m-4=0的情况.当m-4=0,即m=4时,函数y=(m-4)x2+2(m+2)x+m+1变成y=12x+5,其图象是一条直线,它与x轴有一个交点;当m-4≠0时,函数是二次函数,其图象与x轴有交点,可能有一个交点,也可能有两个交点,所以Δ>0.故原解法不严谨,缺乏对二次项的系数进行讨论,只考虑了其中的一个方面,从而导致错误.

正解 当m-4=0时,函数y=(m-4)x2+2(m+2)x+m+1=12x+5与x轴有交点.

当m-4≠0时,Δ=4(m+2)2-4(m-4)(m+1)=28m+32≥0,

解得m≥-87.即当m≥-87时,抛物线与x轴有交点.

综合以上两种情况可知,当m≥-87时,此函数的图象与x轴有交点.

2 记不准抛物线顶点坐标及对称轴而导致错误

例2 y=2x2+8x-2的顶点坐标是 .

误解 y=2x2+8x-2=2(x+2)2-10.所以顶点坐标是(2,-10).

分析 求顶点的方法可用配方法、公式法或先根据公式确定顶点的横坐标-b2a,再代入y=ax2+bx+c求出纵坐标.在用配方法把y=ax2+bx+c写成y=a[JB((]x+b2a〖JB))〗2+4ac-b24a后,其顶点坐标为[JB((]-b2a,4ac-b24a〖JB))〗,这里请同学们千万不要记错了符号.

正解 y=2x2+8x-2=2(x+2)2-10.所以顶点坐标是(-2,-10).

例3 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示,对称轴是x=1,则下列结论中正确的是( )

分析 本题为综合题,有一定难度,综合考查了二次函数的数形结合以及分析问题的能力.解答错误的原因在于没搞清楚抛物线开口方向与解析式子中a的关系.解答本题最好的方法是用排除法.首先对二次函数对应的图象作出判断,分类讨论:

(1)若二次函数的图象为第一个图,则由开口向上知a>0,对称轴为y轴知b=0,与y轴相交于于负半轴,则a2+b=a2<0,而这是不可能的,故可排除第一个图;

(2)若二次函数的图象为第二个图,由抛物线的开口向下,知a<0,对称轴为y轴知b=0,则把两交点(-2,0)、(2,0)代入解析式求得a=0(设去)或a=-4,从图上可以看出抛物线顶点的纵坐标小于3,而a2=16>3,故排除第二个图;

(3)若二次函数的图象为第三个图,由抛物线的开口向下,知a<0,对称轴在y轴右侧知b>0.则交点(-1,0)代入解析式得a-b+a2+b=0,即a2+a=0,解得a=0(设去)或a=-1.故第三个图适合;

(4)若二次函数的图象为第四个图,由抛物线的开口向上知a>0,对称轴在y轴左侧知b>0.而抛物线经过原点有a2+b=0,这与a>0,b>0相矛盾,故也排除第四个图.

正解 A.

4 不能正确的平移抛物线endprint

二次函数的问题在中考时是必涉及的内容,同学们在解答中常出现这样或那样的错误,造成失分,为帮助同学们复习好本部分内容,考出好成绩,今将同学们在解答这方面的问题时出现的错误类型归纳如下.

1 不能正确把握题意,导致考虑问题不全面

例1 已知关于x的函数y=(m-4)x2+2(m+2)x+m+1的图象与x轴总有交点,求m的取值范围.

误解 由题意知Δ=4(m+2)2-4(m-4)(m+1)=28m+32>0,解得m>-87.

分析 上述解法的错误在于没有正确把握题意,误把函数y=(m-4)x2+2(m+2)x+m+1当作二次函数来解.由于函数y=(m-4)x2+2(m+2)x+m+1表达式中m的值不确定,题意又没有明确指出该函数一定是二次函数,所以应考虑m-4=0的情况.当m-4=0,即m=4时,函数y=(m-4)x2+2(m+2)x+m+1变成y=12x+5,其图象是一条直线,它与x轴有一个交点;当m-4≠0时,函数是二次函数,其图象与x轴有交点,可能有一个交点,也可能有两个交点,所以Δ>0.故原解法不严谨,缺乏对二次项的系数进行讨论,只考虑了其中的一个方面,从而导致错误.

正解 当m-4=0时,函数y=(m-4)x2+2(m+2)x+m+1=12x+5与x轴有交点.

当m-4≠0时,Δ=4(m+2)2-4(m-4)(m+1)=28m+32≥0,

解得m≥-87.即当m≥-87时,抛物线与x轴有交点.

综合以上两种情况可知,当m≥-87时,此函数的图象与x轴有交点.

2 记不准抛物线顶点坐标及对称轴而导致错误

例2 y=2x2+8x-2的顶点坐标是 .

误解 y=2x2+8x-2=2(x+2)2-10.所以顶点坐标是(2,-10).

分析 求顶点的方法可用配方法、公式法或先根据公式确定顶点的横坐标-b2a,再代入y=ax2+bx+c求出纵坐标.在用配方法把y=ax2+bx+c写成y=a[JB((]x+b2a〖JB))〗2+4ac-b24a后,其顶点坐标为[JB((]-b2a,4ac-b24a〖JB))〗,这里请同学们千万不要记错了符号.

正解 y=2x2+8x-2=2(x+2)2-10.所以顶点坐标是(-2,-10).

例3 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示,对称轴是x=1,则下列结论中正确的是( )

分析 本题为综合题,有一定难度,综合考查了二次函数的数形结合以及分析问题的能力.解答错误的原因在于没搞清楚抛物线开口方向与解析式子中a的关系.解答本题最好的方法是用排除法.首先对二次函数对应的图象作出判断,分类讨论:

(1)若二次函数的图象为第一个图,则由开口向上知a>0,对称轴为y轴知b=0,与y轴相交于于负半轴,则a2+b=a2<0,而这是不可能的,故可排除第一个图;

(2)若二次函数的图象为第二个图,由抛物线的开口向下,知a<0,对称轴为y轴知b=0,则把两交点(-2,0)、(2,0)代入解析式求得a=0(设去)或a=-4,从图上可以看出抛物线顶点的纵坐标小于3,而a2=16>3,故排除第二个图;

(3)若二次函数的图象为第三个图,由抛物线的开口向下,知a<0,对称轴在y轴右侧知b>0.则交点(-1,0)代入解析式得a-b+a2+b=0,即a2+a=0,解得a=0(设去)或a=-1.故第三个图适合;

(4)若二次函数的图象为第四个图,由抛物线的开口向上知a>0,对称轴在y轴左侧知b>0.而抛物线经过原点有a2+b=0,这与a>0,b>0相矛盾,故也排除第四个图.

正解 A.

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