《同角三角函数的基本关系》教学案例

瞿波

【摘要】一、案例背景（一）教材分析（二）教学目标（三）学情分析师：先观察 与 ，它们之间有什么关系？师： 与 之间有什么关系？（教师引导：加，乘，除，平方）说明：1、这三条公式就是今天我们要学的同角三角函数的基本关系式，它们分别叫做平方关系、商数关系、倒数关系。处理：师生讨论，教师ppt。说明：已知一个三角函数值，根据这三条基本关系式定可求出其余三角函数的值。我们把这类求值问题称为“知一求三”。例2已知 ，求 的值。处理：学生思考并练习，碰到疑问教师解答，ppt。练习：已知 ，求 的值。处理：四位学生板演再讲评例3已知 为非零实数，用 表示 。处理：师生讨论，教师ppt。说明：三角函数这一章最大的特点就是：公式多。处理：学生练习，教师ppt。三个基本关系式的应用——求值（知一求三）

【关键词】同角三角函数值；化归思想方法；数形结合

一、案例背景

（一）教材分析

本節知识是三角函数部分的重要内容，是学生在熟习三角函数的定义的基础上解决同角四个三角函数的关系的重要手段即已知某角的正弦、余弦、正切、余切中任一个，求其余的三个。是培养、提高学生能力的良好教材，本课的重点是，已知某角的一个三角函数值求其余的三角函数值。优简三角函数式。证明简单的三角恒等式，难点是根据角A终边所在的象限求出其三角函数值，关键是讲清、证明恒等式不同格式的各自特点，给予一定的训练。

（二）教学目标

通过对三角函数定义的复习，使学生掌握同角三角函数的基本关系，即倒三角法则，主对角线法则，顺（逆）时针法则，能利用同角三角函数关系，求三角函数的值，或者化简三角函数式或证明三角恒等式，牢固掌握同角三角函数的三个法则，能灵活的运用于解题，提高学生分析、解决三角问题的能力。灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法。在教学过程中要启发学生勇于思考和发表自己的意见，看法，培养学生的学习热情，并注意数形结合，让学生体会数学公式与图形的完美结合。

（三）学情分析

学生已经学习了三角函数的定义，也知道了角的推广，具备了对三角函数时一步深入研究的能力，但学生个体的认知能力，思维能力存在着差异。例如对数形结合不会对数和形发生知识迁移，探究问题的能力，方向都有待教师的指导。如何对学生的思维进行引导，如何去思考问题？如何把我跟老师思考变为我要思考？等这些问题解决好是本节学生学习效果的关键。

（四）教学手段：建构式教学法、综合法

（五）教学设备：三角板、多媒体

（六）教学课时：2课时

二、教与学过程设计

第一课时 同角三角函数的基本关系式（一）

㈠复习引入

已知角α终边上任一点P（x，y），它到原点距离为r。则：

根据这四个三角函数的定义，你能不能通过一些初等运算（加、减、乘、除、乘方等），找出一些同角三角函数之间的关系？

（二）新课

1.公式推导

师：先观察 与 ，它们之间有什么关系？

生：互为倒数，即 =1。

师：但要注意，此式子并不是恒成立，而是在 且 下才成立。

师： 与 之间有什么关系？（教师引导：加，乘，除，平方）

经过师生共同讨论，得出： ， （严格推导过程）

说明：

1、这三条公式就是今天我们要学的同角三角函数的基本关系式，它们分别叫做平方关系、商数关系、倒数关系。

2、注意这三条公式在某些情况下没有意义，但在今后说到其他已证明或待证明的三角恒等式时，如没有特殊注明，都假定是在使两边都有意义的情况下的恒等式。

3、这三条公式是对同一个角的关系，即 是不成立的。

下面我们就要运用这三条公式解决一些具体问题：

2.公式的运用

例1已知 ，并且 是第二象限角，求 的值。

处理：师生讨论，教师ppt。

说明：已知一个三角函数值，根据这三条基本关系式定可求出其余三角函数的值。这是这三条基本关系式的一个重要用处。我们把这类求值问题称为“知一求三”。

例2已知 ，求 的值。

处理：学生思考并练习，碰到疑问教师解答，ppt。

说明：此题仍是“知一求三”的问题，但与例1不同，它没有明确指出 是哪个象限角，解决这类问题的关键是，根据已知三角函数值确定角所在象限，在进行分类讨论。

练习：已知 ，求 的值。

处理：四位学生板演再讲评

例3已知 为非零实数，用 表示 。

处理：师生讨论，教师ppt。

说明：三角函数这一章最大的特点就是：公式多。随着学习的深入，我们还要学习很多公式，到一定熟练程度以后，对同一个题目可能用许多公式都能解决，但如何选择公式简化运算过程是一个非常重要的问题。解决这个问题的关键是多做这方面的训练，并且在做完一个题目时要学会反思：还有没有其他解法，更简单的解法？（一题多解）

另外，要注意公式的变形运用。

练习：已知 为非零实数，用 表示 。

处理：学生练习，教师ppt。

（三）小结

本节课主要探究两个问题：

同角三角函数的三个基本关系式；

三个基本关系式的应用——求值（知一求三）

（四）作业略

三、案例反思

对学生来说，学习数学的一个重要目的，提高思维能力和学会数学的思考，用数学的眼光去看世界，了解世界，对我们教师而言不仅要教还要会做，去理解并教会他人去做、去理解。对于本节知识不仅仅是平方关系、倒数关系、商数关系的识记，关键是它们的内在联系，如何变形、化简的。本廛借助“ppt”课件，使学生参与活动同时节省了教师板演的时间，从而给了学生更多的时间自悟、自练、自查，充分发挥了学生的主体作用，利用例题，层层深入的探索，以及对猜想结果的检测，培养了学生的思维能力，使学生的认知过程由未知到已知，让学生观察的形的性质，就能反映出数的性，加强了学生对数形结合的认识。总之，如何更好地选择符合学生具体情况，满足教学目标的例题和练习，灵活把握课堂教学节奏，培养学生的创新意识，并能够让学生在学习新知识的同时激发起求知的欲望，发掘学生内心深处的学习动机在寻求解决问题的办法的过程中获得自信和成功的体验，于不知不觉中改善了他们的思维品质，提高了数学思维的能力，才能。我们数学教师在教学过程中不仅要教给学生知识，关键还要提高学生的思维能力，应把提高学生的思维能力放在首位，在新课程背景下的数学课堂中要提高学生40分钟学习效果，要提高教学质量我们就要充分做到备教材，备学生，备教法，发挥自身的主导作用。