一道月考题的反思、联想与拓展

沈岳夫

波利亚指出：“拿一个有意义但又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域.”在引领中考数学复习的教学过程中，以典型试题作为案例引导学生自主探究，学生每解决一个数学问题，教师就引导学生对自己解决的问题进行反思、联想.一方面反思问题的解题方法、思路是否具有规律性，能否迁移处理类似的问题；另一方面反思问题的图形结构能否改变，命题的条件能否弱化或加强，结论能否拓展、引申与推广.这样不但可以深化学生对问题的理解，优化思维过程，完善认知结构，而且可以提高学生自主探究、分析问题的创新能力.本文选取一道月考试题作为案例进行反思、联想、拓展，以飨读者.1 试题及其解析

例1 如图1，抛物线y=x2的顶点为P，A、B是抛物线上两点，AB∥x轴，四边形ABCD为矩形，CD边经过点P，AB=2AD.

（1）求矩形ABCD的面积；

（2）若将抛物线“y=x2”改为抛物线“y=2x2”，其他条件不变，则矩形ABCD的面积为 ；若将抛物线“y=x2”改为抛物线“y=2x2+1”，其他条件不变，则矩形ABCD的面积为 ；

（3）若将抛物线“y=x2”改为抛物线“y=12x2+x+1”，其他条件不变，求矩形ABCD的面积.如图2若改为抛物线“y=ax2+bx+c”（a、b、c为常数，a≠0），影响矩形ABCD面积的是a、b、c中的哪个量，直接写出矩形ABCD的面积.〖TPsyf-1.tif，BP〗〖TS（〗〖JZ〗图1 图2〖TS）〗

解析 （1）显然，可知P（0，0）.设DP=AD=m（m>0，下同），则不难得D（-m，0），A（-m，m）.由（-m）2=m，进而求得m=0（舍），m=1，所以矩形ABCD的面积为：AB·AD=2m2=2.

（2）仿照（1），不难求得本题答案依次是：12，12.

附加题：如图6，设抛物线y1=a1（x+h1）2+k1，则C（-h1，k1）.过点C作CE⊥AB于点E，设AE=m，则B（-h1+m，k1+〖KF（〗3〖KF）〗m）.不难求得m=〖KF（〗3〖KF）〗a1.进而得B（-h1+〖KF（〗3〖KF）〗a1，k1+3a1）.又点B为抛物线的C2顶点，所以y2=a2（x+h1-〖KF（〗3〖KF）〗a1）2+k1+3a1.因为抛物线C2经过C点，进而解得a2=-a1.从而得=-a1〖JB（[〗x2+2〖JB（（〗h1-〖KF（〗3〖KF）〗a1〖JB））〗x+〖JB（（〗h1-〖KF（〗3〖KF）〗a1〖JB））〗2〖JB）]〗+k1+3a1，则b2=-2a1〖JB（（〗h1-〖KF（〗3〖KF）〗a1〖JB））〗，即b2=-2a1〖JB（（〗b12a1-〖KF（〗3〖KF）〗a1〖JB））〗，化简整理得b1+b2=2〖KF（〗3〖KF）〗.

评注 此题构造巧妙，问题前后设计逐层递进，思维引导拾级而上.第（1）问是探究1的变式，难度不大，类比解决；第（2）问 与第（1）问相比，虽然表象发生了变化，解题思路一脉相承；附加题看似与前面没有关联，但只有在充分消化、理解、吸收第（1）问、第（2）问的基础上，才能找到解题的突破口——用顶点式表示出顶点C的坐标→得到点B的坐标→代入抛物线C2，得到C2的解析式→……，即抓住点C、点B的双重身份解决问题.纵观整道题目及解答过程，可获得如下的思维脉络：感知（获得初步经验）——领悟（对经验的提炼、积累）——变通（把经验系统化、智能化）——迁移（活学活用，把经验转化为新情景下的思路，形成新的经验）.如此的循环往复，学生的基本活动就有了经验获得后成功的正能量支撑，为后续的学习蕴足动力.

学生的疑难主要是知识性疑难和策略性疑难.毋庸置疑，经过这样的课堂训练，对架构在抛物线上图形变换的规律题掌握比较熟练、扎实，这样的训练一定是有效的，甚至是高效的，因为很好地解决了学生的知识性疑难.前面着重强调对学生学习方法的训练，如果再追加探究3，那就更有利于对学生全面分析问题和解决问题思维品质的培养，提高他们的发散力和创新力，为培养高尖人才奠定基础，因为有效地帮助学生解决了策略性疑难.

探究3 若将例1题中的“y=x2”改为“y=ax2+bx+c”，“AB =2AD”条件不要，其他条件不变，探索矩形ABCD面积为常数时，矩形ABCD需要满足什么条件？并说明理由.

解析 ABAD为常数.设抛物线y=a（x+h）2+n，则P（-h，n）.设AD=m，由ABAD=k，得AB=km， PD=12AB=km2.则A〖JB（（〗-h-km2，n+m〖JB））〗，不难解得m=4ak2，所以矩形ABCD的面积为：AB·AD=km2=16a2k3.因为a 为常数，所以k为常数时，矩形 ABCD的面积为常数.

评注 本题是例1的拓展题，为学生提供了一个自主探究、观察、猜想并进行说理验证的探究模型，让学生能在一个逆向的数学情境中感悟知识的发生、发展过程，探索问题的结论和规律的边与不变，从而真正理解此类问题的特征，对所有学生来说是公平、公正的，同时也对学生的学习与教师的教学起到一个很好的引领作用. 4 几点思考

由于在复习时间紧、任务重，我们既要系统地复习主干知识和核心知识，又要关注中考的热点和试题特征，准确把握复习方向；既要注重学生解题的数量和质量，又要注重揭示解题的思维过程，发现学生思维上的漏洞，及时加以弥补；既要关注习题的选择，又要防止单纯地就题论题，注重解题后的反思，以积累解题经验、形成能力为落脚点；既要重视知识的综合、联系，又要关注数学思想方法、策略、学科能力的训练和培养，把复习工作真正落到实处.在此，提出以下几点反思.

4.1 反思解题思路

解题思路的形成，就是把从题目中捕捉的有关信息与从储存机构中提取的有关信息结合起来，进行加工、重组与再生的过程.对思路的形成过程进行反思，就是在解题结束后，回顾自己是如何对信息进行加工、重组与再生.长期坚持这样的反思，就可以总结出规律性的经验，有利于思维监控能力的提高，更是一种学会学习能力的培养.endprint

4.2 反思解题方法

著名数学家波利亚指出“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾……如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面” .很多数学题，由于审题的角度不同，往往有多种解法，如果只满足于解出就行，时间长了学生会养成“背题”的习惯，而不善于分析和思考.因此，解完一道题后，不应满足于已有解法，而应再审题、再思考，看能否从其他角度或途径去寻求新解，寻求最佳的解决方案. 4.3 反思解题规律

解题最基本的目的使学生加深对知识的理解，掌握思考问题基本方法，形成技能、技巧，实现能力的有效迁移.因此，解完题目后，想一想：这道题渗透了哪些思想方法？有没有规律可循？力求揭示解题规律，做到一般性的推广和延伸，从而提高学生的化归能力，提高自我监控能力.特别是有些重要的数学思想和方法的教学会分散在多次课中完成，这就需要学生做有心人，做好“回头望”工作，把相关问题的解决方法进行归类整理，形成系统，整体把握，再次遇到这类问题就能触类旁通，要让习题教学到达提高学生学习能力的目的.

从例1与3个探究过程中我们可以发现：猜想“改变图形位置中结论变与不变”一类问题的命题思路为：问题（1）是根据特殊图形（图形的特殊位置）直接给出结论或证明的过程；问题（2）是考查学生由问题（1）搜索提取的有效信息，能否进行合理的类比归纳提出猜想，并对猜想选取有效解题策略进行逻辑推理与证明；问题（3）是由问题（2）的拓展与延伸，当然是在原题条件的基础上弱化条件，变换图形，继续探究问题结论变与不变.这样的设计符合学生的认知规律，既有利于学生发现数学结论的形成过程和数学思想方法的具体运用.同时学生在解决问题的层层深化推进的过程中，体验到合情推理有助于探索解决问题的思路、发现和猜想结论；演绎推理有助于验证结论的正确性.更重要的是给我们数学教学指明了航向，要求我们教师要突破传统习题教学——题海战术的瓶颈，发挥自己的教学智慧，积极挖掘课本中有效教学的素材，精心选编有典型性、可拓展性、迁移性的“题源”，对问题的条件、结论、背景进行创造性的改编，挖掘出问题的本质，通过边与不变，培养学生对问题进行深层次构建的数学能力，强化学生思维探究的灵活性、深刻性、创造性.能够从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索出“变”的规律，学会数学地思考，体验“会当凌绝顶，一览众山小”解题境界.endprint

4.2 反思解题方法

著名数学家波利亚指出“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾……如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面” .很多数学题，由于审题的角度不同，往往有多种解法，如果只满足于解出就行，时间长了学生会养成“背题”的习惯，而不善于分析和思考.因此，解完一道题后，不应满足于已有解法，而应再审题、再思考，看能否从其他角度或途径去寻求新解，寻求最佳的解决方案. 4.3 反思解题规律

解题最基本的目的使学生加深对知识的理解，掌握思考问题基本方法，形成技能、技巧，实现能力的有效迁移.因此，解完题目后，想一想：这道题渗透了哪些思想方法？有没有规律可循？力求揭示解题规律，做到一般性的推广和延伸，从而提高学生的化归能力，提高自我监控能力.特别是有些重要的数学思想和方法的教学会分散在多次课中完成，这就需要学生做有心人，做好“回头望”工作，把相关问题的解决方法进行归类整理，形成系统，整体把握，再次遇到这类问题就能触类旁通，要让习题教学到达提高学生学习能力的目的.

从例1与3个探究过程中我们可以发现：猜想“改变图形位置中结论变与不变”一类问题的命题思路为：问题（1）是根据特殊图形（图形的特殊位置）直接给出结论或证明的过程；问题（2）是考查学生由问题（1）搜索提取的有效信息，能否进行合理的类比归纳提出猜想，并对猜想选取有效解题策略进行逻辑推理与证明；问题（3）是由问题（2）的拓展与延伸，当然是在原题条件的基础上弱化条件，变换图形，继续探究问题结论变与不变.这样的设计符合学生的认知规律，既有利于学生发现数学结论的形成过程和数学思想方法的具体运用.同时学生在解决问题的层层深化推进的过程中，体验到合情推理有助于探索解决问题的思路、发现和猜想结论；演绎推理有助于验证结论的正确性.更重要的是给我们数学教学指明了航向，要求我们教师要突破传统习题教学——题海战术的瓶颈，发挥自己的教学智慧，积极挖掘课本中有效教学的素材，精心选编有典型性、可拓展性、迁移性的“题源”，对问题的条件、结论、背景进行创造性的改编，挖掘出问题的本质，通过边与不变，培养学生对问题进行深层次构建的数学能力，强化学生思维探究的灵活性、深刻性、创造性.能够从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索出“变”的规律，学会数学地思考，体验“会当凌绝顶，一览众山小”解题境界.endprint

4.2 反思解题方法

著名数学家波利亚指出“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾……如果没有了反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面” .很多数学题，由于审题的角度不同，往往有多种解法，如果只满足于解出就行，时间长了学生会养成“背题”的习惯，而不善于分析和思考.因此，解完一道题后，不应满足于已有解法，而应再审题、再思考，看能否从其他角度或途径去寻求新解，寻求最佳的解决方案. 4.3 反思解题规律

解题最基本的目的使学生加深对知识的理解，掌握思考问题基本方法，形成技能、技巧，实现能力的有效迁移.因此，解完题目后，想一想：这道题渗透了哪些思想方法？有没有规律可循？力求揭示解题规律，做到一般性的推广和延伸，从而提高学生的化归能力，提高自我监控能力.特别是有些重要的数学思想和方法的教学会分散在多次课中完成，这就需要学生做有心人，做好“回头望”工作，把相关问题的解决方法进行归类整理，形成系统，整体把握，再次遇到这类问题就能触类旁通，要让习题教学到达提高学生学习能力的目的.

从例1与3个探究过程中我们可以发现：猜想“改变图形位置中结论变与不变”一类问题的命题思路为：问题（1）是根据特殊图形（图形的特殊位置）直接给出结论或证明的过程；问题（2）是考查学生由问题（1）搜索提取的有效信息，能否进行合理的类比归纳提出猜想，并对猜想选取有效解题策略进行逻辑推理与证明；问题（3）是由问题（2）的拓展与延伸，当然是在原题条件的基础上弱化条件，变换图形，继续探究问题结论变与不变.这样的设计符合学生的认知规律，既有利于学生发现数学结论的形成过程和数学思想方法的具体运用.同时学生在解决问题的层层深化推进的过程中，体验到合情推理有助于探索解决问题的思路、发现和猜想结论；演绎推理有助于验证结论的正确性.更重要的是给我们数学教学指明了航向，要求我们教师要突破传统习题教学——题海战术的瓶颈，发挥自己的教学智慧，积极挖掘课本中有效教学的素材，精心选编有典型性、可拓展性、迁移性的“题源”，对问题的条件、结论、背景进行创造性的改编，挖掘出问题的本质，通过边与不变，培养学生对问题进行深层次构建的数学能力，强化学生思维探究的灵活性、深刻性、创造性.能够从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索出“变”的规律，学会数学地思考，体验“会当凌绝顶，一览众山小”解题境界.endprint