图形平移规律在平行四边形存在性问题中的应用

邱小航

1 平移规律

人教版七年级数学下册，在《平面直角坐标系》一章“用坐标表示平移”这节内容中，总结归纳了图形平移时图形上各点坐标变化规律：

①在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或向左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）（或（x-a，y））；将点（x，y）向上（或向下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b）（或（x，y-b））；

②对一个图形平移，这个图形上所有点坐标都要发生相应变化；反过来，从图形上点的坐标的某种变化，可以看出对这个图形进行了怎样的平移.

2 基本规律应用及解题规律总结

例题：已知平面直角坐标系内三点A（2，1），B（3，-1），C（-2，2）在平面内求一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，写出D点的坐标.

分析：假若以A、B、C、D为顶点的平行四边形已经存在，则有三种情况：

图1可看作将A平移至B，C平移至D；

图2可看作将B平移至A，C平移至D；

图3可看作将C平移至A，B平移至D.

解：设D点坐标为（x，y），则

①当A（2，1）平移至B（3，-1）时，C（-2，2）平移至D（x，y），则x=-2+1=-1，y=2-2=0，故D（-1，0）；

②当B（3，-1）平移至A（2，1）时，C（-2，2）平移至D（x，y），则x=-2-1=-3，y=2+2=4，故D（-3，4）；

③当C（-2，2）平移至A（2，1）时，B（3，-1）平移至D（x，y），则x=3+4=7，y=-1-1=-2，故D（7，-2）；

综上所述，满足条件的点D有四个：分别是D1（-1，0），D2（-3，0），D3（7，-2）.

解题规律总结：例题当然有多种平移方式，图1可看作将线段AC沿AB平移至DB；或可看作将A平移至C，B平移至D等等.尽管有这么多平移方式，但它们实质是相互等价的，那么如何做到不重复不遗漏地平移呢？

首先利用平移规律②将线的平移转化成点的平移，例如“将线段AC沿线段AB平移至BD”可看作“将点A平移至B，按同样方式将C平移至D”，这样可减少研究对象种类；然后依据点的平移结合例题解题过程，可得到如下规律：在已知三点中，任选一点作为标准，按“一出二进，由已知到未知”的顺序进行平移，就会做到不重不漏.譬如上面例题，就是以A为标准，“一出”即A平移至B（A平移至C亦可）；“二进”即B平移至A；C平移至A；“由已知到未知”即每次均为已知点平移至未知点.另外，A平移至B或B平移至A时，AB为平行四边形的边；C平移至A时，AB为平行四边形的对角线.

3 平移规律在平行四边形存在性问题中的应用

3.1 单动点问题

例1 （2013年湘潭）如图4，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=12x2+bx-2的图象过C点.〖TPqxh-2.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗图4〖TS）〗

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l.当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？

（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

分析 运用平移规律解答本题问题（3）不仅思路简洁，且计算简便.

解 由（1）知C（3，1），设P（x，y）.

（ⅰ）若A（1，0）平移至B（0，2）时，C（3，1）平移至P（x，y），可得x=3-1=2，y=1+2=3，则P（2，3），此时P不在抛物线上，舍去.

（ⅱ）若B（0，2）平移至A（1，0）时，C（3，1）平移至P（x，y），可得x=3+1=4，y=1-2=-1，则P（4，-1），此时P不在抛物线上，舍去.

（ⅲ）若C（3，1）平移至A（1，0）时，B（0，2）平移至P（x，y），可得x=0-2=-2，y=2-1=1，则P（-2，1），此时P在抛物线上.

故存在P（-2，1）使四边形PACB为平行四边形.

3.2 双动点问题

例2 （2013年昆明）如图5，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D.〖TPqxh-3.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗图5〖TS）〗

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

分析 本例问题（3）中点M、N均为未知点，可先设出点M、点N坐标，并将M或N中的一个视为已知点，另一点作为未知点，仍可运用平移规律解题，这样既避免了繁杂的几何图形分析，又避开了几何推理.下面解法以A、D、N为已知点，A为标准点.

解 由（1）知y=-34x2+3x；由（2）知点D坐标为（1，94）；

设M（x，-34x2+3x），N（xN，0），

（ⅰ）当A（4，0）平移至D（1，94）时，N（xN，0）平移至M（x，-34x2+3x），则

例3 （2013年遂宁）如图6，抛物线y=-14x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，52）.直线y=kx-32过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D.〖TPqxh-4.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗图6〖TS）〗endprint

（1）求抛物线y=-14x2+bx+c与直线y=kx-32的解析式；

（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E.探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值.

分析 本题问题（2）中，P、M为未知点，C、E为已知点.同时MP∥CE，即CE为平行四边形的边，因此在应用平移规律时只需考虑“C平移至E”与“E平移至C”这两种情况即可.

解 由①知抛物线的解析式是y=-14x2-34x+52，直线的解析式是y=34x-32，

故C（0，-32），D（-8，-152），所以E（0，-152），设P（x，-14x2-34x+52），则M（x，34x-32）.

（ⅰ）若C（0，-32）平移至E（0，-152）时，P（x，-14x2-34x+52）平移至M（x，34x-32），则-14x2-34x+52-6=34x-32，解得x1=-2，x2=-4，故P（-2，-3），P（-4，-32）.

（ⅱ）若E（0，-152）平移至C（0，-32）时，P（x，-14x2-34x-52）平移至M（x，34x-32），则

-14x2-34x+52+6=34x-32，解得x1=-10，x2=4，此时P点在直线AD下方，故舍去.

综上所述，满足条件的点P共有两个，分别是（-2，-3），（-4，-32）.

3.3 多动点问题

例4 （2013年嘉兴）如图7，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=14（x-m）2-14m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD.作AE∥x轴，DE∥y轴.〖TPqxh-5.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗图7〖TS）〗

（1）当m=2时，求点B的坐标；

（2）求DE的长？

（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

分析 本题问题（3）②中A，B，D，P位置均为不定，参考答案是假设平行四边形已经存在，然后画出大致草图，利用平行四边形性质构造全等三角形，进而求出含有参数m的P点坐标.

本题图形的不确定性决定了思维的抽象性及复杂性，要想画出草图是很难的，故而图形分析难度大.如此，几何推理就难以展开，解题思路也会处处受阻.但若运用平移规律就会化繁为简，化抽象为具体，绕开画图这个难点，更不需要图形分析、几何推理，轻松解答题目.在运用平移规律时，首先应将这些坐标中含参数的点当作已知点，并选择标准点，依据解题规律按步骤解题即可.另外，依据条件“DP∥AB”，可知AB为平行四边形的边，则只需考虑“A平移至B”与“B平移至A”两种情况即可.

解 抛物线y=14（x-m）2-14m2+m顶点A的坐标为（m，-14m2+m），与y轴交点B的坐标为（0，m）.

由（3）①知D（2m，-14m2+m+4），

由（3）①知y与x的函数关系式为y=-116x2+12x+4，

故可设P（x，-116x2+12x+4）.endprint

（1）求抛物线y=-14x2+bx+c与直线y=kx-32的解析式；

（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E.探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值.

分析 本题问题（2）中，P、M为未知点，C、E为已知点.同时MP∥CE，即CE为平行四边形的边，因此在应用平移规律时只需考虑“C平移至E”与“E平移至C”这两种情况即可.

解 由①知抛物线的解析式是y=-14x2-34x+52，直线的解析式是y=34x-32，

故C（0，-32），D（-8，-152），所以E（0，-152），设P（x，-14x2-34x+52），则M（x，34x-32）.

（ⅰ）若C（0，-32）平移至E（0，-152）时，P（x，-14x2-34x+52）平移至M（x，34x-32），则-14x2-34x+52-6=34x-32，解得x1=-2，x2=-4，故P（-2，-3），P（-4，-32）.

（ⅱ）若E（0，-152）平移至C（0，-32）时，P（x，-14x2-34x-52）平移至M（x，34x-32），则

-14x2-34x+52+6=34x-32，解得x1=-10，x2=4，此时P点在直线AD下方，故舍去.

综上所述，满足条件的点P共有两个，分别是（-2，-3），（-4，-32）.

3.3 多动点问题

例4 （2013年嘉兴）如图7，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=14（x-m）2-14m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD.作AE∥x轴，DE∥y轴.〖TPqxh-5.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗图7〖TS）〗

（1）当m=2时，求点B的坐标；

（2）求DE的长？

（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

分析 本题问题（3）②中A，B，D，P位置均为不定，参考答案是假设平行四边形已经存在，然后画出大致草图，利用平行四边形性质构造全等三角形，进而求出含有参数m的P点坐标.

本题图形的不确定性决定了思维的抽象性及复杂性，要想画出草图是很难的，故而图形分析难度大.如此，几何推理就难以展开，解题思路也会处处受阻.但若运用平移规律就会化繁为简，化抽象为具体，绕开画图这个难点，更不需要图形分析、几何推理，轻松解答题目.在运用平移规律时，首先应将这些坐标中含参数的点当作已知点，并选择标准点，依据解题规律按步骤解题即可.另外，依据条件“DP∥AB”，可知AB为平行四边形的边，则只需考虑“A平移至B”与“B平移至A”两种情况即可.

解 抛物线y=14（x-m）2-14m2+m顶点A的坐标为（m，-14m2+m），与y轴交点B的坐标为（0，m）.

由（3）①知D（2m，-14m2+m+4），

由（3）①知y与x的函数关系式为y=-116x2+12x+4，

故可设P（x，-116x2+12x+4）.endprint

（1）求抛物线y=-14x2+bx+c与直线y=kx-32的解析式；

（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E.探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值.

分析 本题问题（2）中，P、M为未知点，C、E为已知点.同时MP∥CE，即CE为平行四边形的边，因此在应用平移规律时只需考虑“C平移至E”与“E平移至C”这两种情况即可.

解 由①知抛物线的解析式是y=-14x2-34x+52，直线的解析式是y=34x-32，

故C（0，-32），D（-8，-152），所以E（0，-152），设P（x，-14x2-34x+52），则M（x，34x-32）.

（ⅰ）若C（0，-32）平移至E（0，-152）时，P（x，-14x2-34x+52）平移至M（x，34x-32），则-14x2-34x+52-6=34x-32，解得x1=-2，x2=-4，故P（-2，-3），P（-4，-32）.

（ⅱ）若E（0，-152）平移至C（0，-32）时，P（x，-14x2-34x-52）平移至M（x，34x-32），则

-14x2-34x+52+6=34x-32，解得x1=-10，x2=4，此时P点在直线AD下方，故舍去.

综上所述，满足条件的点P共有两个，分别是（-2，-3），（-4，-32）.

3.3 多动点问题

例4 （2013年嘉兴）如图7，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=14（x-m）2-14m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD.作AE∥x轴，DE∥y轴.〖TPqxh-5.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗图7〖TS）〗

（1）当m=2时，求点B的坐标；

（2）求DE的长？

（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

分析 本题问题（3）②中A，B，D，P位置均为不定，参考答案是假设平行四边形已经存在，然后画出大致草图，利用平行四边形性质构造全等三角形，进而求出含有参数m的P点坐标.

本题图形的不确定性决定了思维的抽象性及复杂性，要想画出草图是很难的，故而图形分析难度大.如此，几何推理就难以展开，解题思路也会处处受阻.但若运用平移规律就会化繁为简，化抽象为具体，绕开画图这个难点，更不需要图形分析、几何推理，轻松解答题目.在运用平移规律时，首先应将这些坐标中含参数的点当作已知点，并选择标准点，依据解题规律按步骤解题即可.另外，依据条件“DP∥AB”，可知AB为平行四边形的边，则只需考虑“A平移至B”与“B平移至A”两种情况即可.

解 抛物线y=14（x-m）2-14m2+m顶点A的坐标为（m，-14m2+m），与y轴交点B的坐标为（0，m）.

由（3）①知D（2m，-14m2+m+4），

由（3）①知y与x的函数关系式为y=-116x2+12x+4，

故可设P（x，-116x2+12x+4）.endprint