二维随机变量概率分布的求解方法

周晓晖

（江苏联合职业技术学院连云港财经分院，江苏连云港 222003）

二维随机变量概率分布的求解方法

周晓晖

（江苏联合职业技术学院连云港财经分院，江苏连云港 222003）

每一个随机试验的整体概率可以用一个相应的随机变量及其概率分布来描述.基于对一维随机变量的理解，采用分布函数法和函数分步法，给出了求二维随机变量概率分布的基本规律.

二维随机变量；分布函数法；函数分步法；概率密度；分布密度

0 引言

随即变量概率分布是概率论和数理统计课程中的重要内容之一，其中二维随机变量函数的分布函数和密度函数的求解又是学生往往感觉比较困难的环节．基于对一维随机变量的理解，用分布函数法和函数分步法，给出求二维随机变量概率分布的基本规律．学生掌握了二维随机变量及其概率分布的求解方法，也就抓住了学习多维随机变量的关键．

1 分布函数法

所谓二维随机变量分布函数法，是指解题时应强调和注意以下事项：

1）随机变量ξ＝（X，Y）的分布函数，设ξ＝（X，Y）为二维随机变量，对于任意两个实数x，y，称二元函数F（x，y）．P｛X≤x，Y≤y｝为随机变量ξ＝（X，Y）的分布函数，或称其为随机变量X和Y的联合分布函数．

这里强调两点：

①事件｛X≤x，Y≤y｝，就是事件｛X≤x｝·｛Y≤y｝；

②F（x，y）＝P｛X≤x，Y≤y｝的实质是指（X，Y）的取值落在xy平面上，以（x，y）为顶点的左下方（包括边界）的正文形内的概率．

2）分布函数的性质

①F（x，y）是变量x和变量y的不减函数，即对任意固定的y，当x2＞x1时，F（x2，y）≥F（x1，y）；对于任意固定的x，当y2＞y1时，F（x，y2）≥F（x，y1）；

③对于任意的x1＜x2，y1＜y2，有

例1 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为：

其中k为常数，求：P｛0＜X≤1，0＜Y≤2｝．

解 先确定常数，再求分布函数，解得k＝12，

（X，Y）的分布函数F（x，y），当x＞0，y＞0时，

当x，y为其他情形时，F（x，y）＝0，故

所以

对于例1来说，其概率密度函数取值是一个有限矩形，分布函数的求解方法是统一的，不过对于学生积分难度可能有点大，需要用到二重积分的有关知识点，只要保持清晰的思路，就能化繁为简［3］．

例2 设（X，Y）的联合分布函数为

试求：

1）（X，Y）的联合密度函数；

2）P｛0≤X＜2，Y＜3｝．

解 显然这是连续型二维随机变量的分布函数，由公式，其联合密度函数为

2 函数分布法

所谓二维随机变量函数分布法，是指设已知随机变量（X，Y）的概率密度F（x，y），p（x，y），又f（x，y）为二元连续函数，则随机变量函数Z＝f（X，Y）的概率密度pZ（z）可以按下列程序求解［4］．

②FZ（z）对z求导得

1）Z＝X＋Y的分布

设随机变量（X，Y）的联合密度为F（x，y），p（x，y），求Z＝X＋Y的密度pZ（z）可用下列公式：

当X和Y相互独立时，则Z＝X＋Y的概率密度为：

例3 设两个独立的随机变量X和Y的分布律为下表所示：

表1 随机变量X的分布律

表2 随机变量Y的分布律

求 随机变量Z＝X＋Y的分布律．

解 ΘX与Y相互独立，p（X，Y）＝pX·pY．

即

表3 X，Y的概率

又因

表4 Z的概率

故有

表5 随机变量X＋Y的分布律

例4 设X和Y相互独立，且X服从N（μ，σ2），Y服从［－b，b］上的均匀分布，求Z＝X＋Y的分布密度．

解 X和Y的密度分别为：

2）Z＝X－Y的分布

设随机变量（X，Y）的密度为F（x，y），p（x，y），求Z＝X－Y的密度pZ（z）可用下列公式：

当X和Y相互独立时，

3）Z＝X·Y的分布

设随机变量（X，Y）的密度为F（x，y），p（x，y），求Z＝X·Y的密度pZ（z）可用下列公式：

或者

或者

当X和Y相互独立时，

当X和Y相互独立时，

例5 设X和Y相互独立，且都服从区间（0，a）上的均匀分布，求：的分布密度．

解 由题意知，

X和Y相互独立，

再求FZ（z）和pZ（z）．当z＜0时，FZ（z）＝0，

当0＜z＜1时

5）Z＝max｛X，Y｝，Z＝min｛X，Y｝的分布

设随机变量X和Y相互独立，其密度和分布函数分别为pX（x），FX（x），和pY（y）FY（y）

①Z＝max｛X，Y｝的分布函数

当X和Y独立同时分布时，则Z＝max｛X，Y｝的分布函数和密度分别为：

其中

②Z＝min｛X，Y｝的分布函数

当X和Y独立同时分布时，则Z＝min｛X，Y｝的分布函数和密度分别为：

其中

例6 对某种电子装置的输出测量了5次，得到观察值X1，X2，X3，X4，X5，设它们是相互独立的变量，且都服从同一分布

求 max｛X，X2，X3，X4，X5｝＞4的概率．

解 令V＝max｛X，X2，X3，X4，X5｝，

由于X1，X2，X3，X4，X5相互独立，且服从同一分布，由前述公式，有

所求概率

6）最后强调一下随机变量函数的联合分布

设（X，Y）的联合密度为F（x，y），p（x，y），函数u＝h1（x，y），v＝h2（x，y）有连续偏导数，且存在唯一的反函数x＝x（u，v），y＝y（u，v），记U＝h1（X，Y），V＝h2（X，Y），则（U，V）的联合密度为：

随机变量概率分布是概率论与数理统计课程中非常重要的内容之一，用广义二重积分方法计算二元分布函数F（x，y）比较繁琐，且计算量大，不易掌握．对于二维随机变量函数可以先求出分布密度，然后利用分布密度是密度函数的积分，求出分布函数．运用分布函数法和函数分步法可以降低积分的重数，简化计算的难度，同时运用这些计算公式也可以提高计算的效率和准确度．

参考文献：

［1］ 华东师范大学数学系.数学分析［M］.北京：高等教育出版社，1999.

［2］ 魏宗舒.概率论与数理统计教程［M］.北京：高等教育出版社，2009.

［3］ 冯泰，王玉孝.概率统计辅导［M］.北京：中国铁道出版社，1982.

［4］ 李跃波.随机变量的分布函数及其计算［J］.云南民族大学学报：自然科学版，2004（1）：25-27.

［5］ 甘媛.随机变量的分布函数求解方法的讨论［J］.襄樊职业技术学院学，2012（6）：22-25.

［6］ 李思齐，李昌兴，柳晓燕.二维连续性随机变量函数的分布密度的计算［J］.大学数学，2011（5）：162-166.

［7］ 宋明娟，王悦姣.二维随机变量函数的概率密度公式［J］.黑龙江科技学院学，2011（5）：422-424.

M ethod for the Solution of two Dimensional Random Variable Probability Distribution

ZHOU Xiao⁃hui
（Lianyungang Finance and Economics Branch of Jiangsu United Technical Institute，Lianyungang Jiangsu 222003，China）

The overall probability of each random test can be used with a corresponding probability distribu⁃tion of random variables to describe.Based on the understanding of the one⁃dimensional random variables.This paper uses themethod of distribution function and the function of a fractional step method，the basic law pro⁃vided for two⁃dimensional random variable probability distribution.The solvingmethod of random variables and their probability distribution of two dimensional，It is the key to learningmultidimensional random variables. Key words： two dimensional random variables；distribution function method；divided step function；proba⁃bility density；distribution density

O211

A

1671⁃6876（2014）03⁃0194⁃06

［责任编辑：李春红］

2014⁃05⁃10

周晓晖（1980⁃），男，江苏连云港人，讲师，硕士研究生，研究方向为概率统计.E⁃mail：13812341068＠163.com