简谐成分的盲源分离适用性研究

董建超，杨铁军，李新辉，代 路

（哈尔滨工程大学动力与能源工程学院，黑龙江 哈尔滨150001）

简谐成分的盲源分离适用性研究

董建超，杨铁军，李新辉，代 路

（哈尔滨工程大学动力与能源工程学院，黑龙江 哈尔滨150001）

盲源分离问题（BSS）大多基于信源信号的独立性假设或者时间结构假设条件来展开研究，对信源的不当假设可能导致算法过学习，产生虚假的信源识别结果。针对机械系统中普遍存在的简谐成分，研究了BSS方法应用于简谐成分盲分离的适用性。简要介绍了2种典型的BSS方法——独立分量分析方法（ICA）和二阶盲辨识方法（SOBI），通过峭度分析简谐信号的非高斯性，发现当简谐信号构成傅里叶级数系时，有可能构成非高斯性更强的信号。应用FastICA算法和SOBI算法进行简谐信号盲分离的仿真研究以及简支梁结构模态识别的实验研究。结果表明：当简谐信号构成傅里叶级数系时，ICA方法会优先分离非高斯性更强的信号，导致方法过学习；而SOBI方法能确保简谐成分的盲分离过程准确可靠。

盲源分离；独立分量分析；二阶盲辨识；峭度；模态识别；简谐成分

大量船用机械设备趋于复杂化和联合化，振动传递复杂，要得到具有真实物理特性的振源信号非常困难。如何从测得的混合信号中提取各个振源原始的振动信号并且确定设备近似的传输特性，成为船用设备故障诊断、振动噪声控制与优化设计中的首要问题。近年来，仅仅通过观测信号估计源信号的盲源分离方法（blind source separation，BSS）在机械工程领域得到广泛的应用［1-6］。G.Kerschen［7-8］、Zhou W［9］等在应用BSS方法进行弱阻尼条件下的结构模态识别研究中，发现二阶统计量方法（secondorder blind identification，SOBI）能够得到更好的识别效果。文献［10］提出了一种基于希尔伯特变换（Hilbert transform）的二阶盲辨识方法，并与传统的动力学分析方法—特征系统实现算法（eigensystem realization algorithm，ERA）进行对比，研究复模态盲识别的有效性。文献［11］提出了一种新的二阶盲辨识方法（non-Hermitian joint approximate diagonalization，NoHeJAD）以解决激起的模态多于传感器数目时，系统模态辨识的问题。以上研究针对机械系统盲问题展开了研究，但是并未对BSS方法与机械系统振动源统计特征的对应关系和适用条件进行深入地分析。BSS方法基于概率理论，严格依照信源的某种假设条件来估计统计意义上的信源信号。对信源统计特性的不当假设可能导致算法过学习，不同的BSS方法会得到大相径庭的信源估计。实际船用机械设备的振动存在着大量的简谐成分，具有明显的线谱特征。当简谐信号的频率呈整数比关系时，它们之间满足互不相关性但是不独立［12］。针对简谐信号的统计特征进行盲源分离适用性研究，能够防止机械系统盲分离过学习情况的出现，对于船舶机械系统的振动源识别有着重要意义。在现有研究的基础上，提出通过峭度来定量地评价简谐信号的非高斯性并提出BSS方法的适用条件，应用基于独立性假设条件的高阶统计量方法与基于时间结构假设条件的二阶统计量方法，进行简谐信号盲分离仿真研究与简支梁结构模态识别的实验研究，分析BSS方法应用于简谐成分盲分离的适用性，以确保机械系统盲分离过程准确可靠。

1 BSS概述

1.1 BSS数学模型

BSS是指源信号、传递通道特性未知的情况下，仅由观测信号和源信号的一些先验知识（如概率密度、时间结构等特征）估计出源信号的过程。针对源信号不同的混合方式，如线性瞬时混合、线性卷积混合、非线性混合等，需要采用不同类型的BSS方法来进行混合通道的估计及信源分离。其中线性瞬时混合方式最为简单，是研究BSS问题的基础［4］。针对这种混合方式的算法最为成熟并且应用最广。无噪声的情况下，线性瞬时混合模型可描述为

其中，s（t）＝［s1（t），s2（t），…，sN（t）］T是 N 维未知的源信号向量，x（t）＝［x1（t），x2（t），…，xM（t）］T是M维观测信号向量（M≥N），由信源信号经矩阵A混合而成，A为未知满秩的M×N维混合矩阵。

BSS的目的是寻找一个N×M的满秩矩阵来恢复源信号：

式中：B是根据一定的判决准则得到的分离矩阵，y（t）为源信号的估计。在混合过程中，s（t）乘上任意的置换矩阵P与非奇异对角阵D，会导致幅值与次序的改变，这些变化可以通过混合矩阵A乘上PT与D-1而抵消，如：

所以信源的估计结果y（t）存在着幅值与顺序的不确定性。由于信号的统计特征主要包含于波形中，这2种不确定性是可以接受的。

1.2 基于不同信源假设条件的BSS方法

按照信源的假设条件来分类，BSS方法大致分为2种［4-6］：1）假设信源在时间结构上独立同分布且具有非高斯性，利用高阶统计量方法——独立分量分析（independent component analysis，ICA）进行信源分离；2）假设信源具有一定的时间结构特征，利用二阶统计量的方法（second order blind identification，SOBI）进行信源分离。

基于信源满足独立同分布且非高斯的假设前提的ICA方法，其基本思想是在独立性假设的前提下，寻求某种线性变换—分离矩阵，使得输出信号尽可能地相互独立。判定信号是否相互独立的准则有很多种，如互信息测度、信息极大化、极大似然等。在此采用ICA固定点算法—FastICA算法［5］进行简谐成分的盲分离仿真与结构模态识别实验研究，算法细节可参考文献［4-5］。

对于具有时间结构的信号来说，可以利用信源在不同时间延迟时刻处的自相关函数互不相同的特性，对混合信号的零时延协方差矩阵与不同时延的协方差矩阵进行联合对角化［6］，实现信源分离。在时间延迟的选择上，一般分为一步延迟方法（AMUSE算法）和多步延迟方法（SOBI算法）。当存在噪声干扰时，单步延迟的时延协方差矩阵对角化会对噪声非常敏感，而多步延迟的时延协方差矩阵联合对角化的鲁棒性更好［6］。相关文献进行了附加噪声情况下的仿真研究［8］，当噪声标准差达到为信号的35%时，SOBI算法识别模态振型的模态置信准则仍不低于0.996，分离的模态响应与理论模态响应的标准均方误差仍低于0.05，算法对噪声干扰具有良好的鲁棒性。本文的仿真与实验研究中将采用SOBI算法，相关细节可参考文献［13-15］。对比2种算法的分离结果，以此研究简谐成分盲分离问题中不同BSS方法的适用性。

2 简谐成分盲分离仿真

2.1 简谐信号的非高斯性

机械设备的振动信号中大多含有简谐成分，例如结构的模态响应，旋转机械的振动等。对简谐信号的统计特性进行预先研究，能够帮助选择更恰当的方法，实现振源信号的分离。

统计特征是针对随机变量提出的，对于简谐信号这样的确定性信号来说，可以用振幅、频率与相位进行精确描述，没有必要分析它的统计量。如果假定相角为 ±π区间服从均匀分布的随机变量，不同相位的简谐信号集合便构成了随机过程，这样可以从理论上分析简谐信号的非高斯性，进而研究盲源分离方法应用于简谐成分的适用性问题。在此采用峭度来评价简谐信号的非高斯性。零均值情况下，信号s的峭度定义如下［6］：

归一化后的峭度κs为

定义简谐信号s＝sin（t+θ）的随机相角θ服从均匀分布，其概率密度函数p（θ）：

经过推导［12］，得到简谐信号的概率密度函数p（s）：

计算简谐信号s的归一化峭度：

图1（a）所示为简谐信号的概率密度函数曲线，图中离散杆图为简谐信号的概率密度曲线，虚线为标准正态分布概率密度曲线。可见，简谐信号的概率密度曲线比高斯概率密度曲线更平坦［2］，且具有负峭度，说明具有随机相位的简谐信号为亚高斯信号。

实际机械结构的振动噪声信号往往由许多简谐成分耦合叠加而成，由傅里叶级数理论可知，当一组简谐信号的频率与幅值呈一定关系时，它们能够叠加组成非简谐的周期函数。工程中常见的方波信号就是由一系列不同频率的正弦波叠加而成。定义方波信号f（t+θ）的周期为2π，幅值为1，随机相位θ服从均匀分布，该信号可以展成如下形式：

其概率密度p（f）：

根据中心矩的比例性与线性［4-5］，方波信号的归一化峭度κf计算如下：

图1（b）所示为方波信号的概率密度函数曲线，图中离散杆图为方波信号的概率密度曲线，虚线为标准正态分布概率密度曲线。该信号集中在 ±1的位置，并且峭度κf小于简谐信号的峭度κs，可知具有随机相位的方波信号是非高斯性更强的亚高斯信号。

图1 信号概率密度曲线Fig.1 Probability density function curves of signals

当简谐信源信号构成式（9）所示的傅里叶级数系时，能够叠加产生非高斯性更强的方波信号，这时如果使用基于独立性假设的ICA方法进行盲源分离，会导致算法过学习，产生虚假的信源分离结果。

2.2 ICA与SOBI信源分离对比

本节应用FastICA算法与SOBI算法，针对一组频率呈整数比的简谐信号进行BSS仿真。信源s定义为6个正弦信号，频率分别为1、3、5、7、9、11Hz，初始相位均为零。信源经6×6维随机矩阵A到混合信号x，A的条件数为14.41，为非奇异阵。简谐信源信号及混合信号如图2所示。

图2 简谐信号及混合信号Fig.2 Harmonic signals and mixed signals

图3 FastICA分离的信源Fig.3 Separated sources using FastICA

图4 SOBI分离的信源Fig.4 Separated sources using SOBI

图5 分离信源的峭度Fig.5 Kurtosis of separated sources

由于独立性的假设，当信源能构成非高斯性更强的信号，ICA方法会优先将其作为虚假信源分离出来，盲源分离过程失效。而二阶统计量方法仅利用了信号时延协方差矩阵的信息来代替高阶统计量，所以能够得到准确的信源。

3 BSS应用于模态识别

模态分析是结构动力学分析应用最为广泛的一种方法，然而在某些特定场合，传统的模态分析技术受到一定的限制。例如针对某些大型结构或特殊系统进行模态分析时，人为施加激励几乎难以实现；又如在工作条件下进行结构的工作模态识别，实际载荷往往未知。因此，基于BSS的机械结构参数辨识技术以其特有的优势（仅仅利用响应信号）逐渐得到了应用［7-11］。G.Kerschen［7-8］等人最先将结构振型与混合矩阵列向量进行联系，并将结构模态响应视作“虚拟信号源”。本节将应用FastICA与SOBI算法进行结构模态识别实验研究，以分析方法的适用性。

在分析机械结构的动力学特性时，需要把连续分布的实际系统简化成离散化模型。线性n自由度系统的运动方程为

式中：M、C和K分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，F（t）为激励力向量，和x（t）分别表示系统的加速度、速度和位移向量。

应用模态叠加理论进行分析，n自由度系统的自由振动响应可表示为式中：ξi、ωi和φi分别表示第i阶模态的阻尼比、固有频率和相位；Ai为常数，由初始条件决定；ψi为第i阶模态振型向量，表示各阶模态对响应的贡献率，数学意义可理解为加权系数。式（13）用矩阵形式可表示为

式中：Ψ＝ [ψ1，ψ2，…ψn]为振型矩阵，由n阶振型列向量ψi组成；q（t）＝ [q1（t），q2（t），…qn（t）]T为模态响应向量，qi（t）＝Aie-ξitcos（ωit+φi）为第i阶模态响应向量。欠阻尼情况下，模态响应是一系列以各阶模态频率振荡的指数衰减的简谐振动。系统的响应x（t）由模态响应q（t）经过振型矩阵Ψ线性叠加而成。将式（1）与BSS问题联系起来，模态响应q（t）可视为“虚拟信号源”，振型矩阵对应为混合矩阵。应用BSS方法，仅利用响应x（t）就可以进行机械系统的模态识别分析。

当各阶模态频率不为整数比时，模态响应q（t）是相互独立的，不构成傅里叶级数系，此时应用ICA方法可以实现模态识别。但是一些简单结构，例如简支边界条件下的等截面细直杆的纵向振动、等截面直圆轴的扭转振动、等截面细直梁的弯曲振动等［16］，其模态频率都呈整数比关系。而且对于某些结构复杂的机械系统，模态非常密集，其频率近似呈整数比的情况难以避免，这时模态响应构成了傅里叶级数系，相互之间不再独立，若采用ICA方法会导致过学习，使得模态识别结果失效。此时需要利用模态响应的时间结构特性，应用SOBI方法进行模态识别分析。

4 实验研究

本节应用BSS方法进行了两端简支约束的钢梁结构的模态识别实验研究。简支梁实验台如图6所示。梁的材料为 45号钢，尺寸为0.64 m× 0.056 m×0.008 m。应用力锤对简支梁施加瞬态的冲击力，在梁上布置6个加速度传感器拾取响应信号。实验台架如图 6所示。传感器型号为B＆K4382型压电式加速度传感器，拾取的结构响应信号经PULSE3560D型信号分析系统采集存储，信号时长2 s，采样频率为8 192 Hz。

激励点与测点位置的选取原则是避开前六阶模态的节点，以此保证前六阶的结构模态被激励起来，并且传感器能拾取到模态响应。定义图5中的梁左端为坐标原点，前六阶模态振型的乘积（归一化并取绝对值）如图7所示，图中打星号位置为各阶模态振型的节点，选取激励点及测点时应避开这些位置。实验中激励点位置选为0.40 m，测点布置在0.08、0.18、0.28、0.36、0.46、0.56 m。

图6 简支梁实验台Fig.6 The simply supported beam experiment rig

本实验中，不能保证响应信号对各阶模态响应都进行了整周期地采集，而且模态响应是指数衰减的简谐信号，因此峭度不再适合作为分离的门限标准。文献［10］中利用识别的频率与阻尼比人为构造简谐衰减信号，通过计算分离信号与构造信号之间的标准均方误差来评价结果的准确度。本文通过估计的模态振型与理论模态振型之间的模态置信准则MAC（modal assurance criterion）［7］，来定量评价振型识别的准确程度。两阶模态振型ψi和ψj之间的MAC（ψi，ψj）计算如下：

对分离矩阵求逆阵，得到估计的混合矩阵，其列向量对应为各阶模态振型。MAC的值介于0和1之间，数值越大说明2个模态振型的相关度越高。

图8为各个响应信号xi及其频谱xfi，由于篇幅所限，图中仅显示0～0.1 s时间段内的信号及0～2 kHz频段内的频谱。由频谱可知，各个响应信号基本都包含6个频率成分，说明至少有六阶结构模态被激发出来，并且均被传感器拾取。

图8 响应信号及频谱Fig.8 Response signals and their spectrum

图9 FastICA识别的模态响应Fig.9 Identified modal responses using FastICA

图10 SOBI识别的模态响应Fig.10 Identified modal responses using SOBI

图11 估计振型与理论振型对比Fig.11 Comparison between estimated and theoretical modes

表1 模态频率及模态置信准则Table 1 Natural frequencies and MAC

实验中，部分模态未能识别的原因分析如下：简支梁各阶固有频率呈整数比，比值为1∶4∶9∶…，模态响应构成了傅里叶级数系，因此ICA方法识别出虚假的模态，只是完成了部分低阶模态的识别。另外，模态频率的识别存在误差是由于：传感器安装在结构上带来了附加质量，使得结构的固有频率降低。

5 结束语

本文通过峭度定量地评价简谐信号的非高斯性，发现当简谐信号构成傅里叶级数系时，存在能构成非高斯性更强的信号的可能性。应用2种典型的BSS算法进行了相关仿真与实验研究，结果表明：基于非高斯性假设的ICA方法在简谐信号频率呈比例的情况下，会优先将非高斯性更强的信号作为虚假的信源分离出来，出现过学习情况，从而导致信源分离失效；而利用信源信号的时间相关性与空间不相关性，采用二阶统计量的SOBI方法能正确稳定地实现简谐成分的盲分离。

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Research on the applicability of the blind source separation of harmonic components

DONG Jianchao，YANG Tiejun，LI Xinhui，DAI Lu

（Power and Energy Engineering College，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

Most blind source separation（BSS）problems are solved on the basis of the independence assumption of signals or the assumption of time structure.Inappropriate assumptions may result in algorithm overlearning，and furthermore lead to spurious identification of the signal source.The aim of this paper is to exploit the applicability of BSS methods used in blind separation of harmonic components，which are ubiquitous in mechanical systems.Firstly，two BSS methods，namely independent component analysis（ICA）and second order blind identification（SOBI），are described；then，the non-Gausianity of the harmonic signals is analyzed by kurtosis，finding that a signal with more intense non-Gausianity may be formed when the harmonic signals constitute a Fourier series；finally，the FastICA algorithm and SOBI algorithm are applied to the simulation of the blind separation of harmonic signals and the experimental research of mode identification of the simple-support structure.The results show that when the harmonic signals constitute a Fourier series，with the ICA method，the signal with more intense non-Gausianity will be separated in priority，which will lead to overlearning of the algorithm.However，the SOBI method may assure the accuracy and reliability of a blind separation process of the harmonic components.

blind source separation；independent component analysis；second order blind identification；kurtosis；mode identification；harmonic components

10.3969／j.issn.1006-7043.201306082

O328，TK421.6

A

1006-7043（2014）04-0413-07

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006-7043.201306082.html

2013-06-28. 网络出版时间：2014-03-15 20：42：58.

国家自然科学基金资助项目（51375103）.

董建超（1985-），男，博士研究生；杨铁军（1972-），男，教授，博士生导师。

杨铁军，E-mail：yangtiejun＠hrbeu.edu.cn.