中学数学中发散思维能力的培养

王翠兰

摘 要：数学教学实质上是数学思维的教学，思维能力的培养是数学学科实施素质教育的重要任务，发散思维直接关系到认识水平的提高，是认识深化的源泉，是提高学生素质的重要因素，与创造力培养有着密切关系，并被作为测定创造力的重要标志之一，加强发散思维能力的训练是培养学生创造性思维的重要环节。

关键词：中学数学；发散思维；转化思想；变换思想；逆向思维

数学教学实质上是数学思维的教学，思维能力的培养是数学学科实施素质教育的重要任务，而创造性思维能力的培养尤为重要。创造性思维能力是以逻辑思维能力为基础而又高于逻辑思维能力，是组织和改造先前已经获得的知识，使之适合当前有关问题，从而解决问题的思维活动能力。创造性思维能力主要体现在发散思维能力和非逻辑思维能力两个方面，其中发散思维是不依靠常规，寻求变异，从各个方面寻求答案的思维方式，其特征是个人的思维沿着许多不同的道路扩展，将观念发散到各个有关方面。发散思维直接关系到认识水平的提高，是认识深化的源泉，是提高学生素质的重要因素，与创造力培养有着密切关系，并被作为测定创造力的重要标志之一，因此，加强发散思维能力的训练是培养学生创造性思维的重要环节。

在中学数学教学中培养学生的发散思维主要从以下几方面着手：

一、培养学生的转化思想

转化思想是数学中的重要思想，它是在探求使已知成立的必要条件和使结论成立的充分条件的过程中，使未知向已知转化，使复杂向简单转化。掌握知识之间的纵向联系和横向联系是完成这种转化思想的必要的知识基础。

中学数学的转化思想主要表现在以下几个方面：

1.条件的转化

已知条件必包含着解决问题的要素，发掘隐含，使已知条件朝着有利于结论的方向转化，促使问题解决。

2.结论的转化

从结论入手，进行变换，追索结论成立的充分条件B1（X），再由B1（X）追索其成立的充分条件B2（X），如此继续，直到找到真命题。常用的分析法便是如此。

3.命题形式的转化

常见的有两种情况，一是提出与原命题等价的命题，使求解目标变得简单、明朗。二是提出原命题P的否定形式P，然后论证P为假，从而断定P为真，这便是反证法。

4.数与形的轉化

具体地可将几何问题采用代数、三角的方法求解；相反，有些代数问题又可以采用几何方法，观察其代数性质。

5.复杂向简单的转化

常用的变量代换可将高次函数（方程、不等式）化为低次式，将无理式化为有理式。通过变量的代换，起到媒介或传递作用，达到化难为易，化繁为简的目的。代数中的辅助数列、辅助函数，三角中的辅助角，几何中的辅助图形，解析几何中的坐标代换、参数方程等都是这种思想的产物。

6.空间向平面的转化

立体几何中，判定和证明空间的直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，计算空间图形中的几何量是两类基本问题。正确揭示空间图形与平面图形的关系，并有效地实施空间图形向平面图形的转化是分析和解决这两类问题的关键。

7.各学科之间知识的转化

将其他各学科问题转化为数学问题，建立数学模型，采用数学方法解决问题，再将所得结论转化为其他学科的结论，这正是数学的精髓和魅力之所在。

总之，中学数学研究的一切对象都可以置于“转化”观点下加以考查，转化几乎充满了整个数学，中学数学的解题活动，本质上都是使问题向所求方向转化，直至获得解决。

二、培养学生的变换思想

培养学生的变换思想就是使学生克服禁止地、孤立地思考问题的习惯，训练学生对相类似的问题从不同的角度、用不同的方法进行思维。

1.一题多变

对问题的条件进行发散，在问题的结论确定以后，尽可能变化已知条件，进而从不同的角度，用不同的知识来解决问题，这样不仅可以充分揭示数学问题的层次，而且可以充分暴露学生自身的思维层次。对一道题的条件或结论在原有的基础上进行变换，使学生能明确条件在推导结论的推理过程中的作用，以及结论是否可以加强、条件是否可以减弱等等，这样有助于增强学生举一反三、触类旁通的解题能力。

2.一题多问

对问题的结论进行发散，在确定了已知条件后，没有固定的结论，让学生自己尽可能多地确定未知元素，并去求解这些未知元素。通过一题多问可以使学生在思考问题时逐步递深，甚至可以使两个毫无关系的结论统一到同一条件上来，增强学生的思维发散性。

3.一题多解

对解法发散，对同一道题运用不同的知识，从不同的角度，用不同的方法来解决问题。这样可以增加学生发散思维的广度，使不同的学科之间融会贯通，使所学知识形成系统，同时学生也受到了从不同角度去观察思考问题、灵活地运用所学知识去解决问题的训练。

4.一法多用

对命题的角度发散，对同一种方法运用不同的知识创设问题情境，解决不同学科和不同内容的问题，使这种方法达到熟练的程度，从而起到沟通知识引起多向思维的作用。

5.一图多画

对图形进行发散，对各种条件的图形用不同的形式把它们表示出来，使图形中某些元素的位置不断变化，从而产生一系列新的图形。了解几何图形的演变过程不仅可以举一反三、触类旁通，还可以通过演变过程了解它们之间的区别与联系，找出特殊与一般之间的关系。

6.一式多变

对式子进行发散，对某个式子进行多种变形。例如，在公式教学中，不仅要对公式的正用加以练习，还要对公式的逆用加以练习。这样在解决具体问题时，才能在“一式多用”中灵活选择恰当的公式变形，使问题得以解决。

总之，变换思想的价值就在于教会学生从不同角度观察、思考问题，产生新的联想，理出解决问题的思路。

三、加强逆向思维的培养

如果解题中顺证有困难就考虑逆证，应用综合法有困难就用分析法，证明可能性有困难就探求不可能性，这样就可以克服正向思维所造成的解题方法的刻板和僵化。

在训练学生的逆向思维时，应注意公式、法则、定义逆用教学，反面进行求解。如：采用“逆向填空练习”“倒过来想”“反面推想”等练习形式，培养学生逆用公式、法则、定理的能力。

培养学生的发散思维能力，要适时打破思维定势，克服负迁移。同时，在思维发散后必须给予恰当的评价，分析各种方法的优缺点，通过比较使大家的思维活动聚敛到最佳路线上来，这一选择，乃是思维从发散到集中的转化契机，是创造性思维的关键。

编辑 曾彦慧