“分点线三角形面积定理”的另证
2011-02-02颜美玲杭州外国语学校浙江杭州310023
●颜美玲 (杭州外国语学校 浙江杭州 310023)
“分点线三角形面积定理”的另证
●颜美玲 (杭州外国语学校 浙江杭州 310023)
《数学通讯》2007年第23期刊登了题为《分点线三角形面积定理》一文[1],其中介绍了分点线三角形的定义及面积的有关结论如下:
定义1三角形顶点及对边分点的连线称为三角形的分点线.
定义2由三角形的分点线围成的三角形称为分点线三角形.
文献[1]中添加了3条辅助线,利用面积之间的关系证明了上述定理.本文尝试用复数法证明并得到了更优美的结论.
图1
1 预备知识
1.1 三角形面积公式
如图1,△ABC 的边AB,BC,CA 上的分点分别为 D,E,F,AE 和CD,BF 和 AE,CD和BF分别交于点P,Q,R,则CD,BF,AE称为△ABC的分点线,△PQR称为△ABC的分点线三角形.
定理1设△ABC的面积为S,D,E,F分别是边AB,BC,CA的分点,AE和CD,BF 和AE,CD 和BF 分别交于点P,Q,R,且AD ∶DB=λ1,BE ∶EC=λ2,CF ∶FA=λ3,则分点三角形△PQR的面积为
1.2 定比分点公式
2 复数法证明定理
证明如图2,以B为原点,BC轴为实轴引进复平面,则
图2
注2定理1中3个分点分别在3条边上,如果3个分点在边的延长线上呢?根据复数法的证明不难发现该方法对分点在边延长线上也同样适用.故结论可统一为:
定理2设△ABC的面积为S,D,E,F分别是AB,BC,CA的分点(分点在边上或者在边的延长线上),直线 AE 和 CD,BF 和 AE,CD 和 BF 分别交于点 P,Q,R,且 AD ∶DB=λ1,BE ∶EC=λ2,CF ∶FA=λ,则
[1] 张荣远.分点线三角形面积定理[J].数学通讯,2007(23):29-30.
[2] 程其坚.怎样用复数解题[M].上海:上海教育出版社,1964.