用位似变换再探正方形的内接正三角形问题

金巨明+徐燕云

本文对文[1]与文[2]进行比较，通过联想、类比、知识的迁移，得出一种作正方形的内接正三角形的新方法.

1 经典回顾一

文[1]中提到我们把顶点都在正方形边上的正三角形叫做正方形的内接正三角形.

如图1，已知正方形ABCD.求作：等边△EFG，使G、F、E方别在正方形ABCD边AB、BC、CD上.

分析 假设△EFG为正方形的一内接正三角形，不妨设其中的两点G、E在正方形一组对边AB、CD上（图1）.

作△EFG边EG上的高PF，则G、B、F、P四点共圆.连接BP，则∠FBP=∠FGP=60°.同理，∠FCP=∠FEP=60°.所以△PBC是正三角形，因正△PBC是一定的，所以点P是一个定点.而且定点P是GE的中点.经过点A（或点D）、点P的边最长，得最大正三角形，于是得：

作法：如图1，（1）在正方形ABCD内作正△PBC；

（2）过点P作EG，交AB边于点G，交对边CD于点E；

（3）过点P作PF⊥GE交BC于点F，连接GF、EF，则△EFG即为所求.

文[2]中的问题一：如何利用尺规作图的方法作出长宽符合一定比例的三角形的内接矩形？

如图2，已知△ABC，求作△ABC的内接矩形，使DE在BC边上，点G、F分别在AB、AC边上，且DE∶DG=2∶1.

分析 求作的矩形要满足四个条件：①DE在BC边上；②G在AB边上；③F在AC边上；④DE∶DG=2∶1.要同时满足这么多条件比较困难，不妨先退一步，即先放弃一个条件，比如放弃“F在AC边上”这个条件，那样的矩形就比较好作，然后再选择适当的位似中心进行位似变换，从而把点F定在AC上，再作图就简单多了.

作法 （1）作矩形D′E′F′G′，使D′E′在BC边上，G′在AB边上，且D′E′∶D′G′=2∶1；

（2）连接BF′并延长BF′交AC于点F；

（3）过点F作FG∥BC交AB于点G；

（4）分别过点F、G作BC的垂线，垂足分别为E、D；

则四边形DEFG就是所求的矩形.

证明 由作法知：∠FED=∠GDE=90°，

FG∥ED，则∠FGD=90°，

所以四边形DEFG是矩形.

因为E′F′EF=BF′BF=F′G′FG，即FGEF=F′G′E′F′.

由作法知F′G′E′F′=D′E′D′G′=21，

所以FGEF=21，即DE∶DG=2∶1.

3 对新作法的启示

在正方形内求作等边三角形是否也可以用位似变换的方法来解决呢？

题目：已知正方形ABCD，求作：等边△EFG，使G、F、E方别在正方形ABCD边AB、BC、CD上.

分析 求作的正三角形要满足D、F、E方别在正方形ABCD边AB、BC、CD上，要同时满足这么多条件比较困难，不妨先退一步，即先放弃一个条件，比如放弃“E在CD边上”这个条件，那样的正三角形就比较好作，然后再选择适当的位似中心进行位似变换，从而把点E定在CD上，再作图就简单多了（图3）.

作法 （1）在AB、BC上分别取两点G′、F′，且满足：15°≤∠BG′F′≤45°；

（2）作正△G′F′E′，使B、E′在直线G′F′的异侧；

（3）连接BE′并延长，交CD于点E；

（4）过点E分别作G′E′、F′E′的平行线交AB、BC于点G、F；连接GF；

则△EFG就是所求的正三角形.

证明 由作法可知：

△BG′E′∽△BGE，△BF′E′∽△BFE，

所以BE′BE=G′E′GE，BE′BE=F′E′FE，

所以G′E′GE=F′E′FE，又因为∠G′E′F′=∠GEF，

所以△G′E′F′∽△GEF，

所以△EFG是正三角形.

正三角形的面积的大小由边长决定，边长越小，〖LL〗面积越大，反之，也成立.利用几何画板，点G′、F′在变化的过程中发现：（1）当点G与点A或点D与点E重合（图4、5），即∠BG′F′=15°或45°，则正三角形的边长最长，面积最大；（2）当GE∥AD（图6），即∠BG′F′=30°时，正三角形的边长最短，面积最小.

（3）点G′、点F′在变化的过程中，运用几何画板，得到线段GE的运动轨迹（如图7中的阴影部分），巧妙地解决了点P是一个定点的问题，再用文[1]的方法进行证明，自然贴切，相得益彰.

数学是一门探究的学科，在平时的教学积累中，教师应善于总结，精炼培养学生思维品质的优秀素材，开发学生潜在的思维能力，用位似变换来探究正方形的内接正三角形，不失为一堂优秀的探究课.

参考文献

[1] 李发勇.正方形的内接正三角形的探究[J].中学数学杂志，2011（8）：32-33.

[2] 王宁.三角形内接多边形的作法探讨[J].中学数学杂志，2013（8）：37-38.

[3] 周余孝.用相似法再探正方形的一个分割问题[J].中学数学杂志，2012（6）：64-65.endprint

本文对文[1]与文[2]进行比较，通过联想、类比、知识的迁移，得出一种作正方形的内接正三角形的新方法.

1 经典回顾一

文[1]中提到我们把顶点都在正方形边上的正三角形叫做正方形的内接正三角形.

如图1，已知正方形ABCD.求作：等边△EFG，使G、F、E方别在正方形ABCD边AB、BC、CD上.

分析 假设△EFG为正方形的一内接正三角形，不妨设其中的两点G、E在正方形一组对边AB、CD上（图1）.

作△EFG边EG上的高PF，则G、B、F、P四点共圆.连接BP，则∠FBP=∠FGP=60°.同理，∠FCP=∠FEP=60°.所以△PBC是正三角形，因正△PBC是一定的，所以点P是一个定点.而且定点P是GE的中点.经过点A（或点D）、点P的边最长，得最大正三角形，于是得：

作法：如图1，（1）在正方形ABCD内作正△PBC；

（2）过点P作EG，交AB边于点G，交对边CD于点E；

（3）过点P作PF⊥GE交BC于点F，连接GF、EF，则△EFG即为所求.

文[2]中的问题一：如何利用尺规作图的方法作出长宽符合一定比例的三角形的内接矩形？

如图2，已知△ABC，求作△ABC的内接矩形，使DE在BC边上，点G、F分别在AB、AC边上，且DE∶DG=2∶1.

分析 求作的矩形要满足四个条件：①DE在BC边上；②G在AB边上；③F在AC边上；④DE∶DG=2∶1.要同时满足这么多条件比较困难，不妨先退一步，即先放弃一个条件，比如放弃“F在AC边上”这个条件，那样的矩形就比较好作，然后再选择适当的位似中心进行位似变换，从而把点F定在AC上，再作图就简单多了.

作法 （1）作矩形D′E′F′G′，使D′E′在BC边上，G′在AB边上，且D′E′∶D′G′=2∶1；

（2）连接BF′并延长BF′交AC于点F；

（3）过点F作FG∥BC交AB于点G；

（4）分别过点F、G作BC的垂线，垂足分别为E、D；

则四边形DEFG就是所求的矩形.

证明 由作法知：∠FED=∠GDE=90°，

FG∥ED，则∠FGD=90°，

所以四边形DEFG是矩形.

因为E′F′EF=BF′BF=F′G′FG，即FGEF=F′G′E′F′.

由作法知F′G′E′F′=D′E′D′G′=21，

所以FGEF=21，即DE∶DG=2∶1.

3 对新作法的启示

在正方形内求作等边三角形是否也可以用位似变换的方法来解决呢？

题目：已知正方形ABCD，求作：等边△EFG，使G、F、E方别在正方形ABCD边AB、BC、CD上.

分析 求作的正三角形要满足D、F、E方别在正方形ABCD边AB、BC、CD上，要同时满足这么多条件比较困难，不妨先退一步，即先放弃一个条件，比如放弃“E在CD边上”这个条件，那样的正三角形就比较好作，然后再选择适当的位似中心进行位似变换，从而把点E定在CD上，再作图就简单多了（图3）.

作法 （1）在AB、BC上分别取两点G′、F′，且满足：15°≤∠BG′F′≤45°；

（2）作正△G′F′E′，使B、E′在直线G′F′的异侧；

（3）连接BE′并延长，交CD于点E；

（4）过点E分别作G′E′、F′E′的平行线交AB、BC于点G、F；连接GF；

则△EFG就是所求的正三角形.

证明 由作法可知：

△BG′E′∽△BGE，△BF′E′∽△BFE，

所以BE′BE=G′E′GE，BE′BE=F′E′FE，

所以G′E′GE=F′E′FE，又因为∠G′E′F′=∠GEF，

所以△G′E′F′∽△GEF，

所以△EFG是正三角形.

正三角形的面积的大小由边长决定，边长越小，〖LL〗面积越大，反之，也成立.利用几何画板，点G′、F′在变化的过程中发现：（1）当点G与点A或点D与点E重合（图4、5），即∠BG′F′=15°或45°，则正三角形的边长最长，面积最大；（2）当GE∥AD（图6），即∠BG′F′=30°时，正三角形的边长最短，面积最小.

（3）点G′、点F′在变化的过程中，运用几何画板，得到线段GE的运动轨迹（如图7中的阴影部分），巧妙地解决了点P是一个定点的问题，再用文[1]的方法进行证明，自然贴切，相得益彰.

数学是一门探究的学科，在平时的教学积累中，教师应善于总结，精炼培养学生思维品质的优秀素材，开发学生潜在的思维能力，用位似变换来探究正方形的内接正三角形，不失为一堂优秀的探究课.

参考文献

[1] 李发勇.正方形的内接正三角形的探究[J].中学数学杂志，2011（8）：32-33.

[2] 王宁.三角形内接多边形的作法探讨[J].中学数学杂志，2013（8）：37-38.

[3] 周余孝.用相似法再探正方形的一个分割问题[J].中学数学杂志，2012（6）：64-65.endprint

本文对文[1]与文[2]进行比较，通过联想、类比、知识的迁移，得出一种作正方形的内接正三角形的新方法.

1 经典回顾一

文[1]中提到我们把顶点都在正方形边上的正三角形叫做正方形的内接正三角形.

如图1，已知正方形ABCD.求作：等边△EFG，使G、F、E方别在正方形ABCD边AB、BC、CD上.

分析 假设△EFG为正方形的一内接正三角形，不妨设其中的两点G、E在正方形一组对边AB、CD上（图1）.

作△EFG边EG上的高PF，则G、B、F、P四点共圆.连接BP，则∠FBP=∠FGP=60°.同理，∠FCP=∠FEP=60°.所以△PBC是正三角形，因正△PBC是一定的，所以点P是一个定点.而且定点P是GE的中点.经过点A（或点D）、点P的边最长，得最大正三角形，于是得：

作法：如图1，（1）在正方形ABCD内作正△PBC；

（2）过点P作EG，交AB边于点G，交对边CD于点E；

（3）过点P作PF⊥GE交BC于点F，连接GF、EF，则△EFG即为所求.

文[2]中的问题一：如何利用尺规作图的方法作出长宽符合一定比例的三角形的内接矩形？

如图2，已知△ABC，求作△ABC的内接矩形，使DE在BC边上，点G、F分别在AB、AC边上，且DE∶DG=2∶1.

分析 求作的矩形要满足四个条件：①DE在BC边上；②G在AB边上；③F在AC边上；④DE∶DG=2∶1.要同时满足这么多条件比较困难，不妨先退一步，即先放弃一个条件，比如放弃“F在AC边上”这个条件，那样的矩形就比较好作，然后再选择适当的位似中心进行位似变换，从而把点F定在AC上，再作图就简单多了.

作法 （1）作矩形D′E′F′G′，使D′E′在BC边上，G′在AB边上，且D′E′∶D′G′=2∶1；

（2）连接BF′并延长BF′交AC于点F；

（3）过点F作FG∥BC交AB于点G；

（4）分别过点F、G作BC的垂线，垂足分别为E、D；

则四边形DEFG就是所求的矩形.

证明 由作法知：∠FED=∠GDE=90°，

FG∥ED，则∠FGD=90°，

所以四边形DEFG是矩形.

因为E′F′EF=BF′BF=F′G′FG，即FGEF=F′G′E′F′.

由作法知F′G′E′F′=D′E′D′G′=21，

所以FGEF=21，即DE∶DG=2∶1.

3 对新作法的启示

在正方形内求作等边三角形是否也可以用位似变换的方法来解决呢？

题目：已知正方形ABCD，求作：等边△EFG，使G、F、E方别在正方形ABCD边AB、BC、CD上.

分析 求作的正三角形要满足D、F、E方别在正方形ABCD边AB、BC、CD上，要同时满足这么多条件比较困难，不妨先退一步，即先放弃一个条件，比如放弃“E在CD边上”这个条件，那样的正三角形就比较好作，然后再选择适当的位似中心进行位似变换，从而把点E定在CD上，再作图就简单多了（图3）.

作法 （1）在AB、BC上分别取两点G′、F′，且满足：15°≤∠BG′F′≤45°；

（2）作正△G′F′E′，使B、E′在直线G′F′的异侧；

（3）连接BE′并延长，交CD于点E；

（4）过点E分别作G′E′、F′E′的平行线交AB、BC于点G、F；连接GF；

则△EFG就是所求的正三角形.

证明 由作法可知：

△BG′E′∽△BGE，△BF′E′∽△BFE，

所以BE′BE=G′E′GE，BE′BE=F′E′FE，

所以G′E′GE=F′E′FE，又因为∠G′E′F′=∠GEF，

所以△G′E′F′∽△GEF，

所以△EFG是正三角形.

正三角形的面积的大小由边长决定，边长越小，〖LL〗面积越大，反之，也成立.利用几何画板，点G′、F′在变化的过程中发现：（1）当点G与点A或点D与点E重合（图4、5），即∠BG′F′=15°或45°，则正三角形的边长最长，面积最大；（2）当GE∥AD（图6），即∠BG′F′=30°时，正三角形的边长最短，面积最小.

（3）点G′、点F′在变化的过程中，运用几何画板，得到线段GE的运动轨迹（如图7中的阴影部分），巧妙地解决了点P是一个定点的问题，再用文[1]的方法进行证明，自然贴切，相得益彰.

数学是一门探究的学科，在平时的教学积累中，教师应善于总结，精炼培养学生思维品质的优秀素材，开发学生潜在的思维能力，用位似变换来探究正方形的内接正三角形，不失为一堂优秀的探究课.

参考文献

[1] 李发勇.正方形的内接正三角形的探究[J].中学数学杂志，2011（8）：32-33.

[2] 王宁.三角形内接多边形的作法探讨[J].中学数学杂志，2013（8）：37-38.

[3] 周余孝.用相似法再探正方形的一个分割问题[J].中学数学杂志，2012（6）：64-65.endprint