再论初中数学课标“基本事实”的选取

钟劲松

义务教育数学课程标准（2011年版）列出共9条基本事实，其中把“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”作为基本事实.教材编写时不需要去证明，在证明其他命题时可以直接作为结论使用.笔者认为课标中“基本事实”规定不宜过多，本条“基本事实”也可以通过演绎推理的方法加以证明.

1 教材的处理方法

选择作业本上不相邻的三条平行线，任意画两条直线m、n与它们相交.如果m、n这两条直线平行（如图1），观察并思考这时所得的AD、DB、FE、EC这四条线段的长度有什么关系；如果m、n这两条直线不平行（如图2），你再观察一下，也可以量一量，算一算，看看它们是否存在类似的关系.

经过观察、测量、验证等过程，发现与三条平行线相交的任意一条直线所截得的两条线段之比，都等于它们所对应的两条平行线之间的距离的比.

2 三种处理方法

方法一：如图3，有一组平行直线l1∥l2∥l3…lk∥…∥ln-1∥ln，另外，直线A1An与直线B1Bn被这一组平行直线分别截于点A1，A2，…，Ak，…，An-1，An和点B1，B2，B3，…，Bk，…，Bn-1，Bn，根据已学定理（通过平移后证明三角形全等），可以得到：如果A1A2=A2A3=…=An-1An，那么B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn.

这时，如果A1A2=A2A3=…=An-1An=a，B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn=b，

容易推得：

A1AkAkAn=ka（n-k）a=kn-k，B1BkBkBn=kb（n-k）b=kn-k，

所以有A1AkAkAn=B1BkBkBn，

即两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

方法二：如图4，已知直线a∥b∥c，l1，l2被直线a，b，c截得的线段为AB，BC和A1B1，B1C1.已知ABBC=23，那么A1B1B1C1=23吗？〖HJ1.4mm〗

把线段AB二等分，分点为D，过点D作直线d∥a，交l2于点D1.把线段BC三等分，分点为E，F，分别过点E，F作直线e∥a，f∥a，分别交l2于点E1，F1.由已知ABBC=23，得12AB=13BC.由于AD=DB=12AB，BE=EF=FC=13BC.

因此AD=DB=BE=EF=FC.

由于a∥d∥b∥e∥f∥c，因此A1D1=D1B1=B1E1=E1F1=F1C1.

从而A1B1B1C1=2AD13B1E1=23.

类似地，可以证明：直线a∥b∥c，直线l1，l2被直线a，b，c截得的线段分别为AB，BC和A1B1，B1C1，若ABBC=mn（其中m，n是正整数），则A1B1B1C1=mn，从而ABBC=A1B1B1C1.

方法三：如图5，两条直线分别与三条平行线顺次交于点A，B，C和X，Y，Z，则有ABBC=XYYZ.endprint

义务教育数学课程标准（2011年版）列出共9条基本事实，其中把“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”作为基本事实.教材编写时不需要去证明，在证明其他命题时可以直接作为结论使用.笔者认为课标中“基本事实”规定不宜过多，本条“基本事实”也可以通过演绎推理的方法加以证明.

1 教材的处理方法

选择作业本上不相邻的三条平行线，任意画两条直线m、n与它们相交.如果m、n这两条直线平行（如图1），观察并思考这时所得的AD、DB、FE、EC这四条线段的长度有什么关系；如果m、n这两条直线不平行（如图2），你再观察一下，也可以量一量，算一算，看看它们是否存在类似的关系.

经过观察、测量、验证等过程，发现与三条平行线相交的任意一条直线所截得的两条线段之比，都等于它们所对应的两条平行线之间的距离的比.

2 三种处理方法

方法一：如图3，有一组平行直线l1∥l2∥l3…lk∥…∥ln-1∥ln，另外，直线A1An与直线B1Bn被这一组平行直线分别截于点A1，A2，…，Ak，…，An-1，An和点B1，B2，B3，…，Bk，…，Bn-1，Bn，根据已学定理（通过平移后证明三角形全等），可以得到：如果A1A2=A2A3=…=An-1An，那么B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn.

这时，如果A1A2=A2A3=…=An-1An=a，B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn=b，

容易推得：

A1AkAkAn=ka（n-k）a=kn-k，B1BkBkBn=kb（n-k）b=kn-k，

所以有A1AkAkAn=B1BkBkBn，

即两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

方法二：如图4，已知直线a∥b∥c，l1，l2被直线a，b，c截得的线段为AB，BC和A1B1，B1C1.已知ABBC=23，那么A1B1B1C1=23吗？〖HJ1.4mm〗

把线段AB二等分，分点为D，过点D作直线d∥a，交l2于点D1.把线段BC三等分，分点为E，F，分别过点E，F作直线e∥a，f∥a，分别交l2于点E1，F1.由已知ABBC=23，得12AB=13BC.由于AD=DB=12AB，BE=EF=FC=13BC.

因此AD=DB=BE=EF=FC.

由于a∥d∥b∥e∥f∥c，因此A1D1=D1B1=B1E1=E1F1=F1C1.

从而A1B1B1C1=2AD13B1E1=23.

类似地，可以证明：直线a∥b∥c，直线l1，l2被直线a，b，c截得的线段分别为AB，BC和A1B1，B1C1，若ABBC=mn（其中m，n是正整数），则A1B1B1C1=mn，从而ABBC=A1B1B1C1.

方法三：如图5，两条直线分别与三条平行线顺次交于点A，B，C和X，Y，Z，则有ABBC=XYYZ.endprint

义务教育数学课程标准（2011年版）列出共9条基本事实，其中把“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”作为基本事实.教材编写时不需要去证明，在证明其他命题时可以直接作为结论使用.笔者认为课标中“基本事实”规定不宜过多，本条“基本事实”也可以通过演绎推理的方法加以证明.

1 教材的处理方法

选择作业本上不相邻的三条平行线，任意画两条直线m、n与它们相交.如果m、n这两条直线平行（如图1），观察并思考这时所得的AD、DB、FE、EC这四条线段的长度有什么关系；如果m、n这两条直线不平行（如图2），你再观察一下，也可以量一量，算一算，看看它们是否存在类似的关系.

经过观察、测量、验证等过程，发现与三条平行线相交的任意一条直线所截得的两条线段之比，都等于它们所对应的两条平行线之间的距离的比.

2 三种处理方法

方法一：如图3，有一组平行直线l1∥l2∥l3…lk∥…∥ln-1∥ln，另外，直线A1An与直线B1Bn被这一组平行直线分别截于点A1，A2，…，Ak，…，An-1，An和点B1，B2，B3，…，Bk，…，Bn-1，Bn，根据已学定理（通过平移后证明三角形全等），可以得到：如果A1A2=A2A3=…=An-1An，那么B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn.

这时，如果A1A2=A2A3=…=An-1An=a，B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn=b，

容易推得：

A1AkAkAn=ka（n-k）a=kn-k，B1BkBkBn=kb（n-k）b=kn-k，

所以有A1AkAkAn=B1BkBkBn，

即两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

方法二：如图4，已知直线a∥b∥c，l1，l2被直线a，b，c截得的线段为AB，BC和A1B1，B1C1.已知ABBC=23，那么A1B1B1C1=23吗？〖HJ1.4mm〗

把线段AB二等分，分点为D，过点D作直线d∥a，交l2于点D1.把线段BC三等分，分点为E，F，分别过点E，F作直线e∥a，f∥a，分别交l2于点E1，F1.由已知ABBC=23，得12AB=13BC.由于AD=DB=12AB，BE=EF=FC=13BC.

因此AD=DB=BE=EF=FC.

由于a∥d∥b∥e∥f∥c，因此A1D1=D1B1=B1E1=E1F1=F1C1.

从而A1B1B1C1=2AD13B1E1=23.

类似地，可以证明：直线a∥b∥c，直线l1，l2被直线a，b，c截得的线段分别为AB，BC和A1B1，B1C1，若ABBC=mn（其中m，n是正整数），则A1B1B1C1=mn，从而ABBC=A1B1B1C1.

方法三：如图5，两条直线分别与三条平行线顺次交于点A，B，C和X，Y，Z，则有ABBC=XYYZ.endprint