永磁同步电机永磁体涡流损耗的二维有限元估算

梁斯庄，沈建新

(浙江大学电气工程学院，浙江 杭州310027)

永磁同步电机永磁体涡流损耗的二维有限元估算

梁斯庄，沈建新

(浙江大学电气工程学院，浙江 杭州310027)

二维有限元方法具有计算速度快，精度高，结果收敛快并且波动小的优点。永磁同步电机，特别是高速和大功率电机的永磁体涡流损耗不可忽略，而永磁体允许温升有限，高温容易引起退磁。在电机设计时考虑永磁体的温升十分重要。本文采用二维有限元方法来估算三维条件下的永磁体涡流损耗，并提出一种估算的方法。以普瑞斯04电动汽车电机为例，仿真结果表明此方法实用有效。

涡流损耗;二维有限元;永磁体;几何尺寸比

1 引言

1.1 三维有限元分析的计算量问题

三维有限元仿真计算量很大，稍微复杂的模型，为了得到比较合理的结果，常常需要求解几十万乃至上百万阶的矩阵方程。二维有限元仿真具有计算量小的优点。例如求解Prius 04电动汽车的永磁同步电机，使用二维有限元仿真只需要5000左右的剖分单元就能得到满意的结果，而采用三维有限元仿真，则大约需要80万左右的剖分单元才能得到类似的精度。

1.2 永磁体涡流损耗的特点

永磁同步电机(PMSM)的转子与定子磁场同步旋转，但是定子电流的时间谐波、定子磁动势的空间谐波以及定子齿槽造成的磁导变化均会在转子中引起变化的磁通［1］，从而引起感应电势，这个感应电势可以在导体中产生涡流。传统的铁氧体永磁体的导电性差，涡流很小，而钕铁硼永磁体导电性比较好，容易形成涡流［2］。虽然永磁体中的涡流损耗相比电机的总损耗不大，但是转子的散热条件本身较差，而且有些电机的永磁体外部包有一层保护层，加剧了永磁体的散热问题，而钕铁硼永磁体的最大允许工作温度一般都比较低，过热时会退磁，文献［4］中就存在一个实例。永磁体的温升问题是永磁同步电机设计中需要考虑的一个重要问题。

1.3 永磁体涡流损耗的计算

目前已经有许多关于永磁同步电机永磁体涡流损耗计算的文献。文献［2］提出的涡流损耗解析计算方法相当于简化情况下的二维有限元方法，文中提出的端部系数修正法并不一定是普适的。文献［3］建立了一个二维的永磁体涡流损耗计算模型，但文章着重考虑了饱和对涡流损耗的影响，以及涡流损耗的分解，并没有对计算本身的准确性进行分析。文献［4］采用三维有限元分析求解涡流损耗，从其给出的损耗波形图来看，存在计算异常之处。文献［5］同时采用二维和三维有限元法计算，方法准确，考虑周到，并且指出两种情况下计算结果的差异，但没有对此差异进行进一步分析。文献［7］中提出一种计算涡流损耗密度的公式，但是依然需要依靠三维有限元仿真方法才能得到结果。纵观以上文献，对永磁体涡流损耗的二维与三维有限元仿真结果之间的关系鲜有深入研究。如果能够找到这个关系，就有可能更多地采用二维有限元仿真来计算永磁体涡流损耗，这样，就可以很方便地用较少的计算资源得到较好的计算结果，具有十分重要的实际意义。

2 二维有限元的特点

2.1 无限长模型

自然界的实体一般都是三维的，二维有限元仿真其实是对两类特殊模型进行仿真，一类是无限长旋转对称模型，一类是无限长轴向对称模型。在永磁电机有限元分析中，一般是采用无限长轴向对称模型，即沿着某一个方向(轴向，本文中记为z向)模型的截面完全相同，这时就用这个截面来代表这个模型。图1给出了一个二维有限元模型及其对应的三维有限元模型的例子，需要注意的是这里只画出了三维模型的一段，而不是全部，实际上它是沿轴向无限延伸的。

图1 二维有限元模型及其对应三维有限元模型Fig．1 2D finite element model and its corresponding 3D finite element model

二维模型的求解结果就是对应三维模型求解结果沿z向截取一定长度得到的结果。这个长度可以指定，在商用软件中通常默认单位长度为1m。

2.2 感应电势特性

无限长模型对于感应电势的求解影响不大。如图2所示，假定磁场沿z向一致(用任何垂直于z向的平面截磁场，得到的磁场分布都一致)，并且只分布在短线圈的 L1之间，或长线圈的 L2之间。若短线圈感应电势为u1，长线圈感应电势为u2，那么有

从式(1)可以看到，单位长度的感应电势与长度无关。在无限长情况下，式(1)也成立。此结论是用二维有限元法精确分析感应电势的理论基础。

2.3 零电流约束

无限长模型还会产生非零电流问题。如图 2 (b)中线圈外的变化磁场 B，引发感应电场 Ei。感应电场Ei除了能够在线圈内引起环流以外，还能在线圈上下端面之间引起电荷积累。当模型变为无限长时，不存在上下端面，没有电荷积累，但是会引起一个不从线圈另一边返回的电流。在二维场仿真时，表现为线圈两个截面电流之和不等于0。在用二维有限元分析永磁体内涡流时，这个非零电流可能很大。为了解决这个问题，在二维模型中需要施加零电流约束条件。仿真证明，施加零电流约束条件能够让二维仿真结果很接近三维仿真结果沿轴向中部截面上的结果。

图2 短线圈与长线圈Fig．2 Short winding and long winding

2.4 铁芯损耗的计算

电机硅钢片中也有涡流损耗，同时还存在磁滞损耗等其他损耗，这些损耗合称铁芯损耗。硅钢片中的涡流损耗分布是很复杂的，需要很大的计算量才能求得。工程实际中，为了避免这个问题，经常采用损耗系数的方法来求取铁芯损耗，它实际上是一种统计估计方法。损耗系数通常根据实验数据确定。

2.5 永磁体涡流损耗比

现在试图寻找永磁体二维有限元涡流损耗和三维有限元涡流损耗的关系。

本文中永磁体均为长方形永磁体，建立如图3 (a)所示坐标系，y轴垂直纸面向里，z为轴向。记永磁体沿x轴方向边长为a，沿y轴方向边长为b，沿z轴方向边长为c。磁场沿z向一致，只分布于永磁体上下表面之间。图3(b)为相应的二维无限长模型在z向取长度等于c的一段。除非特别说明，本文中的永磁体模型均作出上述假设。定义三维模型计算出来的涡流损耗与二维模型计算出来的涡流损耗之比为涡流损耗比。

假定涡流在永磁体内近似按照环型路径流动，把涡流回路简单分成四段，每段用一个等效电阻代替，如图3中电阻所示。在二维场仿真中，涡流只能沿z向流动，根据前面关于无限长模型的讨论，可以认为涡流沿z轴流动是没有阻碍的，相当于x向电阻为0。根据前面关于感应电势特性的结论，可以认为在图中两个回路里感应电势相等，于是三维模型的损耗为

图3 导体块涡流回路二维与三维模型Fig．3 2D and 3D models of eddy current circuit

式(4)是在极其简化的情况下得到的结论，下面采用有限元方法来分析一下涡流损耗比的特性。

3 正弦激励涡流损耗比特性

首先考察正弦磁场激励下涡流损耗比的特性。使用Ansoft Maxwell V15.0.0进行仿真，仿真模型如图4所示。为清晰起见，图中没有画出空气域和外磁路，实际上这两部分都是必须的。图中铁芯为线性高磁导率材料，外部断面连接到低磁阻物体以形成低磁阻回路。永磁体a=16mm，b=2mm和 c= 40mm，相对磁导率为1.05，剩磁为1.19T，无退磁效应，电导率为714000S/m。采用两个线宽1mm的单匝方形绕组励磁，均通以幅值为 Imax的正弦电流。三维模型和二维模型中分别设置了一个截面和一个线段(Flux Surface)，在其上分别对磁感应强度B的y轴分量积分，二维结果再乘以c，最终得到的结果分别记为 Φ3D和 Φ2D。

需要注意，能引起涡流的是磁通的交流分量，本文中的磁通值均是指磁通交流分量的幅值。

3.1 幅值特性

表1是在200Hz条件下，改变励磁电流幅值得到的结果。表中 RI=P3D/P2D;而 RS=(P3D/P2D)/ (Φ3D/Φ2D)，这相当于用磁通交流分量幅值进行修正。在后面的计算中会发现两个磁通有可能不同。永磁体上下侧有漏磁，二维模型忽略了这个漏磁，有可能使Φ2D＞Φ3D。涡流有去磁效应，使磁通交流分量聚集在永磁体边缘，二维模型忽略了上下处的磁通，有可能使 Φ2D＜Φ3D。通常两个磁通差别不大。实际估算损耗时，使用 RS更加合理。此外，可以用前面简单关系特性式(4)计算此时的 R值，为0.714，与0.748相差5%。

图4 正弦激励下研究模型Fig．4 Investigation models with sinusoidal excitation

表1 200Hz励磁电流变幅值的分析结果Tab．1 Results with various Imaxat 200Hz

在更多频率下的分析表明，RI和RS均与励磁电流幅值、磁通交流分量幅值几乎无关。

3.2 频率特性

表2是在 Imax=500A条件下，改变励磁电流频率得到的分析结果。从表2中可以看出，随着频率的升高，比值也在升高。在更高频率下，这个比值可以超过0.9，但不会超过1。

表2 500A励磁电流变频率的分析结果Tab．2 Results with various frequency at 500A

如图5(只画了上半部)所示，涡流在xz面内以环形路径在永磁体内流动，中心处无电流，涡流从边缘到中心近似线性递减的。当频率很高时，出现明显集肤效应，涡流大量聚集在边缘上，向内部以指数速度衰减。永磁体上下边缘附近损耗增大，二维模型不存在上下边缘，从而导致涡流损耗比增大。此时的强涡流还削弱了磁密的变化，导致磁通交流分量聚集在永磁体边缘上，上下边缘附近磁密增大，从而三维模型的磁通量在高频下会超过二维模型的磁通量。

图5 涡流分布图Fig．5 Eddy current distribution

在800Hz时，三维模型中涡流电流强度是二维模型的 0.962倍;在 32kHz时，比值提高到 1.003倍，此时RI=1.167＞1，但 RS=0.955＜1。三维模型的涡流强度超过二维模型，这一超出预期的结果是由于三维模型的磁通更大，能激发更大的感应电势。需要注意的是，在等磁通的条件下，因为三维模型的涡流回路电阻较大，其电流仍然小于二维模型的电流，此时还有RS＜1。

3.3 厚度特性

若不计漏磁，理论上，涡流损耗比与永磁体的厚度b无关。表 3是500A，200Hz条件下的分析结果。b变大时，永磁体上下表面处漏磁增多，从而RS变大，这与表中结果相符。

表3 变永磁体厚度的分析结果Tab．3 Results with various thickness of magnet

3.4 比率特性

假设b很小，磁场频率较低，从而RA≈RS，根据涡流形状容易推知，改变a与c但保持a与c比值不变，则RI与RS不变。定义c/a为几何尺寸比(Geometric Aspect Ratio)，记为 RA。当 b很小且低频时，RA与RS的关系特性称为比率特性。

图6是RA与RS的关系曲线。限于篇幅，表4只列出部分分析结果。表中 RA=c/a，其中 a恒等于16mm，厚度b恒等于2mm，频率200Hz。

图6 比率特性曲线Fig．6 Diagram of RSwith various RA

表4 比率特性部分分析结果Tab．4 Part of results with various RA

3.5 偏移特性

如果只在永磁体局部施加磁场，求出涡流损耗比，就可以得到涡流损耗比的偏移特性。

图7(a)是偏移特性的仿真模型图，铁芯宽度由16mm改为2mm，二维模型也做相应修改。由于磁场不对称，二维模型需要施加零电流条件。让该铁芯由边缘向中心逐渐移动，移动距离为x，分析结果如表5所示。

表5 偏移特性分析结果Tab．5 Results with various offset

可见，铁芯在中心处涡流损耗比最小，在边缘处涡流损耗比最大，而且在中心处的涡流损耗比大于铁芯与永磁体等宽情况下的涡流损耗比。涡流损耗比变大的原因是电流局部集中，上下处电流变窄，更多损耗集中于上下端面附近，而二维模型不存在上下端面。图7(b)显示了铁芯在边缘处时，永磁体内涡流分布情况(只画了上半部)。

图7 偏移特性仿真模型Fig．7 Model of offsetting and eddy current distribution

4 涡流损耗的估算及验证

4.1 涡流损耗估算

前面分析了正弦激励下涡流损耗比特性，且磁场施加于永磁体 y向。实际的激励不一定是正弦的，而且永磁体不仅y向受磁而且x向也受磁。

假设沿z向一致的非正弦磁场施加于永磁体y向，此时RA记为RAx且RAx=c/a，通过图6求出 RS，记为RSx，记二维和三维损耗分别为P2D和P3D。沿x向用垂直于x轴的平面把磁场分成很多份，每一份足够细，从而每份可以看作空间均匀磁场。对每份磁场，将其对时间进行傅里叶分解，得到一系列不同幅度和频率的正弦磁场，记 φij为第 i份磁场的第 j个时间分量。φij单独作用于永磁体时，设二维和三维损耗分别为 P2Dij和 P3Dij。根据正弦激励幅值特性、频率特性、厚度特性和偏移特性可以知道P2Dij＞P3Dij≥RSxP2Dij。由于永磁体本身磁路和电路均线性，从而有 P3D=∑P3Dij，P2D=∑P2Dij，于是 P2D＞P3D≥RSxP2D。也就是说，总涡流损耗比大于等于RSx且小于1。

假设沿z向一致的非正弦磁场施加于永磁体x向，此时RA记为RAy且RAy=c/b，通过图6求出 RS，记为 RSy。同理可知，总涡流损耗比大于等于 RSy且小于1。

当磁场高频成分不多且分布比较均匀时，根据正弦激励的各种特性可知上述两种情况下的总涡流损耗比分别近似等于 RSx和 RSy。

当永磁体x向和y向都存在磁场时，由于永磁体本身磁路和电路均线性，容易推知总涡流损耗比介于上述两种情况的涡流损耗比之间，即有

在磁场低频且近似均匀条件下有

4.2 仿真验证

以Prius 04电动汽车的驱动电机为实例来考察上述理论的正确性。仿真模型如图8所示。此电机为4对极，绕组为9匝，施加250A正弦电流，转速3000rpm，电流相量与转子保持转矩最大的相对角度。模型采用1/8模型，采用半周期主从边界条件。二维模型对永磁体施加零电流条件。三维模型对永磁体施加表面绝缘条件，上下表面施加磁通平行边界条件。由于计算机能力限制，无法较精确地对原模型求解，这里缩短电机轴向长度，记为c。永磁体b=6.48mm，c为可变量，其余所有属性与图6中的永磁体相同。

图8 普瑞斯04电机模型Fig．8 Prius 04 motor model

分析结果如表6所示。限于篇幅，有些量没有列出来。RAx=c/(16mm)，RAy=c/(6.48mm)，RSx与RSy分别由 RAx和 RAy通过图 6得到。由于 c较小，从而 RAx与 RAy均较小。此时，电机磁场基波频率为200Hz，频率较低，观察永磁体内磁通交变量分布状况，基本满足近似均匀条件。此时可以分别用RSyP2D和 RSxP2D作为涡流损耗估算的上界和下界。由表6可见，这个估算是正确的。

这里，由于 RAx和 RAy均较小且相差较大，从而RSx与RSy相差较大，估计范围较宽。当 c比较大时，RAx和RAy都会较大，根据图6可知，即使此时 RAx和RAy相差较大，RSx与 RSy依然相差较小，此时就能比较准确地估计涡流损耗的值。

表6 普瑞斯04电机损耗比分析结果Tab．6 Prius 04 loss ratio simulation results

需要指出的是，若不满足磁场低频和近似均匀条件，就不能认为 P2Dmin(RSx，RSy)≤P3D≤P2Dmax(RSx，RSy)，此时依然有 P2Dmin(RSx，RSy)≤P3D＜P2D。当 RAx和 RAy比较大时，RSx与 RSy本身就很大，用 P2Dmin(RSx，RSy)≤P3D＜P2D就已经能很好地估计P3D。

5 结论

通常有 P2Dmin(RSx，RSy)≤P3D＜P2D，若满足磁场低频和近似均匀条件，则进一步有 P2Dmin (RSx，RSy)≤P3D≤P2Dmax(RSx，RSy)。

在工程中，RAx和 RAy往往较大，此时由于计算机的内存限制，很难直接计算三维场的涡流损耗，而用 P2Dmin(RSx，RSy)≤P3D＜P2D就能够很好地确定P3D的范围，所得结果可以进一步用于温度和效率的估算。

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2D-FEM estimation of eddy current loss in permanent magnets of PMSM

LIANG Si-zhuang，SHEN Jian-xin
(Zhejiang University，College of Electric Engineering，Hangzhou 310027，China)

2 dimensional finite element methods(2D FEM)have a lot of advantages，such as fast computation，high accuracy，quick convergence and little fluctuation．In order to achieve the same accuracy，3D FEM requires a(，cont．on p．75)(，cont．from p．57)mesh which contains much more elements than 2D FEM，and this is a huge challenge for most computers．However，3D FEM can directly compute eddy current loss accurately while 2D FEM cannot．Eddy current loss in permanent magnets in a permanent magnet synchronous motor(PMSM)，especially a high speed or a large power motor，can’t be neglected，and the temperature rise of the magnets should be strictly limited，otherwise demagnetization will be caused．Therefore the temperature rise must be considered when designing a PMSM．This paper aims at estimating the eddy current loss in permanent magnets by 2D FEM，with the 3D condition taken into account．An estimation method is proposed in the paper and verified by the simulation for a Prius 04 EV motor．

eddy current loss;2 dimensional finite element method;permanent magnets;geometric aspect ratio

TM351

:A

:1003-3076(2014)01-0052-06

2013-05-07

国家大学生创新创业训练计划第7期

梁斯庄 (1990-)，男，湖南籍，硕士研究生，主要研究永磁电机本体设计;沈建新 (1969-)，男，浙江籍，教授，主要研究电机及其控制。