斯特瓦特定理的纯几何证法

丁位卿

阿基米德（公元前287年—前212年），古希腊数学家与物理学家，被后人尊称为“数学之神”和“力学之父”，深得欧几里德《几何原本》的精髓，他的许多数学和物理上的独特思想与发现，已远远超越了他所处的那个时代.

单墫教授《数学名题词典》[1]介绍说：“据史料记载，斯特瓦特定理（以下简称斯氏定理），在公元前3世纪，由阿基米德首先发现并证明，1746年英国数学家斯特瓦特（Stewart）重新发现了它，可用来计算三角形中一些特殊线段的长（如中线、角平分线等）.”阿基米德如何证明斯氏定理，成为一个千古之谜，不过，圆的知识他已运用得炉火纯青.笔者潜心钻研，借助三角形外接圆，得到了如下的纯几何证法，供读者参考指正.

斯特瓦特定理 如图1，P为△ABC底边BC上任意一点，则

AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.

证明 如图2，作△ABC的外接圆⊙O，P为底边BC边上一点，延长AP与⊙O交于D，连接BD、DC.不失一般性，设∠ABC>∠ACB，故过B点可作∠ABE=∠ACB交AP于E点，同样，过C作∠ACF=∠ABC交PD（或其延长线）于F点.由作法知∠ABE=∠ACB，又∠ACB=∠ADB，所以∠ABE=∠ADB.又因为∠BAE=∠BAD，所以△ABE∽△ABDAEAB=ABADAB2=AE·AD=（AP-EP）·AD=AP·AD-EP·AD.……①

同理可证，△ACF∽△ACDAC2=AF·AD=（AP+PF）AD=AP·AD+PF·AD.……②

在⊙O与△ABC中，∠BEP=∠ABE+∠BAD.又∠ABE=∠ACB，∠BAD=∠BCD，所以∠BEP=∠ACB+∠BCD=∠ACD.

同理可证，∠PFC=∠ACD.所以∠BEP=∠PFCBE∥FC△BEP∽△CFPEPPF=BPPCPF·BP-EP·PC=0.……③

观察①、②、③式，为消去EP和PF，

故①×PC+②×BP，并略加整理（注意到③式）得，

AB2·PC+AC2·BP=AP·AD（PC+BP）+（PF·BP-EP·PC）AD=AP·AD·BC=AP（AP+PD）BC=（AP2+AP·PD）BC，又因为AP·PD=BP·PC（相交弦定理），所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.斯氏定理得证.〖TPdwq-3.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗图3〖TS）〗

当∠ABC=∠ACB时，△BEP与△CFP退化为BP、PC两条线段，此时，EP=PF=0（E、P、F三点重合），③显然成立，其余证明完全相同.

需要说明的是：

（1）P为BC中点时，即BP=PC时，可得2AB2+2AC2=4AP2+BC2，此即为三角形中线公式.

（2）当AP为∠BAC的角平

分线时，由斯氏定理结合角平分线定理，可求出角平分线长度，AP2=AB·AC-BP·PC，此即为另一著名的斯库顿定理（证明略），同时也揭示出两定理之间的神秘关系.

参考文献

[1] 单墫.数学名题词典[M].南京：江苏教育出版社，2002：350.endprint

阿基米德（公元前287年—前212年），古希腊数学家与物理学家，被后人尊称为“数学之神”和“力学之父”，深得欧几里德《几何原本》的精髓，他的许多数学和物理上的独特思想与发现，已远远超越了他所处的那个时代.

单墫教授《数学名题词典》[1]介绍说：“据史料记载，斯特瓦特定理（以下简称斯氏定理），在公元前3世纪，由阿基米德首先发现并证明，1746年英国数学家斯特瓦特（Stewart）重新发现了它，可用来计算三角形中一些特殊线段的长（如中线、角平分线等）.”阿基米德如何证明斯氏定理，成为一个千古之谜，不过，圆的知识他已运用得炉火纯青.笔者潜心钻研，借助三角形外接圆，得到了如下的纯几何证法，供读者参考指正.

斯特瓦特定理 如图1，P为△ABC底边BC上任意一点，则

AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.

证明 如图2，作△ABC的外接圆⊙O，P为底边BC边上一点，延长AP与⊙O交于D，连接BD、DC.不失一般性，设∠ABC>∠ACB，故过B点可作∠ABE=∠ACB交AP于E点，同样，过C作∠ACF=∠ABC交PD（或其延长线）于F点.由作法知∠ABE=∠ACB，又∠ACB=∠ADB，所以∠ABE=∠ADB.又因为∠BAE=∠BAD，所以△ABE∽△ABDAEAB=ABADAB2=AE·AD=（AP-EP）·AD=AP·AD-EP·AD.……①

同理可证，△ACF∽△ACDAC2=AF·AD=（AP+PF）AD=AP·AD+PF·AD.……②

在⊙O与△ABC中，∠BEP=∠ABE+∠BAD.又∠ABE=∠ACB，∠BAD=∠BCD，所以∠BEP=∠ACB+∠BCD=∠ACD.

同理可证，∠PFC=∠ACD.所以∠BEP=∠PFCBE∥FC△BEP∽△CFPEPPF=BPPCPF·BP-EP·PC=0.……③

观察①、②、③式，为消去EP和PF，

故①×PC+②×BP，并略加整理（注意到③式）得，

AB2·PC+AC2·BP=AP·AD（PC+BP）+（PF·BP-EP·PC）AD=AP·AD·BC=AP（AP+PD）BC=（AP2+AP·PD）BC，又因为AP·PD=BP·PC（相交弦定理），所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.斯氏定理得证.〖TPdwq-3.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗图3〖TS）〗

当∠ABC=∠ACB时，△BEP与△CFP退化为BP、PC两条线段，此时，EP=PF=0（E、P、F三点重合），③显然成立，其余证明完全相同.

需要说明的是：

（1）P为BC中点时，即BP=PC时，可得2AB2+2AC2=4AP2+BC2，此即为三角形中线公式.

（2）当AP为∠BAC的角平

分线时，由斯氏定理结合角平分线定理，可求出角平分线长度，AP2=AB·AC-BP·PC，此即为另一著名的斯库顿定理（证明略），同时也揭示出两定理之间的神秘关系.

参考文献

[1] 单墫.数学名题词典[M].南京：江苏教育出版社，2002：350.endprint

阿基米德（公元前287年—前212年），古希腊数学家与物理学家，被后人尊称为“数学之神”和“力学之父”，深得欧几里德《几何原本》的精髓，他的许多数学和物理上的独特思想与发现，已远远超越了他所处的那个时代.

单墫教授《数学名题词典》[1]介绍说：“据史料记载，斯特瓦特定理（以下简称斯氏定理），在公元前3世纪，由阿基米德首先发现并证明，1746年英国数学家斯特瓦特（Stewart）重新发现了它，可用来计算三角形中一些特殊线段的长（如中线、角平分线等）.”阿基米德如何证明斯氏定理，成为一个千古之谜，不过，圆的知识他已运用得炉火纯青.笔者潜心钻研，借助三角形外接圆，得到了如下的纯几何证法，供读者参考指正.

斯特瓦特定理 如图1，P为△ABC底边BC上任意一点，则

AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.

证明 如图2，作△ABC的外接圆⊙O，P为底边BC边上一点，延长AP与⊙O交于D，连接BD、DC.不失一般性，设∠ABC>∠ACB，故过B点可作∠ABE=∠ACB交AP于E点，同样，过C作∠ACF=∠ABC交PD（或其延长线）于F点.由作法知∠ABE=∠ACB，又∠ACB=∠ADB，所以∠ABE=∠ADB.又因为∠BAE=∠BAD，所以△ABE∽△ABDAEAB=ABADAB2=AE·AD=（AP-EP）·AD=AP·AD-EP·AD.……①

同理可证，△ACF∽△ACDAC2=AF·AD=（AP+PF）AD=AP·AD+PF·AD.……②

在⊙O与△ABC中，∠BEP=∠ABE+∠BAD.又∠ABE=∠ACB，∠BAD=∠BCD，所以∠BEP=∠ACB+∠BCD=∠ACD.

同理可证，∠PFC=∠ACD.所以∠BEP=∠PFCBE∥FC△BEP∽△CFPEPPF=BPPCPF·BP-EP·PC=0.……③

观察①、②、③式，为消去EP和PF，

故①×PC+②×BP，并略加整理（注意到③式）得，

AB2·PC+AC2·BP=AP·AD（PC+BP）+（PF·BP-EP·PC）AD=AP·AD·BC=AP（AP+PD）BC=（AP2+AP·PD）BC，又因为AP·PD=BP·PC（相交弦定理），所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.斯氏定理得证.〖TPdwq-3.tif，Y〗〖TS（〗〖JZ〗图3〖TS）〗

当∠ABC=∠ACB时，△BEP与△CFP退化为BP、PC两条线段，此时，EP=PF=0（E、P、F三点重合），③显然成立，其余证明完全相同.

需要说明的是：

（1）P为BC中点时，即BP=PC时，可得2AB2+2AC2=4AP2+BC2，此即为三角形中线公式.

（2）当AP为∠BAC的角平

分线时，由斯氏定理结合角平分线定理，可求出角平分线长度，AP2=AB·AC-BP·PC，此即为另一著名的斯库顿定理（证明略），同时也揭示出两定理之间的神秘关系.

参考文献

[1] 单墫.数学名题词典[M].南京：江苏教育出版社，2002：350.endprint