M⁃矩阵Hadamard积最小特征值下界的进一步研究

周 平，高美平，李艳艳

（文山学院数学学院，云南文山 663000）

M⁃矩阵Hadamard积最小特征值下界的进一步研究

周 平，高美平，李艳艳

（文山学院数学学院，云南文山 663000）

对两个非奇异M⁃矩阵的Hadamard积的最小特征值下界做进一步研究，给出在不同情况下τ（B◦A－1）和τ（A◦A－1）的新估计式；并从理论上证明了新估计式在一定条件下改进了现有文献的结果；算例验证表明估计式提高了已有估计式的估计精确度.

M⁃矩阵；对角占优；双随机；Hadamard积；最小特征值

0 预备知识

为了便于后文的叙述，文中引入以下记号：

设A＝（aij）∈Rn×n是非奇异M⁃矩阵，对任意i，j，k∈N，i≠j，定义

设A＝（aij）∈Zn，如果A可表示为A＝sI－P，其中P≥0，s≥ρ（P），则称A为M⁃矩阵．特别地，当s＝ρ（P）时，称A为奇异M⁃矩阵；当s＞ρ（P）时，称A为非奇异M⁃矩阵．记所有n×n阶非奇异M⁃矩阵所成之集为Mn．

设A＝（aij）∈Cn×n，B＝（bij）∈Cn×n，定义A◦B＝（aijbij）∈Cn×n为A与B的Hadamard积［1⁃10］．如果n阶实矩阵A的各行元素之和均为1，那么A叫做行随机矩阵；如果n阶实矩阵A的各列元素之和均为1，那么A叫做列随机矩阵；若A与AT均为行随机矩阵，则称A为双随机矩阵［7⁃9］．

1988年，Fiedler和Markham［2］得到：设A，B∈Rn×n都为非奇异M⁃矩阵，则A◦B－1为M⁃矩阵；同时得到τ（A◦A－1）的下界的一个结果：τ（A◦A－1）≥n－1，并猜想τ（A◦A－1）≥2n－1，在文［3］中证明了此猜想．

1991年，R.A.Horn［4］等在给出如下结果：

2008年，Huang Rong［5］给出如下结果：

2013年，Zhou Duanmei［10］等给出如下结果：

本文继续讨论τ（B◦A－1）和τ（A◦A－1）的下界．

引理1［6］若A＝（aij）∈Cn×n，则对任意的0≤α≤1和任意的正实数组x1，x2，…，xn，A的特征值位于下列区域：

3.维持试验检测室内环境的恒定，优化实验室环境。注重实验室内部温度以及空气循环系统的升级与改建，保持实验室内温度恒定以及整洁，对检验后的样品进行及时处理和数据记录，规范数据结果的保存以及留档。

引理2［9］如果A＝（aij）为行严格对角占优M⁃矩阵，那么A－1＝（βij）存在，且有βji≤mjiβii，i，j∈N，j≠i．

引理3［6⁃10］如果A＝（aij）∈Mn，是一个行严格对角占优M⁃矩阵，那么A－1＝（βij）存在，且有

引理4［9］如果A＝（aij）∈Rn×n是M⁃矩阵，A－1＝（βij）是双随机矩阵，那么

1 主要结论

定理1 设A＝（aij）∈Rn×n是严格行对角占优M⁃矩阵，B＝（bij）∈Mn，A－1＝（βij），则

证明 令λ＝τ（B◦A－1）．1）当A◦B为不可约矩阵时，根据Hadamard积的定义可得到A，B也为不可约矩阵，应用引理1和引理2可知，存在i（1≤i≤n），有

即

由引理3，上式可变为

故

2）当A◦B可约时，令D＝（dij），其中

由于A，B∈Mn，从而对任意正数ε，只要ε足够小时，A－εD与B－εD的所有主子式为正，且A－εD，B－εD是不可约的非奇异M⁃矩阵［2］，用A－εD和B－εD分别替换A，B，并且令ε→0，由1）和连续性可得到该结论．

注1： 在定理1中，当α＝0时，得到

即定理4.8［10］，因此文［10］中的结果包含于本文定理1中．

证明 因为

所以

当A－1是双随机矩阵时，应用引理4同理可得到下列结论．

定理3 设A＝（aij），B＝（bij）∈Mn，且A－1＝（βij）是双随机矩阵，则

定理4 设A＝（aij）∈Mn，A－1＝（βij）是双随机矩阵，则

注3： 在定理3和4中，当α＝0时，分别得到即文［10］给出的估计式，说明本文定理3和定理4的结果包含文［10］中的结果．

由注1～注4可看出，本文所给出的这些估计式在一定条件下改进了现有文献的结果．下面用数值算例来进一步说明．

2 数值例子

这里A，B∈Mn，根据MATLAB计算τ（B◦A－1）＝0.2148．根据式（1），式（2）和式（3）计算，分别得到τ（B◦A－1）≥0.07，τ（B◦A－1）≥0.052和τ（B◦A－1）≥0.075，但根据本文定理1，取α＝时，计算得τ（B◦A－1）≥0.1653．

又分别应用Fiedler和Markham的猜想，定理3.1［7］，定理3.2［8］中推论4.10［10］得

和τ（A◦A－1）≥0.8602．但应用本文定理4，当取α＝时，得τ（A◦A－1）≥0.9207．从此数值例子的计算结果表明，本文给出的新估计式改进了Fiedler和Markham的猜想以及现有文献的结果，所得结论是对相关文献的一个有益补充．

［1］ Berman A，Plemmons R J.Nonegative Matrices in the Mathematices Sciences［M］.New York：Acedemic Press，1979.

［2］ Fiedler M，Markham T.An inequality for the Hadamard Product of an M⁃matrix and Inverse M⁃matrix［J］.Linear Algebra and its applications，1988，101：1-8.

［3］ Yong X R.Proof of a conjecture of Fiedler and Markham［J］.Linear Algebra and its applications，2000，320：167-171.

［4］ Horn R A，Johnson C R.Topic in Matrix Analysis［M］.New York：Cambridge University Press，1991.

［5］ Huang R.Some inequalities for the Hadamard productand the Fan productofmatrices［J］.Linear Algebra and its appli⁃cations，2008，428：1551-1559.

［6］ Ljil JC.H⁃matrix theory vs.eigenvalue localization［J］.Numer Algor，2006，42：229-245.

［7］ Li H B，Huang T Z，Shen SQ，etal.Lower bounds for theminimum eigenvalue of an M⁃matrix and its inverse［J］.Lin⁃ear Algebra and its applications，2007，420：235-247.

［8］ Li Y T，Chen F B，Wang D F.New lower bounds on eigenvalue of the Hadamard product of an matrix and inverse［J］. Linear Algebra and its applications，2009，430：1423-1431.

［9］ Li Y T，Liu X Y.Some new lower bounds for theminimum eigenvalue of the Hadamard product of an M⁃matrix and its in⁃verse［J］.Electronic Journal of Linear Algebra，2011，22：630-643.

［10］ Zhou D M，Chen G L，Wu G X.On some new bounds for eigenvalues of the Hadamard product and the Fan product of matrices［J］.Linear Algebra and its applications，2013，438：1415-1426.

Further Research on Lower Bounds of the M inimum Eigenvalue for the Hadamard Product of M⁃matrix

ZHOU Ping，GAO Mei⁃ping，LIYan⁃yan
（College of Mathematics，Wenshan University，Wenshan Yunnan 663000，China）

For the Hadamard product of two nonsingular M⁃matrices is further research，and some new lower bounds ofτ（B◦A－1）andτ（A◦A－1）are given in different situations.It is proved that the new estimating for⁃mulas improve the results of the current in some cases；numerical example show that these formulas aremore accurate than several existing results.

M⁃matrix；diagonally dominant；doubly stochastic；hadamard product；smallest eigenvalue

O151.21

A

1671⁃6876（2014）03⁃0206⁃04

［责任编辑：李春红］

2014⁃01⁃02

云南省科技厅应用基础研究青年基金项目（2013FD052）；云南省教育厅科学研究项目（2012Y270，2013Y585）

周平（1987⁃），女，云南大理人，助教，硕士，研究方向为数值代数和矩阵理论及其应用.E⁃mail：yunpzjy＠126.com